佛光现象的研究与模拟

许清滢 贾嘉琪 黄 振 吴青林

(华中师范大学物理科学与技术学院 湖北 武汉 430079)

佛光是生活中一种常见的大气光学现象.在太阳光的照射下，当观察者站在峰顶背对太阳时，如果视线前方的山谷有大量云雾，就可能观察到一圈或数圈明亮的同心彩色圆环，观察者的头部的影子位于彩色圆环的正中间，这就是所谓的佛光.佛光在我国的峨眉山、黄山等地最为常见，也称为峨眉佛光.南宋范成大所著的《吴船录》中将峨眉山光明岩的佛光现象描述为“俯视岩腹,有大圆光，偃卧平云之上.外晕三重，每重有青黄红绿之色.光之正中，虚明凝湛，观者各自见其形现于虚明之处，毫厘无隐，一如对镜，举手动足，影皆随形而不见傍人”.佛光在欧洲的布罗肯峰也十分常见，因此被称为布罗肯幽灵.从云层上的飞机有时也能观察到佛光，其彩色圆环中央为飞机的影子.

佛光和彩虹、日晕等都是日常生活中常见的大气光学现象.其中彩虹、日晕等都可以用几何光学原理加以解释，而佛光形成机制比较复杂，至今仍有多种解释.本文以一次在飞机上观察到的佛光为例，利用米散射理论和德拜级数模拟佛光，借助计算机仿真程序探究佛光的形成原理以及可以产生佛光的水滴尺寸范围.并结合古斯-汉欣效应分析了入射光线在球形液滴中的散射情况和佛光彩色光环的形成原因．

1 佛光的模拟

1.1 佛光的基本信息

本文讨论的佛光如图1所示，是笔者于2019年10月20日16:45拍摄于武汉飞往银川的MF8237航班上.此时飞机位于随州上空，东经113.25°、北纬32.06°，高度为7 193.28 m，航向为326°.

图1 在飞机上观察到的佛光现象

从图中可以看到此佛光有清晰可见的彩色光环，由内向外依次是蓝色、白色、黄色、橙色，佛光的正中心是拍摄者所在的座位(位于右侧机翼的前方). 拍摄使用的设备是小米5x手机.根据几何光学成像原理，可以估算出图中佛光的视角范围约为3.43～5.56°.

1.2 基于米散射模拟佛光现象

米散射理论是德国科学家米从电磁理论出发，由麦克斯韦方程组推导出来的均质球形粒子在电磁场中对平面波散射的精确解[1，2].米散射理论适用于任何尺寸的微粒散射, 一般把微粒直径与入射光波长相当的微粒所形成的散射称为米散射.云雾颗粒的尺寸一般在微米量级，因此太阳光被云雾散射的情形属于米散射.

图2给出了根据米散射理论模拟的佛光图样和真实的佛光照片对比，图中下半部是模拟结果，上半部是实际的佛光图片.米散射模拟选取的水滴尺寸为4.6 μm，尺寸分布范围16%，折射率为1.33.从图中可以看到，模拟的佛光彩色光环的视角范围为3.2～5.6°，与实际测量的数值符合得很好，颜色排列顺序也和实际情况一致.因此，米散射理论确实可以非常准确地给出佛光模拟结果.

图2 米散射模拟结果(下半部)和实际佛光照片(上半部)对比

由于形成此次佛光的云雾位于云层之上，因此实际云雾颗粒的尺寸无法直接测量，但是我们通过当时飞机所处位置的卫星云图反演，结合历史气象资料，如图3所示[3～5]，推断出形成此次佛光的云雾颗粒尺寸在4～5 μm.这个尺寸与米散射模拟的结果比较一致，证明了米散射理论用于模拟佛光的可行性.

图3 不同季节不同高度时的云滴尺寸[4]

图4给出了根据米散射理论计算的白光入射到半径4.6 μm的均质球形水滴的散射光强[6]，横坐标为散射角，即散射光线方向相对于入射光方向的偏转角.

图4 米散射理论计算白光入射到半径4.6 μm的水滴的散射光强分布情况

由图4可知，随着角度增加或减小，对应的颜色也随之变化.具体颜色变化见图4上方的色彩条码，最亮的光环出现在大约177°散射角处，颜色接近白色.随着散射角度增大，会出现蓝色环带、灰色的暗环和中心亮斑.随着散射角度减少，依次呈现黄色橙色环带. 如图1和2所示，上述计算结果和实际情况基本吻合.

尽管米散射可以精确地模拟佛光，但是由于米散射是散射光的无穷级数求和，无法从结果中判断哪些级次的散射光才是形成佛光的主要因素，因此无法解释佛光是如何形成的.解释佛光的形成过程需要引入德拜级数.

