浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法

王建云 全宏波 赵育林

【摘要】拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系，是研究函数区间性质的重要理论工具.本文介绍了拉格朗日中值定理的几种证明方法，如利用罗尔定理、作差法、常数k值法、行列式法、坐标旋转法、积分法等.

【关键词】拉格朗日中值定理;辅助函数;证明

一、引 言

拉格朗日中值定理为微分学中的基本定理之一，是法国数学家拉格朗日（Lagrange）在其著作《解析函數论》中提出的，并给出了初步的证明.拉格朗日中值定理能够将函数与其导数联系起来，反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系，是分析和讨论函数在区间上具有某些性质的重要方法，在微分中值定理中处于核心地位.关于拉格朗日中值定理的证明，有一些文献也进行了相关的讨论和研究.为了帮助学生加深对拉格朗日中值定理的理解，更好地掌握该定理的精髓及应用技巧，本文对证明拉格朗日中值定理时辅助函数的构造进行探讨，这也是证明该定理的一个关键点.

二、拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得

（一）利用罗尔定理

当函数f（x）满足条件f（a）=f（b）时，拉格朗日中值定理就是罗尔定理，表明罗尔定理为拉格朗日中值定理的一种特殊形式.因此对拉格朗日中值定理作适当变形，就可以利用罗尔定理来证明.

三、结 语

通过上述讨论可知，证明拉格朗日中值定理的关键是构造一个辅助函数，且其构造的方法灵活多变.在学习的过程中同学们要积极探究，善于思考和运用学过的知识，将冰冷的数学理论变得火热，将枯燥的数学证明变得有趣.

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