抓住函数性质 研究图形特征

顾宏萍

中考对函数内容的考查，除了考查函数的图像与性质及其应用等基础知识外，还会将函数与图形结合，考查同学们综合运用相关知识及数学思想解决多知识点融合问题的能力。

例1 （2020·四川凉山）如图1，矩形OABC的面积为[1003]，对角线OB与双曲线y=[kx]（k>0，x>0）相交于点D，且OB∶OD=5∶3，则k的值为。

【分析】反比例函数y=[kx]（k>0，x>0）图像上任意一点（m，n）与k满足k=mn的关系，过反比例函数图像上的点D作DH⊥OA于点H，则k=2S△ODH。通过研究图形特征，利用矩形和相似三角形的性质求出△ODH的面积，从而求得k的值。

解：过点D作DH⊥OA于点H。

∵矩形OABC的面积为[1003]，OB是对角线，∴S△OBA=[503]。

∵DH∥AB，∴△ODH∽△OBA，

∴S△ODH∶S△OBA=9∶25，则S△ODH=6。

设点D的坐标是（m，n），则S△ODH=[12]mn=6，∴mn=12。

把D的坐标代入函数表达式y=[kx]，则k=mn=12。

【点评】解答反比例函数表达式的题目，多数可以运用反比例函数的比例系数k的几何意义求解。

例2 （2020·四川成都）如图2，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=[mx]（x>0）的图像经过点A（3，4），过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点。

（1）求反比例函数的表达式;

（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式。

【分析】（1）把A（3，4）代入y=[mx]（x>0）即可得到结果。

（2）根据题意，可知△AOB和△BOC都可以看作以BO为底边的三角形。根据等底的两个三角形面积之比等于他们的高之比，结合画出的图形，可以直接得到y轴上点C的坐标，再将点A（3，4）和点C的坐标代入y=kx+b即可求出此直线的函数表达式。

当然，我们也可以直接根据直线表达式得到点B（[-bk]，0）、点C（0，b），再根据三角形的面积公式列方程即可得到结果。

解：（1）∵反比例函数y=[mx]（x>0）的图像经过点A（3，4），

∴m=3×4=12，

∴反比例函数的表达式为y=[12x]。

（2）∵直线y=kx+b过点A，∴3k+b=4。

∵过点A的直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于B、C两点，

∴B（[-bk]，0），C（0，b）。

∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，

∴[12]×4×[-bk]=2×[12]×[-bk]×[b]，

∴b=±2，

当b=2时，k=[23];当b=-2时，k=2。

∴直线的函数表达式为y=[23x]+2或y=2x-2。

【点评】本题的第（2）问虽然给出的是两个三角形面积的关系，但图中并没有给出满足条件的图形，这就需要同学们根据条件自主画图。可以从图形角度进行分析，获得线段之间的数量关系，即将所得的平行于坐标轴的线段长转化为坐标代入一次函数表达式求解，经历从形到数的转化过程;也可以直接从一次函数表达式入手，通过待定系数法，用k、b的代数式表示相关点的坐标，将坐标转化为线段，再通过两个三角形面积的关系构造方程求解。

在平面直角坐标系中，我们要关注坐标与线段的转换，求點的坐标很多时候是通过求平行于坐标轴的线段长度来解决的。本题充分展现了函数题中利用数与形相互转换的解题思路。

（作者单位：江苏省无锡市东林中学）