新高考过渡时期的立体几何备考策略

窦彩云

【摘要】立体几何既是高中数学的主干知识，也是高考的重要考点，本文基于当前新高考过渡时期的背景，分析近几年高考三套全国试卷中的立体几何试题，把握立体几何命题方向，结合学生立体几何复习中存在的问题，探寻有效的备考策略：深入研读课标，明确新高考和新课程改革趋势;聚焦内容主线，汇总重点题型形成知识系统;重视基本图形，多措并举发展直观想象能力;凸显思想方法，培养理性思维提高解决问题能力;注重规范表达，补偿性训练扫清复习盲点.以期提高学生立体几何专题的复习效率，形成教学与考试的良性互动，实现全面育人的教育目标.

【关键词】新高考过渡时期;立体几何;命题趋势;备考策略

【基金项目】该论文是甘肃省教育科学“十三五”规划2019年度一般规划课题《基于数学核心素养的问题式教学法应用研究——以贫困地区高中立体几何教学为例》的阶段性研究成果，课题立项GS[2019]GHB1037

一、问题的提出

2014年，国务院出台的《国务院关于深化考试招生制度改革的实施意见》，明确提出了深化高考内容改革的要求，因此新一轮的课程改革也陆续进入实施阶段.这一时期是新旧教材并用、新旧课程并举、新旧高考并存的过渡时期.立体几何既是高中数学的主干知识，也是高考的重要考点，更是学生“跳一跳”就能够得着、学得会的模块，它承载着提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的育人功能.因此，高三数学教师需要深入研究新高考过渡时期立体几何的命题趋势，结合学生立体几何复习的现状和问题，探寻有效的备考策略，以考促教，以教促学，以期形成教学与考试的良性互动，实现全面育人的教育目标.

二、新高考过渡时期立体几何命题趋势分析

2020年1月，教育部考试中心发布了《中国高考评价体系》，它是新高考数学命题框架的建构基础，通过其核心功能、四层考查内容和四翼考查要求，全面衔接高中新课程改革.下面将结合《中国高考评价体系》和《普通高中数学课程标准》（2017年版），通过分析2019年3套高考数学全国卷的立体几何的试题结构及考点分布，把握命题趋势.

试题以选填题和解答题的形式呈现，题量和难度相对稳定，重点突出，有一定的规律性.Ⅰ卷是一大一小，占17分，Ⅱ卷和Ⅲ卷均是一大两小，占22分.选填题在中等难度或压轴位置，主要考查点、线、面位置关系的判定、多面体的外接球、以真实背景为情境的多面体结构或体积问题，未考查三视图，文理科一致性较强.其中Ⅱ卷的16题是一道一题两空的填空题，第一空2分、第二空3分，体现了高考要创新试题呈现方式和设问方式的要求，加大了试题的区分度，该题融入中国历史悠久的金石文化，赋予几何体真实的背景，考查与正方体有关的新几何体的结构特征，体现了数学的对称美，并让学生感受这种美对于解决问题的真实力量;Ⅲ卷的16题源于实际的科学教育实践内容，以劳动实践过程中的3D打印为背景，考查几何体拆分合并问题，彰显数学新课程标准的要求和育人导向.这两道题虽然都在填空题的压轴位置，但是难度并不大，要求学生具有较强的阅读理解能力，体现了高考试题“新题不难、难题不怪”的特点以及从“解题”转变为“解决问题”的命题方向.解答题则在中等难度位置（17题或19题），以棱柱或棱锥为载体，设置“一证一算”两问，第一问文理科都以证平行、垂直为主，对于第二問，理科试题主要考查二面角的计算，文科试题主要考查点到平面的距离、体积、侧面积等计算问题.

通过分析发现，高考中立体几何的考查立足于必备知识和关键能力，突出理性思维、数学应用、数学探索和数学文化，多想少算，区分度好，充分体现了“五育并举”的教育方针，具有较强的基础性、综合性、应用性和创新性，符合高考选拔人才的要求.

三、学生在立体几何复习中存在的问题

通过课堂教学和试卷答题情况，教师发现学生在高三立体几何复习中存在以下问题：

（一）概念不清

对常见几何体结构的认识不清，如直棱柱、正棱锥、正四面体等，导致学生无法利用几何体中的位置关系和长度关系有效解决问题;空间角的概念模糊，三类空间角的解决都是把空间角转化为平面角，体现了转化化归的数学思想方法，概念模糊导致学生忽略定义的本质，不会用降维思想来转化条件;向量夹角与空间角关系不清楚，理科生易混淆“两平面法向量的夹角”和“二面角”的概念，误认为“直线方向向量的夹角”就是“两条异面直线所成的角”，搞不清“线的方向向量与法向量的夹角”与“线面角”的关系.这些问题都会使学生在用向量法求空间角的过程中陷入盲目计算.

（二）直观想象能力薄弱

直观想象能力是学生学好立体几何的必备能力，部分学生对知识的理解停留在文字语言的层面上，在脑海中并未形成直观的几何模型，因此解题时找不到方向.对于有些没有给出图的题，学生不能根据条件作出正确的直观图，或辅助线作图不规范等，这些都会导致失分较多.

