在合作学习中培养数学抽象素养

马倩倩

【摘要】数学学科核心素养代表着数学教育目标，它须要在课程中加以落实，因为课堂教学是课程实施的主渠道.数学抽象思维居于数学学科核心素养的首位，我们可以通过支架式教学设计、精心设计问题、培养学生的概括能力等方式开展培养学生数学抽象素养的教学活动.而教学是师生合作、生生合作的过程，素养的落实要通过活动，活动须要师生、生生合作共同完成，因此应在合作学习中培养学生的数学抽象素养.

【关键词】合作学习;数学抽象素养

一、前言

新一轮课程教学改革更注重培养学生的核心素养.对于高中数学来说，核心素养是数学思维、关键能力、情感培养、学习态度和价值观的综合体现.核心素养的提高不是一朝一夕能够做到的，它须要在学习中慢慢积累并不断总结.数学抽象素养是学生必须具备的数学基本素养之一，并且处于核心素养的首位.学生通过对数学概念和规则的理解，能够提出数学命题，建立数学模型，从而形成数学方法和思想，达到认识数学结构和体系的目的.高中生数学抽象素养的高低受多种因素的影响，与学习内容有关，也与学习行动相关，还和诸如同伴影响等多种因素相关.因此，培养高中生的数学抽象素养要从多方面入手，教师和学生都要给予重视，在设置情境和回答问题方面、学习基础知识和提高数学技能方面、锻炼学生的数学表达和活跃思维方面以及通过师生之间的交流和反思方面加强培养.

合作学习体现了思维与表达、交流与反思这两个方面.合作学习的参与者可以是师生之间也可以是生生之间，学生分组学习可以两人一组，也可以多人一组.在课堂上，师生与生生之间的合作是并存的，不可分割，师生之间是一种新型的学习合作伙伴关系.学生的学习过程从现有知识的消费性学习转化为伙伴合作的创造性学习，促使学生在合作学习的过程中能够加强分享和交流，在共享学习资源的同时，还能够彼此监督相互启发，有利于数学的学习，更有利于培养学生的数学核心素养.

二、对数学抽象的认识

数学抽象的重要表现之一是数学概念和规则.依据抽象程度的不同，史宁中教授将数学抽象过程划分为三大阶段：第一阶段为简约阶段，主要是把握事物本质，将复杂问题简单化，并能够条理清晰地表达出来;第二阶段是符号阶段，运用运算符号和关系术语等将具体事物简约化表述;第三阶段为普适阶段，揭示事物的本质和规律，主要是通过假设和推理手法构建法则和数学模型来实现.构建数学命题和模型是数学抽象的一个重要过程，不仅能实现对数学事实的抽象概括，还是数学学习的重要工具，有利于实现知识迁移和关联，解决数学实际问题，帮助学生在完成数学体验和学习过程后，提高模型化解决问题的能力.

三、在合作学习中培养学生数学抽象素养的方法

（一）利用支架式教学发展学生的数学抽象素养

所谓支架式教学即为学生理解知识构建的一种概念框架，这些概念可以方便学生对问题的进一步解读.支架式教学可以分为五个步骤操作：（1）搭建脚手架;（2）进入情境;（3）独立探索;（4）协作学习;（5）效果评价.数学教师可以结合史宁中教授提出的数学抽象三个阶段以及学生的抽象思维特点构建抽象概念教学支架，将数学知识按照抽象程度分级，再逐级引导学生学习.教师可以通过创设教学情境的方法让学生主动参与到教学活动当中，开展协作学习，增加学生体验，促进学生学会独立思考和自主探究，提高个人的抽象思维能力，培养其数学思维，同时提高学生的数学表达能力和沟通能力，也给学生提供了取长补短的机会，让学生之间相互学习，互相包容，共同进步，发展学生的数学抽象素养.

（二）精心设计问题和教学情境

数学抽象素养的落实要在活动中进行.数学教师在教授具体内容时要做到“心中有全局”，才能设计出有层次的问题.用问题驱动学生的数学学习，能够让不同的学生围绕不同的问题进行探究学习，利用问题提问，能够提高学生的注意力，鼓励学生积极参与讨论和交流，提高自己解决数学问题的能力.为了调动学生的积极性，活跃课堂氛围，教师要在问题设置上多下功夫，问题和情境设计要有科学性和层次性，做到以问题串联知识点，以发展学生的抽象素养为目的.可以按照教学环节层层相扣，基础的问题设计要让绝大多数学生能动手，然后逐步深入，兼顾不同层次的学生.对于难点和重点内容要细致讲解，以重难点内容为核心设置多样化、多角度的问题，让学生思考交流，并尽量自行解决问题，使学生对概念、原理理解得清楚透彻.

（三）提高学生的数学概括能力

数学概括思维是抽象思维的重要体现.数学概括水平能反映思维活动的广度和深度，这恰好符合学生数学抽象素养产生和发展的要求.让学生根据自己的判断初步概括出知识要点，也就是抽象出了数学概念，当这个抽象的概念能被学生合理表达出来，学生就能更好地通过概念去认识、理解和把握事物的数学本质了，抽象素养即在学生心理慢慢形成并逐步提高.因此数学概括能力的发展过程也就是数学素养形成的过程.