1.3 基于德拜级数模拟佛光

用德拜级数可以分别计算不同级次散射光强度[7]，因此可以具体研究某一级散射光对总散射光的影响，从而帮助我们找出形成佛光的是哪些级次的散射光.德拜级数p的定义如图5所示.

图5 散射光的德拜级数定义示意图

图6是德拜级数计算波长650 nm的单色光入射到半径4.6 μm的水滴时，不同级次散射的光强.从图中可以看出，佛光(散射角在170～180°之间)主要是由p=2的散射光形成的，更高级次p=6，7级的散射光也有贡献，但影响较小.从图中可以看到，在170～180°区间，光强出现了明显的起伏，几个光强极大值对应的散射角依次是171.5°,176°,180°，和前面米散射模拟的结果基本一致.需要注意的是，这是波长为650 nm的单色光对应的亮环的角度，并非白光产生的佛光亮环.

图6 利用德拜级数计算各个级次的散射光强，水滴半径4.6 μm，波长650 nm

接下来我们利用德拜级数计算白光入射到半径4.6 μm水滴的各级散射光强，如图7所示，可以看到p=2级的散射光线，其强度和色彩变化规律与图4米散射理论计算的结果完全一致，而且其强度比其他级次高出一个数量级以上，因此形成佛光彩色亮环的主要是p=2级散射光.由图4可知在180°附近，高级次的散射光强度也有所增加，提高了佛光中心的亮度，因此佛光的中心总是亮斑，这和前面米散射理论计算结果一致.

图7 用德拜级数计算的白光被半径4.6 μm水滴散射的光强分布

2 佛光的形成机制探究

前面的计算结果表明，佛光主要是由p=2级的散射光形成的，那么这一级次的散射光是如何产生佛光的呢？首先我们讨论几何光学能否给出合理的解释.如图8所示，入射光线经过一次内反射后折射出水滴，散射角θ=180°+2α-4β，其中α为入射角，β为折射角.假设水滴的折射率n=1.33，半径10 μm，入射角α由零逐渐增加到90°，散射角β先是由180°逐渐减小直至最小值——138°彩虹角，然后继续增大到约165.6°(对应入射角等于90°).计算出光强随散射角的变化曲线如图9所示，在170～180°区间，光强几乎不变，不能产生佛光中心那样明暗交替的光环，因此经典的几何光学理论无法解释佛光是如何形成的.

图8 几何光学确定的p=2级散射光路示意图，散射角θ=180°+2α-4β

图9 几何光学确定的散射光强-散射角[7]

2.1 佛光形成原理

文献[8]认为佛光是由入射角为90°的入射光线经水滴散射形成的.如图10(a)所示，根据折射定律，入射角等于90°时计算出散射角应当为165.6°.而佛光对应的散射角一般位于170～180°区间，例如前面计算出波长650 nm红光入射到半径10 μm、折射率1.33的水滴形成的佛光的散射角为175°.为了解释这一角度偏离现象，文献[8]提出了表面波的概念，认为光线先沿着水滴表面传输一段距离后再折射出水滴，如图10(b)水滴下方实线所示.在此基础上，文献[9]给出了佛光的形成机制，如图10(c)所示，对于上方水滴，入射光从水滴上边沿入射，经水滴反射后再次折射，由于表面波效应，此折射光线相对入射光线的偏转角为175°，如图中红色实线1所示；对于下方水滴，入射光从水滴下边沿入射，经水滴反射后再次折射，此折射光线相对入射光线的偏转角为360°-185°=175°，如图中红色实线2所示.由球体的旋转对称性，当光线1和2的相位差等于2kπ时，两束光干涉相长形成亮环.

图10 文献[8]对佛光的解释

van de Hulst等人的理论比较好地解释了佛光现象，但仍然不够清晰，例如图10(b)中，为何光线会偏离几何光学路径？什么是表面波？表面波是如何产生和传播的？图10(c)中，上下两个水滴出射光线的偏转角为何不同？因此下面结合全反射现象对这些问题进一步展开探讨.根据几何光学理论，沿着水滴边沿入射的光线，在水滴内部会发生全反射，如图11(a)所示.但是从波动光学的角度考虑，发生全反射时，入射波的能量不是在严格的界面上全部反射，而是穿透到光疏媒质内一定深度后逐渐反射的，如图11(b)所示[10].这样就产生了古斯-汉辛位移[11, 12]，即反射光线相对于入射光线有横向偏移，位移大小取决于入射光的波长、入射角和折射率，因此不同偏振分量的偏移量不同，如图11(c)所示.光线在水滴内部发生全反射时，水滴内部光场分布如图11(d)所示[13].

