阿勒泰地区降水时间序列的多重分形特征分析

周天祥 陈 晶

(1.绍兴文理学院 机械与电气工程学院，浙江 绍兴 312000;2.绍兴文理学院 土木工程学院，浙江 绍兴 312000)

自然界存在着许多复杂的动力学过程，这些复杂的相互作用通过一系列看似嘈杂且不稳定的信号表现出来，通常可以使用非线性微分方程来描述这些过程.一些非线性系统的时间序列信号存在着显著的分形特征[1]，即局部时间序列与整个时间序列完全相同或近似.经过许多不同领域学者的努力，这种现象目前在经济学、生理学、地质学以及气象学等学科的复杂系统中均有发现[2-5].大气中存在很多不规则的随机运动(如大气湍流)，可将其视为在各种尺度的天气系统相互作用下的复杂系统，这些相互作用将导致在许多时空尺度上气象参数以近似随机的方式波动.Pielke等人[6]使用非线性微分方程对气象过程进行建模，但是数值方法与现实情况仍存在差距.

降水的时空变化对农业生产、水资源管理以及生态系统有着深刻的影响，同时也是气候变化的重要参考指标.降雨量依赖于大气过程的多样性变化，并由于自然过程的复杂性在不同的时空尺度上呈现出随机波动.一些学者基于统计学如Mann-Kendall秩次相关检验、Pettitt检验、Buishand检验等方法对降水时间序列的变化趋势进行评价[7-9]，然而这些方法无法捕捉降水时间序列复杂非线性行为中的潜在特征.随着非线性动力学的发展，多重分形级联模型逐渐被应用于研究天气与气候变化.Lovejoy和Mandel-brot[10]发现降雨区域的云层边界投影到地面的形状为分形图形，并且降水序列的时空结构服从双曲线分布，从而确立了分形理论在气象学的适用性.Telesca等人[11]应用去趋势波动分析方法(DFA)对阿根廷中部地区近60年的降水时间序列进行研究，发现了降水时间序列中的标度不变性以及长程相关性.然而DFA方法适用于描述单个标度指数，许多复杂系统中的信号并非表现出简单的单分形特征，而是在不同的时间尺度上具有不同的分形结构，即多重分形行为.多重分形去趋势波动分析方法(MF-DFA)能更加精确地描述复杂系统可能存在的多个分形特征[12].Kalamaras等人[13]应用MF-DFA方法对希腊克里特岛沿海气象站的气温观测数据进行了研究，发现该地区的气温时间序列表现出多重分形特征，并且气温时间序列为长期正相关.Olsson[14]运用概率密度函数以及功率谱分析了降水时间序列所服从的幂律分布，选取的不同统计矩阶数随尺度而变化证明该地区的降水时间序列具有多重分形特征.新疆北部地区水资源稀缺，降雨量的变化对该地区农牧业的生产至关重要.本文基于新疆北部阿勒泰地区1961至2015年的逐月降雨量数据，对该降水时间序列的分形特征和变化趋势运用MF-DFA方法进行了详细分析.

1 研究区域概况及数据源

本文研究资料来源于额尔齐斯河流域标准气象站观测数据[15]，研究的三个地点分别位于新疆北部阿尔泰地区的阿勒泰气象站(47.73 °N，88.08 °E)、福海气象站(47.12 °N，87.47 °E)、布尔津气象站(47.70 °N，86.87 °E)，所在位置已在图1中标明.该区域深居欧亚大陆腹地，属于温带大陆性气候，冬季在强大的蒙古高压控制下气候寒冷干燥，年平均降水量在100 mm左右，降水多集中在夏季，冬季降雨量较春秋季节更多.三个观测站的降水资料数据的时间范围为1961年1月至2015年12月，观测数据的时间尺度为月.

