一类薛定谔方程的精确解

张 娟,杨吉英

(1.昆明理工大学津桥学院 理工学院,云南 昆明 650106；2.保山学院 数学学院,云南 保山 678000)

薛定谔方程是奥地利理论物理学家薛定谔于1926年提出的,它是量子力学的基本方程.薛定谔方程是在波函数的时间演化研究中出现的偏微分方程,其中线性薛定谔方程的标准形式为[1]

vt=ivxx,i2=-1,t>0,

其初始条件为

v(x,0)=g(x),

其中，g(x)是连续且平方可积函数.而非线性薛定谔方程的标准形式为[1]

ivt+vxx+β|v|2v=0,

其初始条件为

v(x,0)=g(x).

自然分解法是自然变换法[2-4]和传统的Adomian分解法[5-6]的结合.本文利用自然分解法得到线性及非线性薛定谔方程的精确解,并与已有的结果进行比较.

1 自然变换

定义1[2-4]设f(t)∈A,t≥0,其中

A={f(t)|∃M,τ1,τ2,使得|f(t)|

则

为函数f(t)的自然变换.

若R(s,u)是f(t)的自然变换,则称f(t)为R(s,u)的逆变换.

下面,给出自然变换的一些基本性质.

定理1[2-4]若R(s,u),F(S)分别是f(t)∈A的自然变换和Laplace变换,则

定理2[2-4]若R(s,u),G(u)分别是f(t)∈A的自然变换和Sumudu变换,则

定理5[2-4]若α,β是非零常数,f(t)与g(t)是A上的函数,则

N+[αf(t)±βg(t)]=αN+[f(t)]±βN+[g(t)].

2 自然分解法及其应用

下面介绍自然分解法[7-8].考虑下面的非线性薛定谔方程

ivt+vxx+β|v|2v=0,

(1)

其初始条件为

v(x,0)=g(x),

(2)

其中,β是常数,v(x,t)是复值的.

方程(1)式两边同时取自然变换,有

(3)

将方程(2)代入方程(3),得

(4)

方程(4)两边同时取逆变换,有

(5)

其中,G(x,t)是由源项和初始条件产生的项.

设

(6)

引入Adomian多项式来表示非线性项

(7)

其中

(8)

将(6),(7)代入方程(5),得

(9)

比较方程(9)两边,得

v0(x,t)=G(x,t),

以此类推,

于是,此方程的解由下面的式子给出

3 应用举例

下面将自然分解法应用于求解线性及非线性薛定谔方程.

例1 考虑下面的线性薛定谔方程[9]

vt(x,t)+ivxx=0,

(10)

其初始条件为

v(x,0)=sinhx.

(11)

首先,方程(10)两边取自然变换,得

(12)

将式(11)代入方程(12),有

(13)

方程(13)两边同时取逆变换,得

(14)

设

(15)

结合(14),(15)得

(16)

比较(16)式两边,有

v0(x,t)=sinh2x,

以此类推,可以得到以下级数形式的解

于是得到原方程的精确解

v(x,t)=e-4itsinh2x.

这与文献[9]中通过变分迭代法得到的结果是一致的.

例2 考虑下面的非线性薛定谔方程[9]

ivt(x,t)+vxx(x,t)+2|v|2v=0,

(17)

其初始条件为

v(x,0)=e-ix.

(18)

首先,方程(17)两边取自然变换,得

(19)

将式(18)代入方程(19),有

(20)

方程(20)两边同时取逆变换,得

(21)

设

(22)

结合(21),(22)得

(23)

比较(23)式两边,有

v0(x,t)=e-ix,

以此类推,可以得到以下级数形式的解

v(x,t)=v0(x,t)+v1(x,t)+v2(x,t)+v3(x,t)+…

=ei(t-x).

于是得到原方程的精确解

v(x,t)=ei(t-x).

这与文献[9]中通过变分迭代法得到的结果是一致的.

4 结论

本文利用自然分解法,研究了线性及非线性薛定谔方程的精确解.通过两个例子验证了该方法的有效性和准确性.将致力于更一般化的模型,以供将来的研究,并将此方法应用于其他非线性偏微分方程的求解.