（四）师生共同合作是教学中落实学生数学素养的保证

教学是师生互动的过程.在教学中，教师并不是单纯的旁观者，所有的问题由学生自己解决也不现实，毕竟学生的学习能力和视野是有限的，故教师要在学生碰到困难时给予启发诱导，搭建“脚手架”，抓住数学知识的最近发展区和知识间的联系进行引导.最近发展区正是教师帮助学生发展的区域，也是学生以主体的方式从事学习活动、获得发展的区域.在合作学习中，教師应发挥引领和指导的作用，让学生成为学习活动的主体，主动去挑战问题，克服困难，学会自主探究，提高学习能力和积极性.

四、培养数学抽象素养方法在教学中的应用

数学学科核心素养代表着数学教育目标，它须要在课程中加以落实，因为课堂教学是课程实施的主渠道.笔者以讲解“导数与函数的单调性的联系”为例，在课堂教学中开展合作学习，将培养数学抽象素养的方法运用其中，通过“获得数学概念与规则”这一主要表现，落实培养学生的数学抽象素养.

1.分组合作.6个人组成一个小组，每人研究一个基本初等函数，探究导数与函数单调性之间的联系，并进行交流.教师引导：让小组成员从y=x，y=x2，y=x3，y=1x，y=2x，y=log12x中选取一个探究导数的正负与单调性的联系.学生合作：画出原函数图像，观察其单调性，并直接计算其增减区间里的导函数，发现函数的单调性与其导数的正负的关系.这样做的目的在于达到数学抽象过程中的“辨别”阶段，从具体的函数出发，让学生体会数形结合思想的运用，体会从特殊到一般、从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在教师的引导下分组探究，合作解释，探讨出函数单调性与导数正负的关系.

2.交流心得.选派两个具有代表性的小组代表到讲台上分享小组的探究成果，并让学生利用黑板进行板书，如果有不完善的地方，其他小组可以派代表进行补充.学生得出结论：在某区间内，若导数为正，则原函数在此区间单调递增;若导数为负，则原函数在此区间单调递减.学生在交流与发言中锻炼了表达能力.

3.总结结论.师：把我们目前所做的讨论在小组成员之间进行总结.此时教师环顾课堂，走进需要帮助的小组，引导小组讨论.教师询问了一个小组的讨论结果，只见成员把课堂上探讨的结论罗列出来：在某区间内，若导数为正，则原函数在此区间单调递增;若导数为负，则原函数在此区间单调递减;若导数恒为零，则原函数在此区间是常数函数，无单调性;若导函数在区间内的离散点为0，其余时候都大于（小于）0，原函数在此区间仍单调递增（递减）.可见小组成员是认真听课的，但是缺乏了自己对知识的理解.这时教师引导：（1）能否将第一点与最后一点合成一句话，即导函数满足什么条件能推出原函数在此区间上单调递增？（小组能把条件合到一块说）（2）“导函数在区间内的离散点为0，其余时候都大于0”与“导函数在区间内恒正”能用一句话来表达吗？（小组碰到了困难，不知该如何说）（3）如何从逻辑的角度理解f ′（x）≥0？（f ′（x）>0或f ′（x）=0有一個成立即可）（4）是否可以用f ′（x）≥0统一表示？有需要限制的条件吗？（在某区间内，导函数恒大于等于0，且导数值为0的点是离散点，则原函数在此区间单调递增）之后，教师特地请该小组交流心得.

师：请用数学符号语言表示结论.学生在表示区间时会犹豫是开区间还是闭区间，此时教师以y=x2为例，在定义域的区间内，一个点并不改变函数的单调性，因此开区间和闭区间都行，习惯上，我们写成开区间.数学概念的表示有三种形式：文字语言、符号语言、图形语言.学生在用数学符号语言表示时，会碰到疑惑，甚至表述不精确，这都是教学中的宝石，教师应合理利用.

五、结语

知识不是孤立的，深层次地理解概念意味着学习者拥有的知识是围绕着数学学科的核心概念、主题及问题组织起来的，是从多个角度对其加以表征的，并能在真实、复杂的情境中应用知识.只有学生知道在什么样的情境中应用这些知识，在面对新的情境时才能够解释信息、创建模型、解决问题，这就进一步落实了数学核心素养的培养.通过合作学习方式的构建，学生可以充分融入数学小组讨论中.合作讨论的过程也就是数学概念抽象素养形成的过程，为积极探索数学教学方法提供了思路.

【参考文献】

[1]史宁中.数学思想概论：数量与数量关系的抽象（第一辑）[M].长春：东北师范大学出版社，2008.

[2]姜相宇，张维忠.利用支架式教学发展学生的数学抽象素养：以“双曲线定义与标准方程”的教学为例[J].中学数学月刊，2019（2）：32-34.