92负刚度蜂窝结构压缩性能分析

原新嫣， 王树青， 张 媛， 方 辉， 宋宪仓， 许益华

(中国海洋大学 工程学院，山东 青岛 266100)

目前工程结构物体的局部减振通常采用被动控制技术:①采用黏弹性阻尼材料减振，但其质量大、刚度低，不具备高承载力[1]；②采用蜂窝夹芯结构减振[2]，静载时保持高刚度，动载下胞壁发生塑性屈曲耗散能量，但通常不具备可重复使用性。此外，还有利用MISES桁架[3]、水滴形弹簧[4]、弯曲梁等非线性单元减振[5]，其中，弯曲梁具有上弯和下弯两个稳定平衡状态，动载下在双稳态间发生“突变”，产生负刚度行为，将黏弹性材料引入弯曲梁后[6]，由于黏弹性材料应力应变不同相，卸载时弯曲梁可恢复初始形状，形成力-位移滞回曲线，重复吸收能量，产生阻尼效应，减轻结构振动。但负刚度单元大多对激励敏感，使用条件严格，且静态承载力较低，因此，需对负刚度单元进行合理的结构设计，使其兼具静态承载与动态耗能的功效。

自二十世纪九十年代末，由Vangbo[7]对考虑压缩率的小变形弯曲梁进行了最早的研究，根据单个弯曲梁的屈曲模态，描述其双稳态响应；随后出现了一系列对单个弯曲梁双稳态行为的理论研究[8-12]。Qiu等[13]提出了一种双曲梁结构，对忽略高阶屈曲模态的双曲梁进行了理论分析、有限元模拟与实验研究，解释并验证了其双稳态行为。基于前述弯曲梁理论，Correa等[14-15]提出了一种由双曲梁构成的负刚度蜂窝结构，对其压缩性能进行了试验与数值模拟研究，但在数值模拟过程中，由于没有对尼龙11进行黏弹性测试，缺少了反映尼龙11真实动态黏弹性的相关参数，导致数值模拟无法形成滞回曲线，与试验结果不符，如图1所示。

图1 负刚度蜂窝结构力-位移曲线

可见，获取材料的动态黏弹性参数对准确开展负刚度蜂窝结构的数值模拟研究至关重要。强迫非共振法[17]是常见的动态黏弹性参数测试方法，借助黏弹性仪进行材料的动态模量测试，可测频段广、精度高、简单方便。

本文以准确模拟负刚度蜂窝结构的压缩性能为目的，提出一种基于黏弹性广义Maxwell模型的负刚度蜂窝结构压缩性能数值模拟方法。首先采用动态机械分析仪DMA+2000对尼龙12进行动态机械分析(dynamic mechanical analysis,DMA)测试，获得了其实测动态储能模量和损耗模量数据，基于广义Maxwell模型对实测数据进行非线性拟合，得到尼龙12的无量纲松弛模量gi和松弛时间τi参数；然后采用Abaqus软件建立负刚度蜂窝结构有限元模型，赋予结构尼龙12材料的基本属性，将所得动态黏弹性参数gi和τi输入材料黏弹性属性中的prony级数项，施加周期性位移激励，进行结构压缩性能的数值模拟研究；同时对负刚度蜂窝结构进行压缩试验；获得结构在位移激励下的力-位移滞回曲线，通过对比分析试验与数值模拟结果，验证了基于黏弹性广义Maxwell模型的负刚度蜂窝结构数值模拟方法的正确性，并进行了双曲梁几何参数对结构承载力和耗能力的影响规律研究。通过这种数值模拟方法，可对负刚度蜂窝结构的力学性能和实际应用进行预测。

1 动态黏弹性参数的获取

1.1 黏弹性广义Maxwell模型

黏弹性是一种介于理想弹性体与理想流体之间的力学性质，可由服从胡克定律的弹簧和服从牛顿流体黏性定律的粘壶的组合模型表示其力学行为。其中广义Maxwell模型可较准确的描述黏弹性材料的应力-应变关系，并被有限元软件Abaqus所采用[18]。广义Maxwell模型由n支单体Maxwell模型与一支弹簧并联组成，每支单体Maxwell模型具有不同的弹性模量Ei和黏度ηi，因此每支单体Maxwell模型的松弛时间τi=ηi/Ei不同，一系列模型就有一个离散松弛时间谱[19],如图2所示。

图2 广义Maxwell模型

广义Maxwell模型的松弛模量E(t)表达式为

(1)

式中，E∞为准静态模量，表示角频率ω为0时的储能模量。

展开式(1)可得基于prony级数的松弛模量表达式为

(2)

对式(2)进行傅里叶变换，得到广义Maxwell模型频域下的prony级数方程为

(3a)

(3b)

由式(3)可知，准确获取不同频率下的无量纲模量gi和松弛时间τi是拟合广义Mawell模型黏弹性参数gi和τi的关键。动载下，可通过对黏弹性材料进行DMA测试获得。