2 MF-DFA原理

分形是指局部与整体之间具有某种方式相似的形状，即局部片段与整体之间具有自相似性，目前分形理论已从狭义的几何对象扩展至广义分形.Mandelbrot[16]在研究美国棉花价格的变化时发现价格时间序列的短期波动与长期的变化趋势存在标度不变性，因而发现了时间序列中的自相似现象.若分形维随时间尺度的不同而发生变化，则该时间序列具备多重分形特性.多重分形去趋势波动分析方法(MF-DFA)由Kandelhardt等人[12]在消除趋势波动分析(DFA)方法的基础上拓展得到，能更加精确地描述复杂系统的动力学行为，具体计算方法如下：

第一步，首先对降水时间序列xi(i=1，2，…，n)求取累积离差序列：

(1)

第二步，将Yi使用长度为s的Ns=int(N/s)个互不重叠的区间，对于每个长度为s的区间进行最小二乘拟合，得到该区间的局部趋势多项式yv(s).对Yi上的每个子区间v计算局部均方误差F2(v，s)：

图1 研究区域所在位置

(2)

第三步，第qth阶波动函数可表示为：

(3)

第四步，对指定的q阶值可使用下式确定波动函数的标度系数：

Fq(s)∝sH(q)

(4)

式中H(q)为广义Hurst指数，其取值范围为[0，1]，H(q)越接近1，表明时间序列存在的噪声越少，趋势越明显.当H=0.5时，序列变化为标准布朗运动，序列之间不相关，表明当前降水时间序列的趋势不会影响未来的情况；当H(q)>0.5时，表明当前降水时间序列与未来增量之间为正相关；当H(q)<0.5时，表明当前的降水时间序列与未来增量之间为负相关.若H(q)指为常数时表明时间序列为单分形的情况，当H(q)指数随q值的增大而减小时表明时间序列属于多重分形情况[17].

第五步，计算多重分形标度系数τ(q)满足下列关系式：

τ(q)=qH(q)-1

(5)

第六步，根据Legendre变换，多重分形奇异谱函数f(α)满足下式：

f(α)=qα-τ(q)

(6)

其中α=∂τ(q)/∂(q)为奇异性指数，奇异谱的谱宽(Δα=αmax-αmin)描述了多重分形的程度，谱宽越大表明多重分形程度越高，降水时间序列波动越剧烈.若时间序列具有多重分形属性，其奇异谱将呈现为倒抛物线形[18].Δf=f(αmin)-f(αmax)表示最大概率子集与最小概率子集的分形差异，Δf可以反映时间序列的变化趋势，Δf<0表明未来时间序列数据的向低数值方向发展的概率较大[19].

3 实验结果分析

本文选取新疆阿勒泰地区的阿勒泰、福海、布尔津三个气象观测站的逐月观测数据，每个降水观测数据的时间序列长度都是660.由图2可知，三个地区的历年逐月降雨量基本都不足100 mm，降水时间序列全都表现出非线性、非平稳性的特点.福海地区降雨量最少，且在1984年出现一次大降水天气，降水量超过了100 mm.阿勒泰地区降雨量趋势受季节变化影响明显，夏季降雨量要明显高于其他季节，因此应先将原始的降水时间序列转化为随机游走结构[20]以剔除季节更替带来的影响.通过对三个气象站的降水时间序列xi计算累积离差(式2)可得到随机游走的降水时间序列Yi，如图3所示，总体上降水累积离差序列在20世纪60年代至90年代呈下降趋势，而在60年代末和80年代出现了两个小幅震荡的时期，90年代后又呈增加趋势.

