基于梁格法的变宽板桥分析

吴振宏

(镇江市交通运输综合行政执法支队 镇江 212003)

当桥梁桥位受限于线路布置时，难免出现一些变宽、弯坡斜等构造不规则的桥梁，目前已有的理论和计算方法存在一定的局限性，本文以G312镇江城区改线段沪宁高速镇江直线互通主线上跨桥变宽板梁桥为例，采用正交各向异性薄板及梁格分析法对其进行分析。

1 正交各向异性薄板及梁格分析法

一般而言，小跨径板桥梁的纵、横方向上虽然材料弹性模量一样，但是，它们的截面特性即各种刚度不一致，也就是说，它们属于正交各向异性薄板的范畴[1]。根据经典薄板理论，板在竖向荷载作用下，所有力学反应均可由板中面挠度ω决定，而ω由双调和微分方程如式(1)确定。

(1)

式中：x方向为纵向，即交通流的方向；y方向为横向；Dx为单位宽的纵向抗弯刚度(相当于1个纵梁的EI)；Dy为单位宽的横向抗弯刚度(相当于1个纵梁的EI)；Dxy为每单位宽的纵向抗扭刚度(相当于1个纵梁的GJ)；Dyx为每单位宽的纵向抗弯刚度(相当于1个纵梁的GJ)；D1为单位宽的纵向耦合刚度；D2为单位长的耦合刚度。

对于形状特别简单的薄板，在极其简单的支承和荷载条件下，利用Navier-Levy等解法能得到ω的解析解[2]；对于更复杂的问题，还可以用Ritz法和Galerkin法得到ω的近似解析解；而对更广泛、更复杂的问题，一般用差分法、有限单元法，以及有限元条分法求其数值解。而在实际工程上，运用荷载分配系数法和借助图表的特性参数法可计算一些较简单的板桥结构[3]；在计算机充分发展的今天，解决这类问题最常用的是梁格法(或格栅比拟法)，这种方法是用位于同一平面上的交叉梁来模拟等代平板，其力学gain清除，计算程序简单，适用范围广，计算结果可靠，精度符合工程要求，可直接用于配筋设计，因此它被工程界广泛采用。

梁格法为多次超静定结构，由于计算条件的限制，曾采用正交异性板来模拟形状规则的格子梁，从而避免解大型线性方程组[4]。后来，随着计算机技术的发展，又产生格子梁理论来分析各种支撑、荷载条件下的形状较复杂的正交异性板[5]。空间梁格理论的主要思想是用一个等效的梁格来代替上部结构。为了方便分析 ，空间梁格理论把分散在板上每一区段内的弯曲和抗扭刚度集中在最邻近的等效梁格内，板的纵向刚度集中在纵向梁格内，横向刚度集中在横向梁格内。理论上要求当原型实际结构和对应的等效梁格承受相同荷载时，两者的挠曲恒等，任一梁格内的弯矩、剪力和扭矩也与梁格所代表的实际结构的内力相等。

2 正交异性薄板与梁格的比拟

2.1 位移与变形

板的一切力学反应均遵循式(1)所示的挠度边界条件，而对梁格系，各点挠度决定梁格系的一切力学反应。

2.2 内力与应力

板和梁格系一样都是双向受力结构，板子块各应力与内力均能与梁应力与内力相对应。例如，对正交各向异性板，单位板宽的纵向弯矩可写成

(2)

而对纵向格子梁

(3)

由方程(2)、(3)可见，板与梁是可以进行比拟的，其误差在于板考虑了通过泊松比关系横向(纵向)抗弯刚度对纵向(横向)抗扭刚度的影响，以及Dx为GJx的1/(1-υ2)倍，但它不影响荷载的分布，且经实践证明该误差是可以忽略的。

2.3 刚度

宏观上，可用一虚拟单梁23-2′3′来代替板条233′2′(见图1)，使它们在纵向受力上一致，这样可以划分成一系列的纵梁。

图1 虚拟单梁代替示意图

如图1所示，纵向各板条有连续的横向连接，我们分割横向连接为一块块板条，同样可用虚拟的横向连接单梁来模拟横向板条，取适当的刚度可使它们在横向受力上保持一致，这样，一个用以等代正交异性板的格梁系就形成了。实心板、空心板、带悬臂板梁格刚度计算示意见图2，其等代刚度计算方法如下。

1) 实心板。如图2a)所示的实心板，其纵横向单位宽的抗弯、抗扭惯矩可用式(4)、(5)表示

(4)

(5)

对于理想的正交异性薄板，cx与cy应相等，可均用c表示。由于板截面内的剪力流在离板边0.3d处由水平变为竖直，因此边梁不应置于边板条的形心位置，而应置于离板边0.15d处以承受竖直剪力，且板边宽度应为b1-0.3d。

