基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律

王晓海, 孟秀云, 周 峰, 邱文杰

(1. 北京理工大学宇航学院, 北京 100081; 2. 北京航天自动控制研究所, 北京 100039)

0 引 言

精确制导武器在现代战争中占据着不可替代的位置。随着科学技术的发展,装甲车辆、舰船等目标的防御能力相较于以往有了显著的提高。为获得更好的打击效果,要求飞行器以某种角度命中目标[1]。1969年,带终端落角约束的制导理论在阿波罗计划首次登月时得到了应用[2]。Kim等[3]在机动弹头制导问题中首次考虑落角约束问题。文献[4]提出了一种制导律,根据终端落角要求计算几何圆弧弹道,之后给出控制指令使导弹跟踪计算出的圆弧弹道。文献[5]基于非奇异快速终端滑模和二阶滑模控制理论,提出了一种带落角约束的有限时间滑模制导律。文献[6]以攻角作为控制指令,运用滑模变结构理论推导了满足终端攻击角度约束和攻角约束的制导律。文献[7]提出了一种伪机动比例导引律,并设计了自适应参数,降低了初始过载。文献[8]推导了一种带落角约束的无奇点快速终端滑模制导律,并设计了非线性扰动观测器对扰动进行动态补偿。文献[9]提出了一种考虑加速度饱和的落角约束制导律,并将目标加速度信息作为扰动进行观测补偿。文献[10]提出了一种基于落角约束的偏置比例导引律,并设计了盲区控制方案,减小了命中点处的法向过载。文献[11]基于飞行力学原理和最优控制理论提出了一种落角约束最优制导律。文献[12]基于二阶滑模理论提出了一种有限时间收敛的落角约束制导律,并引入二阶观测器来对目标运动进行估计。文献[13]基于李雅普诺夫稳定性理论提出了一种两阶段落角约束导引律。文献[14]设计了一种落角约束滑模制导律,并应用模糊控制理论与径向基函数(radical basis function, RBF)神经网络理论,对导引律系数进行自适应调节。文献[15]基于反馈线性化与有限时间控制理论推导了针对固定目标的落角约束制导律。文献[16]考虑视场角约束的限制,基于追踪法与比例导引法设计了满足攻击角约束的制导律。文献[17]从实际物理意义的角度对带落角约束的最优制导律进行了分析,并推导了一种新形式的最优制导指令。文献[18]基于自适应反步法推导了针对运动目标的含攻击角约束的制导律,并提出了一种平滑二阶滑模微分器,对虚拟控制率的微分进行估计。文献[19]基于滑模控制理论和反步法,并考虑自驾仪动力学,设计了一种带攻击约束的鲁棒制导律,并设计了自适应二阶滑模观测器对目标机动信息进行估计。文献[20]基于双曲正切函数设计了有界虚拟制导律,之后引入映射,控制垂直于弹目视线的相对速度,对虚拟制导律进行跟踪,得到了带攻击角约束的制导律。文献[21]提出了一种新型的非奇异终端滑模制导律。文献[22]设计了一种自适应快速固定时间滑模制导律,可以从任何初始角度以期望的攻击角击中目标。文献[23]提出了一种由观测阶段和攻击阶段组成的两阶段最优制导律,并将最优制导律与切换项结合,使之能够满足攻击角约束和视场角约束。文献[24]基于二阶滑模设计了一种考虑驾驶仪动力学的攻击角约束制导律,并使用反步法设计滑模面,有效消除了抖振。文献[25]基于非均匀快速终端滑模面理论和二阶滑模控制理论,设计了满足攻击角约束的具有耦合项的非奇异快速终端三维二阶滑模导引律。文献[26]考虑执行机构饱和问题,并基于制导控制一体化设计了一种满足攻击角约束的制导律。文献[27]针对运动目标提出一种攻击角约束的制导律,该制导律分为两个阶段,第一个阶段采用非奇异终端滑模制导律使导弹在有限时间内以期望的攻击角攻击虚拟目标,第二个阶段使用比例导引法,使导弹以恒定的航迹角攻击目标。文献[28]重点考虑剩余飞行时间估计问题,并针对基于终端滑模控制的攻击角约束制导律,提出了一种剩余飞行时间估计方法。文献[29]基于非奇异终端滑模控制理论提出了一种满足攻击角度和攻击时间的制导律,并基于预测拦截点设计了剩余飞行时间估计方法。