(a)阿勒泰 (b)福海 (c)布尔津

(a)阿勒泰 (b)福海 (c)布尔津

对三个地区降水随机游走时间序列Yi按照时间尺度s进行分割，为防止多项式过拟合降水时间序列从而导致剩余波动接近于0，时间尺度s应满足不小于多项式拟合阶数，同时最大时间尺度应是时间序列划分区间的个数大于10个[21].统计矩阶数q的取值范围对多重分形谱的计算十分关键，q值过大会导致计算时间呈指数增大，q值过小时多重分形谱的波动会很大[22].由此本文选取Yi的子区间长度s=(6∶66)，按照经验取q=(-10∶10)，利用式(3)对不同取值的统计矩阶数q计算波动函数Fq(s).波动函数Fq(s)关于时间尺度s在特定统计矩阶数q=(-10，0，10)下的双对数图像如图4所示，所有q值情况下的波动函数Fq(s)关于时间尺度s都近似为线性关系，这表明三个地区的降水时间序列都符合幂律分布，同时也证明了降水时间序列的内部波动演化并非随机行为，而是由远距离的某些特征有序引发.另外，从图4可以明显看出，回归线的斜率明显随q值的增大而减小，由式(4)可知该斜率即为广义Hurst指数，图4中的拟合方程以及可决系数见表1.q值描述了局部波动均方根占整体的比重[21]，当q值为正时，广义Hurst指数表示大波动的标度行为，q值为负时，广义Hurst指数表示小波动的标度行为，对于较小的时间尺度s受降水时间序列波动幅度影响较大，而在较大的时间尺度上降水时间序列的波动幅度将被削弱[22].由图2(b)可以看出，福海地区的降水时间序列出现过一次大降水天气情况，同时其累积离差分布也存在多个波动趋势，降水时间序列受大的波动控制，因此其广义Hurst指数变化范围最大(ΔH(q)=0.57).

(a)阿勒泰 (b)福海 (c)布尔津

广义Hurst指数可用于判断降水时间序列的分形特征以及长程相关性.如图5所示，三个地区的Hurst指数关于q为非线性关系，说明三个地区的降水时间序列都存在多重分形特征.当q值为2时，广义Hurst指数与经典的Hurst指数相同，此时阿勒泰、福海、布尔津地区降水时间序列的广义Hurst指数分别为0.56、0.50、0.52，因此当q∈[-10，2]时，H(q)>0.5，三个地区的降水时间序列都具有长期正相关性.由图5可知，阿勒泰与布尔津的降水时间序列的长程相关性明显强于其他福海地区，表明未来的该地区降水趋势将与当前保持一致.

表1 降水时间序列广义Hurst指数的计算

图5 降水时间序列的广义Hurst指数

根据(式11)计算三个地区降水时间序列的多重分形谱如图6所示，其多重分形谱均呈倒抛物线形，分形谱的最大值对应为q=0时.由表2可知，福海地区的谱宽最大，Δα=0.96，因此该地区降水时间序列的多重分形程度要强于阿勒泰以及布尔津地区，并且其降水时间序列波动幅度最剧烈.阿勒泰气象站和布尔津气象站的谱宽比较接近，因此其多重分形程度也相似.阿勒泰和福海的降水时间序列的谱高度Δf<0，表明这两个地区未来降雨量可能有降低的趋势.布尔津地区降水时间序列的谱高度Δf>0，因此未来该地区降雨量增加的概率较大.

表2 降水时间序列的多重分形参数

(a)阿勒泰 (b)福海 (c)布尔津

4 结论

本文通过对新疆北部阿勒泰地区的阿勒泰、福海、布尔津三个气象站的1961年至2015年的逐月降雨量时间序列的变化进行多重分形检验，结论如下：

(1)根据MF-DFA方法的检验结果，三个地区的降水资料时间序列都表现出显著的多重分形特征，符合幂律相关特性；

(2)计算广义Hurst指数发现降水时间序列在q<2时存在明显的长期正相关，表明未来的降水趋势具备可预测性；

(3)福海地区的降水时间序列相比另外两个地区的多重分形谱宽更大、波动更强烈，表现出更强的多重分形程度；

(4)对于长期的降水时间序列使用MF-DFA方法，可以获取其统计学的表征以便更好地理解其动力学机制，为未来当地降水的变化趋势提供参考.