2) 空心板。如图2b)所示的空心板，所有格梁的抗弯刚度均应是各对应板截面对整个截面形心轴的抗弯惯性矩，若挖孔深度小于60%板厚，可认为纵横向单位宽板的抗弯惯性矩相等，否则应取出单位宽横向板条以计算其抗弯惯性矩。边梁的处理与实心板一样。

3) 带悬臂板。如图2c)所示的带悬臂板，对2、4等边纵梁，其惯性矩应为边板绕整个板截面惯性主轴的惯性矩减去纵梁1、5的惯性矩，若悬臂板太宽，则应根据规范取其有效宽度；而1、5等边纵梁的惯性矩则取悬臂薄板绕自身主轴的惯性矩，同样还要同A一样处理其位置及宽度。12等横梁的惯性矩可近似根据悬臂板来求解。

图2 带悬臂板梁格刚度计算示意图

具体将板桥划分成梁格时还应注意以下几点：①梁格的方向应与板梁的设计强度线保持平行，即与主钢筋、预应力筋及梁边平行；②横梁间距最好小于1/4梁跨径；③纵梁间距最好为板厚的2～3倍；④纵横梁的间距不宜相差过大；⑤纵横梁应保持相对垂直；⑥支座等应力集中处应尽量细分。

对于变宽板桥还应特别注意：①对变宽的板条，其对应的梁格惯性矩应线性渐变；②各边梁应平行于各对应板边。

3 工程实例

3.1 梁格划分

G312镇江城区改线段沪宁高速镇江直线互通主线上跨桥变宽板梁桥的梁格划分见图3。现以第4跨跨中截面为例来具体说明梁格的划分及惯性矩计算，跨中截面尺寸示意见图4。

图3 桥梁尺寸示意图(单位：cm)

图4 跨中截面尺寸示意图(单位：cm)

中纵梁3、4置于对应的板条形心位置，其抗弯惯性矩(绕整个截面中心轴N.A.)分别为0.282，0.185 m4，中纵梁单宽抗弯惯矩为0.094 m4。由于此板桥的悬臂较长，悬臂板的有效宽度为(0.166×20)/2=1.66 m。在计算边梁的惯矩时，有效宽度以外的悬臂板不考虑。边纵梁1、6的抗弯刚度应为有效悬臂板绕自身中心轴的抗弯刚度为0.010 5 m4。边梁2的抗弯惯性矩为对应边板(包括有效悬臂板)绕N.A.的抗弯惯性矩减去边纵梁1的抗弯惯性矩，其大小为0.230 7-0.010 5=0.220 2 m4。同样对边纵梁5，抗弯惯性矩为0.282 5-0.010 5=0.27 2 m4，但它随着桥宽的变化而线性变化。

横梁23、34、45的抗弯惯性矩近似按中间挖孔70 cm计算，其单宽大小为0.082 3 m3，纵梁2、3、4、5及横梁23、34、45的单宽抗扭惯性矩应为0.176 m3,但边纵梁2、5的宽度需折减，由于其不等高、横梁12、56的单宽抗弯惯性矩需按悬臂板的平均厚度计算。其单宽大小为0.002 86 m3，单宽抗扭惯矩为0.005 72 m3。

对于横隔梁，由于其中布置了普通钢筋和预应力筋，正常受力状态下几乎不出现裂缝，而其它部分则会出现裂缝且刚度比计算值要小，所以横隔梁惯矩可不考虑挖空按实心板计算。

3.2 计算结果

经梁格程序进行恒载计算，用SuperSAP进行校核，用midas生成结构内力影响面，并用公路-I级荷载进行自动加载，用手工加载进行校核。

单宽横隔梁3、4、5、6的恒载弯矩(节点处取左右内力的平均值，下同)见图5。

图5 单宽横隔梁恒载弯矩图

由图5可见，支座处的内力集中较严重，具体配筋设计时应考虑支座宽度对弯矩峰值进行折减，横隔梁应施加预应力。单宽纵梁恒载弯矩图与普通单根连续梁的恒载弯矩图形状基本一致。

单宽横隔梁5的内力包络图见图6。

图6 单宽横隔梁内力包络图

由图6可见，横隔梁会出现一定的正弯矩，设计时应对此加以考虑。

4 结语

采用单梁模型计算内力比空间梁格模型偏大；但是从实际工程角度出发，是偏于安全的，适用于在高速公路 、煤矿道路和林区道路等承受高荷载或结构安全等级高的新建桥梁设计。

对变宽板桥跨径合理布置能够使全桥受力均匀；划分梁格要按照文中所列原则，而且要特别注意边格子梁的位置及其惯性矩计算；支座处的横隔梁是全桥的关键受力部分，考虑到它配置了预应力筋，其惯性矩计算不考虑挖空是合理的，支座处的内力及配筋设计应谨慎处理；特别注意悬臂板的横向正弯矩及负支座反力。虽然梁格模型总的内力值与单梁相差不大，但是各腹板差异较大，桥面越宽，箱室数越多，斜交角度越大，这种差异越明显；同时，单梁法计算时，结构刚度较梁格法偏低，对最不利腹板设计不利。