本文针对导弹以一定落角攻击装甲车辆等地面移动目标问题,推导了弹目相对运动模型,在偏置比例导引律的基础上,结合滑模变结构理论,推导出基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律,基于李雅普诺夫稳定性理论设计了参数自适应的幂次趋近律,并结合实际工程应用对趋近律参数进行了进一步设计,减小了导引律在命中点附近的法向过载,进一步提高了导引律的实际工程应用价值,之后,考虑目标机动信息无法准确测量的问题,引入扩张状态观测器(extended states observer, ESO),将目标机动造成的弹目视线角速率分量看作扰动量进行观测,从而对目标速度进行估计,最后对本文提出的制导律的性能进行了仿真分析。

1 弹目相对运动模型

假设目标沿水平面运动,导弹从空中对目标进行打击,如图1所示,M为导弹,T为目标,q为弹目视线角,水平基准线沿逆时针方向旋转到弹幕视线上时为正,θM为导弹的弹道倾角,r为弹目距离,VM为导弹飞行速度,VT为目标运动速度,目标向ox轴正向运动时为正。

图1 弹目相对运动模型

由图1可推导出弹目相对运动模型为

(1)

2 基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律设计

2.1 滑模面设计

以法向过载ay为控制指令,偏置比例导引律的形式为

(2)

(3)

对式(3)的两边从t1到t2进行积分,得

(4)

式中,θM2、q2分别为t2时刻导弹的弹道倾角和弹目视线角；θM1、q1分别为t1时刻导弹的弹道倾角和弹目视线角。将式(4)进行数学变换,得

(5)

将当前时刻t和终端时刻tf的各个变量的值代入式(5),得

(6)

式中,θMf为命中点处导弹的弹道倾角,通常将落角定义为命中点处导弹的俯仰角,在攻角较小时,俯仰角与弹道倾角近似相等,故本文将θMf作为期望的终端落角;qf为终端弹目视线角。为满足终端落角约束,在命中点处,希望弹道倾角满足(θM-θMf)→0,同时,希望弹目视线角满足(q-qf)→0。当满足这两个条件时,有

(7)

故将滑模面取为

s=VM(θMf-θM)-KVM(qf-q)

(8)

由式(7)可知,当s趋近于0时,导弹将以期望的弹道倾角θMf击中目标。

2.2 趋近律设计

则系统在平衡点x0附近大范围渐进稳定。将条件2拓展为

(9)

式中,β>0;0<λ<1。对式(9)两边从0到系统稳定时刻ts积分,得

(10)

(11)

系统在该平衡点上是全局有限时间收敛的,且收敛时间ts≤V1-λ(0)/(β(1-λ))。

幂次趋近律的基本形式为

(12)

式中,k为趋近速率系数,k>0,

(13)

(14)

将式(13)代入式(14),得

(15)

为使系统在有限时间内收敛,将式(9)与式(15)联立,得

(16)

(17)

对于式(11),将ts取为剩余飞行时间tgo, 可以得到

(18)

tgo的估算方法如图2所示。

图2 tgo的估算方法

(19)

(20)

将式(20)进行数学变换,得

(21)

将式(12)代入式(21),即可得到基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律为

(22)

(23)

α是一个可调参数,当α取值较大时,系统会更快地趋近于滑模面,导弹的弹道倾角会更快地趋近于期望落角,在命中点附近的过载指令会更小,但同时最大法向过载指令也会相应地增大;当α取值较小时,系统趋近于滑模面的速度会更慢,同时最大法向过载指令较小,但命中点附近的过载指令会变得较大。