图11

由图11(d)可知，对于一个孤立的水滴，由于在水滴内部是全反射，光场能量集中在水滴内部，外部只有少量的倏逝波，因此不会形成佛光.真实的佛光形成原理如图12所示，当两个水滴靠的很近时，就可以将内部光场耦合出来沿着球滴表面传输，形成一个散射区间，这就是van de Hulst提出的所谓表面波.对于任意相邻的水滴，散射角相同的光线都可以发生干涉，但是只有相位差等于2kπ的光线，如图中所示的光线1和2，才会干涉相长形成亮环.当水滴的尺寸给定时，干涉环的角度取决于入射光的波长，因此佛光的光环颜色是按照一定规律排列的.

图12 散射角相同而且相位差为2kπ的光线和干涉相长形成佛光

2.2 云雾颗粒尺寸对佛光的影响

由前面的分析可知，其他条件不变的情况下，如果水滴的尺寸不一致，那么散射光的相位差很有可能不满足干涉相长条件，从而导致佛光现象不明显甚至消失.我们使用软件定量分析了水滴尺寸变化对佛光的影响，如图13所示.模拟结果表明单一尺寸水滴产生的佛光有4个或更多的清晰光环，10%的尺寸不一致会降低条纹对比度，如果尺寸不一致达到20%或更高，除了最内层的光环以外，几乎看不到彩环.因此，环境中水滴尺寸不一致会导致佛光模糊不清，直至消失.

图13 水滴尺寸不一致导致佛光模糊不清直至消失

下面考察能够产生佛光的水滴尺寸范围.如图14(a)所示,佛光彩色条纹的亮度和干涉环的大小与水滴半径成反比，即水滴半径越大，佛光的可见度越低.如图14(b)给出了不同尺寸水滴的散射光强随散射角变化曲线，结合图14(a)和14(b)可知，要形成人眼可见的佛光，水滴的尺寸必须在4～25 μm范围之内.

图14 产生佛光的水滴尺寸研究

2.3 对于峨眉与黄山的佛光分析

在上述理论分析的基础之上，我们选取峨眉与黄山的佛光加以分析验证，以证实理论的可行性．图15(a)所示的是峨眉山金顶的佛光照片，该照片拍摄于2017年1月30日，拍摄高度为3 000 m，该佛光在该照片中所形成的视角约为2.6°. 图15(b)为模拟结果，选取水滴尺寸为8.9 μm，尺寸分布范围为5%.从模拟结果可看出佛光最亮白色光环的视角范围为2.5°.由历史气象资料[3～5]可知，秋季北半球海拔3 000 m处的云滴尺寸为8～9 μm，与模拟数值相吻合.

(a)峨眉佛光[14]

(b)峨眉佛光模拟

下面采取同样的方法分析黄山的佛光.图16(a)拍摄于2017年3月21日，估算得到图中佛光成像视角为1.7°.图16(b)为模拟结果，选取水滴尺寸为11 μm，尺寸分布范围为2%.模拟得到佛光白色最亮光环的视角范围为1.8°，与估算值相差较小.

图16 黄山的佛光

2.4 生活中观察佛光的方法和技巧

从上文分析可知，观察佛光需要背对太阳面向云雾，云雾颗粒的半径在4～25 μm之间而且尺寸均匀.结合以上条件，在生活中以下几种场景较容易观察到佛光现象：

(1)湿度较大容易产生云雾的山区，例如峨眉山和黄山等.

(2)南北航向的飞机在云层上平稳飞行时，上午西侧或下午东侧靠窗座位，待到航向接近180°或360°时向窗外观察.

(3)跨海大桥或者海边的山崖上，选择合适的时间和方位，背对太阳面朝大海观察.

3 总结与讨论

本文首先利用米散射理论和德拜级数对佛光进行了模拟仿真，确定佛光是由于第二级散射光形成的.然后探讨了佛光的形成机制，借助全反射和古斯-汉欣效应对van de Hulst提出的表面波模型进行修正和补充.确认了佛光是相邻水滴的散射光线中，散射角相同而且相位差为2kπ的光线干涉相长形成的.通过模拟计算可知，产生人眼可见的佛光，需要云雾颗粒半径在4～25 μm区间而且尺寸要尽量一致.

本文用该理论对峨眉山和黄山佛光的视场角和颗粒半径进行模拟分析，结果和通过几何光学得到的视场角与通过查询历史气象数据得到的颗粒半径大致相同，验证了本文对于佛光成因分析的合理性.

最后本文给出了日常生活中观察佛光的方法和技巧，帮助读者寻找观察佛光现象.由于佛光的形成机制比较复杂，本文对于佛光的探讨尚处于定性或半定量的范畴，严格的定量计算和分析需要将雨雾水滴当做微球腔，用光学微腔理论进行处理，这将是下一步将要开展的工作.