（三）逻辑思维能力欠佳

由于知识方法零散没有形成系统化，对定理的理解不透彻，因此学生无法体会将立体几何问题转化为平面几何问题的化归思想，故在做题时不能有效地利用符号语言进行推理论证，逻辑欠严密，在利用定理时，条件罗列不全，表述不规范，如证明线面平行时忘写线不在面内的条件、直线和平面的关系用∈表示等.理科立体几何解答题的第二问一般是二面角、线面角的求解，方法多样，学生大多偏向于利用向量法解决，但其前提是要建立一个恰当的坐标系，思维不严密的学生就常出现“不证明三条直线两两垂直”就盲目建系的错误;文科立体几何解答题的第二问一般为与面积、体积或距离有关的问题，这些问题往往需要“先证后算”，逻辑思维能力的欠缺将造成“会而不全”的现象，导致不必要的失分.

（四）运算求解能力弱

数学运算核心素养是立体几何考查的重点，学生运算时出现的错误主要体现在：记错几何体的表面积、体积公式;向量法中不会写或无法合理设出点的坐标;带参数的运算变形出错;错用求空间角的向量公式;向量法运算中因步骤多而算错等.

四、立体几何备考策略

基于新高考过渡时期立体几何的命题趋势和学生在立体几何复习中存在的问题，提出以下备考建议：

（一）深入研读课标，明确新高考和新课程改革趋势

只要研究新课标要求，将立体几何知识系统化、结构化，将主要脉络搞清楚，抓住数学的核心思想之间的关系“网”，就可以更好地把握数学课程的实质，提高教学效率.研究高考命题改革的相关文献，如《中国高考评价体系》《基于高考评价体系的数学科考试内容改革实施路径》等，对于把握新高考过渡时期的数学备考工作，有着十分重要的、积极的意义.新高考改革不可能一蹴而就，高考试题也必定是稳中有变、稳中求新，研究近几年高考真题，可以理解并把握高考命题趋势.比如2019年全国Ⅱ卷和Ⅲ卷的16题，释放出明显的信号是：创新题型体现区分度;问题情境展示数学文化、数学之美和社会发展新成就;强调数学的工具性，考查学生有效解决实际问题的方法和能力，引导学生学会用数学思维思考世界.

（二）聚焦内容主线，汇总重点题型形成知识系统

华罗庚说：“学习数学一定要经历‘由薄到厚和‘由厚到薄的过程.”这里的“由厚到薄”就是指将分散的知识方法系统化，有序地纳入整体数学知识框架中，这样学生才能融会贯通，举一反三.高考立体几何的考查热点包括：点线面位置关系的证明、多面体与球体的切接问题、几何体体积和表面积、空间角和距离的度量问题.教师要从整体上设计教学，精选例题，突出内容主线，夯实基础，强调知识的内在逻辑联系，关注重点题型的通性通法，一题多解，多题一源.比如引导学生汇总证明平行和垂直的常用结论、整理利用向量法求空间角的一般步骤并进行对比区分、常见几何体的外接球问题等.

（三）重视基本图形，多措并举发展直观想象能力

对于学生来说，几何元素的位置关系错综复杂，教师在平时的教学中，要借助基本的几何体，如长方体（教室模型）、正方体来讲授点、线、面的位置关系，特别是归纳关于平行和垂直的定理;教师也可以借助实物道具和Cabri-3D、几何画板等软件，使学生全方位认识几何体的空间结构，提炼本质，进而突破轨迹、翻折等动态问题的难点，实现理性思维和形象思维的转化.教师要舍得花时间教学生怎么画图，讲清作图的原理，培养学生识图、作图、用图的能力，发展其直观想象核心素养.

（四）凸显思想方法，培养理性思维提高解决问题能力

数形结合、转化与化归是解决立体几何问题的重要思想方法.如2019年全國Ⅰ卷理科12题，在得到三条侧棱两两垂直后转化为正方体的外接球问题，教师要引导学生关注整体嵌套的解题思路;2019年全国Ⅱ卷16题，将计算半正多面体的棱长通过作截面转化为求正八边形的边长问题;2019年全国Ⅲ卷理科8题，选取两个平面为背景设计题目，考查直线与直线的位置关系，实际上需要通过推理论证后构造平面来解决.引导学生体会空间中平面背后的降维思想是解题的关键，缺失了对原理和思想的理解，单纯的计算将无用武之地.

（五）注重规范表达，补偿性训练扫清复习盲点

立体几何的证明表述基本上都是使用符号语言的，符号语言的表达能力可以体现出学生数学核心素养的发展水平.试卷是考生和阅卷教师“对话”的桥梁，书写时的合理布局，推理过程的严密性和完整性，运算节奏的把握和正确率都是学生得分的关键.在教学中，教师要帮助学生寻求解题方向，选择恰当的算理算法等，这时板演就显得尤为重要.到了专题复习阶段，教师要指导学生多反思，这样可以提高学生的自我监控能力，教师还要对限时训练出现的问题分类整理，选取典型题、易错题、高考真题作为补偿性训练，着力解决“会而不对、对而不全”问题，扫清学生在立体几何复习中的盲点，提升学生的数学核心素养.

【参考文献】

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