在实际工程应用中,若在命中点附近导弹的法向过载较大,则会导致导弹的攻角较大,容易使导弹在命中目标时发生跳弹,进而影响导弹对目标的毁伤效果[10],故往往希望命中点附近的过载指令趋近于0。同时,为降低导弹设计与制造成本,往往希望导弹的需用过载在满足导弹战术技术要求的前提下尽可能小,即希望导弹在飞行过程中的过载指令较小。故本文将α设计为随时间逐渐变化的时变变量,在初期α取值较小,以减小过载指令,在末期α取值较大,以减小导弹在命中点附近的过载。α的具体变化规律为

(24)

式中,tgo0为根据末制导段初始时刻的弹目信息计算的剩余飞行时间。

3 基于ESO的目标速度估计

本文推导的制导律中需要用到目标速度VT,而在实际工程应用中,往往很难准确地对目标的运动信息进行量测,故需要对目标速度进行估计。本文将目标机动对弹目视线角速率造成的影响看作附加在系统中的扰动,引入扩张状态观测器对其进行估计,从而达到对目标速度VT进行估计的目的。

将式(1)的第二式改写为

(25)

式(25)中等式右边的第二项与目标速度有关,令[VTsin(-q)]/r=Δf,则有

(26)

设z1=q,z2为扩展的新状态变量,z2=Δf,设计线性ESO为

(27)

式中，

目标速度的估计值为

(28)

根据文献[30]所述,ESO中的参数β1、β2可选为

(29)

在实际应用ESO对目标速度进行估计时,随着导弹接近目标,弹目距离越来越小,由目标机动所引起的扰动会变得越来越大,且由于在命中点附近弹目距离r接近于0,由式(28)计算得到的目标速度估计值与真实值会有较大偏差,故当弹目距离小于一较小值rn时,不再对目标速度进行观测,认为目标在停止观测后的时间Δt内的运动速度变化值为小量,并对观测器的观测带宽ωo进行处理,使之随弹目距离变化而变化,变化规律如下:

(30)

式中,ωo1和ωo2的取值应与实际系统相匹配。本文中取ωo1=10,ωo2=100。

4 仿真分析

为验证本文所设计的制导律的性能,选取几种制导律与本文所推导的制导律进行对比仿真分析。

(1) 制导律1(简称为BPNG)

文献[10]提出的基于落角约束的偏置比例导引律:

(2) 制导律2(简称为OPNG)

文献[11]提出的落角约束最优制导律:

为表述方便,将本文推导的制导律简称为SM-BPNG。取偏置比例导引系数K=4。在4种场景下对3种制导律进行对比仿真分析。4种场景的仿真初始条件分别如下。

(1) 场景1:导弹飞行速度为270 m/s,初始弹道倾角为0°,期望的终端落角θMf=-60°,导弹的初始位置为(0 m,1 000 m);目标静止,位置为(3 000 m,0 m)。

(2) 场景2:导弹飞行速度为270 m/s,初始弹道倾角为0°,期望终端落角θMf=-60°。导弹初始位置为(0 m,1 000 m);目标朝x轴正向运动,速度为50 m/s,初始位置为(3 000 m,0 m)。

(3) 场景3:导弹飞行速度为270 m/s,初始弹道倾角为0°,期望的终端落角θMf=-70°。导弹的初始位置为(0 m,1 000 m);目标朝x轴正方向做匀加速运动,加速度大小为3 m/s2,初始速度大小为0 m/s,初始位置为(2 000 m,0 m)。

(4) 场景4:导弹飞行速度为270 m/s,初始弹道倾角为0°,期望的终端落角θMf=-60°。导弹的初始位置为(0 m,1 000 m);目标朝x轴正方向做变加速运动,初始速度为-20 m/s,加速度为[10sin(0.5t)] m/s2,初始位置为(3 000 m,0 m)。

图3～图5分别为上述4种场景下,3种导引律的弹道曲线、法向过载曲线和弹目视线角速率曲线。

图3 3种制导律的弹道曲线

图4 3种制导律的法向过载曲线

图5 3种制导律的弹目视线角速率曲线

从图3中可以看出,在命中点附近,SM-BPNG的弹道比另外两种制导律的弹道更加平直,同时,SM-BPNG的弹道要更高,飞行距离更长。

从图4中可以看出,在上述4种场景下,BPNG和OPNG的需用法向过载均较大,SM-BPNG的需用法向过载在3种导引律中是最小的;SM-BPNG在弹道前段的法向过载较其他两种制导律而言更大,能够充分发挥导弹的机动能力,而BPNG和OPNG的法向过载在弹道前段较小,在命中点附近均较大,达到了限幅值,较大的法向过载意味着较大的攻角,在实际工程应用中,若导弹的弹道倾角与俯仰角相差较大,则会增加发生跳弹的概率,降低对目标的打击效果,而SM-BPNG在命中点附近的法向过载较小,在实际工程应用中能够较好地发挥导弹对目标的毁伤效果。

从图5中可以看出，4种场景下BPNG的视线角速率均逐渐增大,在命中点附近趋于无穷大;OPNG在命中点附近的弹目视线角速率在场景4中有收敛至0的趋势,在其他3种场景中均逐渐增大;在4种场景下,SM-BPNG在命中点附近的视线角速率都是3种制导律中最小的。这说明在弹道后段,SM-BPNG的弹道较为平直,能够使导弹在弹道后段具有较为充裕的机动能力。

图6为上述4种场景下,SM-BPNG中的ESO对目标速度的估计值与实际目标速度,其中,z1的初值取为初始弹目视线角,z2的初值取0,参数a取0.5,δ取0.05。

图6 目标速度的ESO估计值与真实值

从图6中可以看出,在目标静止、匀速运动、匀加速运动和变加速运动时,对目标速度的估计值均能够快速地收敛到目标速度的真实值附近,本文所设计的扩张状态观测器能够对目标速度进行较为准确的估计。

表1与表2列出了4种场景下3种导引律的落角与脱靶量。

表1 3种制导律的落角

表2 3种制导律的脱靶量

从表1和表2中可以看出,在4种场景下,3种导引律的脱靶量均较小;在目标静止或做匀加速运动时,3种导引律的终端落角与期望落角的偏差均较小,但当目标进行匀加速运动或变加速运动时,OPNG的终端落角与期望落角的偏差较大,无法较好地满足落角要求。

相比较而言,BPNG和SM-BPNG的终端落角都能较好地满足期望落角要求,但BPNG需要准确地测量目标的运动速度,而在实际工程应用中,目标的运动信息往往无法准确知晓,这大大增加了BPNG在实际工程应用中的局限性;SM-BPNG和OPNG都不需要用到目标的速度信息,但OPNG在目标进行匀加速运动和变加速运动时无法较好地满足落角要求;除此之外,SM-BPNG的需用过载在3种制导律中最小,可以降低导弹的设计和制造难度,并且SM-BPNG在命中点附近的法向过载最小,在实战中可以较好地发挥导弹的穿甲与毁伤能力。另外,SM-BPNG的弹道前段中较弯曲,能充分发挥导弹的机动能力,弹道后段比较平直,弹目视线角速率较小,能够使导弹具有较为充裕的机动能力。综合而言,本文提出的基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律能够在需要用到相对较少的测量信息的同时保证较好的导引性能。

5 结 论

本文针对导弹攻击装甲车辆等地面移动目标问题,首先建立了弹目相对运动模型,在偏置比例导引律的基础上,应用滑模变结构控制理论,推导出了基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律。之后,基于李雅普诺夫稳定性理论设计了参数自适应的幂次趋近律,并分析了趋近律中的参数对弹道特性的影响,从实际工程应用的角度出发,对趋近律参数进行了设计。然后,考虑目标信息无法准确测量的问题,引入ESO将目标机动引起的弹目视线角速率分量当做扰动量进行观测,从而实现对目标运动速度的估计。最后,在4种不同的场景下,将本文提出的制导律与现有的几种制导律进行了对比分析。仿真结果表明,本文设计的基于偏置比例导引的落角约束滑模制导律能够以期望的落角和较小的脱靶量打击静止目标与机动目标。