1.2 尼龙12材料DMA测试及广义Maxwell模型参数拟合

对尼龙12材料进行DMA测试，测试仪器为法国Metravib公司的DMA+2000，试样为圆柱体，尺寸为φ5×8 mm，测试采用压缩模式，温度恒定为25 ℃，扫频范围为0.01～0.4 Hz，动态压缩力振幅为300 N，在材料的线性黏弹范围内，在开始加载动态力前需加一个静态力，一般为动态力的1.2倍。测试得到尼龙12材料在0.01～0.4 Hz扫频范围内的储能模量和耗能模量数据(见图2)。建立误差函数D，对测试所得m个频率下的储能模量和耗能模量同时进行非线性拟合。

(4)

拟合通常采用四支单体Maxwell模型单元，利用Matlab中的lsqnonlin函数求解误差函数D的极小值，从而确定黏弹性参数gi和τi。拟合所得曲线如图3所示。黏弹性参数如表1所示。

图3 动态模量拟合曲线

表1 尼龙12黏弹性参数拟合结果

2 负刚度蜂窝结构压缩性能研究

2.1 负刚度蜂窝结构型式

根据弯曲梁屈曲理论，Correa等提出了一种负刚度蜂窝结构，如图4所示。单胞结构由一对方向相反的双曲梁组成，一系列单胞结构阵列后形成负刚度蜂窝结构，其主要的几何尺寸如表2所示。阵列后结构具有更大的承载力和耗能力，可应用于抗冲击防护设备方面，如头盔、缓冲器等。

图4 负刚度蜂窝结构(mm)

表2 负刚度蜂窝结构主要几何尺寸

2.2 负刚度蜂窝结构数值模型

负刚度蜂窝结构在卸载过程中能够恢复初始形状主要依赖于黏弹性材料的滞后效应，而目前有关负刚度蜂窝结构力学性能的研究以试验为主，在数值模拟过程中，因缺少反映材料真实黏弹性的参数，材料的本构关系与实际不符，导致数模结果与实际相差较大，针对这个问题，本文提出了一种基于黏弹性广义Maxwell模型的负刚度蜂窝结构压缩性能数值模拟方法，如图5所示。

图5 负刚度蜂窝结构数值模拟方法流程图

首先，采用Abaqus软件建立三维负刚度蜂窝结构有限元模型。在Part-sketch模块中，按图4所示几何尺寸画出结构二维草图，其中双曲梁的顶部和两端与水平方向相切，通过拉伸创建结构三维实体模型；接着创建一个底面半径为50 mm，高为25 mm的圆柱体模型，作为结构加卸载圆盘。在Assembly模块中，组建三维负刚度蜂窝结构与加卸载圆盘，如图6(a)所示。

其次，设置材料属性。赋予负刚度蜂窝结构尼龙12的基本属性，赋予加卸载圆盘钢材的基本属性，如表3所示。此外，还需赋予负刚度蜂窝结构尼龙12的黏弹性属性，软件Abaqus中集成了广义Maxwell模型的相关方程，可在Property-material-viscoelastic-prony项中直接输入由1.2节DMA测试数据拟合广义Maxwell模型所得尼龙12的动态黏弹性参数gi,τi(如表1所示)，此时，负刚度蜂窝结构在数值模拟过程中具有了黏弹性的本构方程，卸载时可利用黏弹性材料应力-应变不同相的特性恢复初始形状。

表3 尼龙12、钢材基本属性

设置接触、边界条件。在Interaction模块中设置负刚度蜂窝结构上压板与加卸载圆盘的接触为“surface-to-surface contact”，设置负刚度蜂窝结构整体接触为“self-contact”，接触属性均为“Hard”contact。设置负刚度蜂窝结构下压板边界条件为固支。

施加荷载。在Load模块中，设置加载类型为Tabular，加载方式为位移加载，位移加载相比力加载可控性较强，初始位移为0，加载幅值为40 mm，位移大于40 mm结构致密化后会导致作用力锐增，因此，应避免出现位移超过40 mm的情况。加卸载速度为0.8 mm/s，加卸载一个周期为100 s，即频率为0.01 Hz，在材料黏弹性参数适用的频率范围内。加卸载曲线如图6(b)所示。

计算分析。在Step模块中，创建Dynamic-Implicit分析，动力隐式分析通过迭代法求解近似解，计算精度较高。设置分析时长为加卸载一个周期(100 s)，初始增量步长为0.5 s，最小增量步长为1×10-5s。在Mesh模块中，设置负刚度蜂窝结构采用六面体网格，单元尺寸为0.62 mm，尺寸过大易导致计算结果不准确，单元类型为C3D8R，应用sweep技术划分网格。前述设计及理论分析中，材料应力未超过黏弹性极限。

图6 负刚度蜂窝结构数值模型

2.3 负刚度蜂窝结构数值模型结果分析

根据2.2节数值模型进行计算，得到负刚度蜂窝结构的力-位移曲线，如图7所示。与图1(b)不同，此时，结构有明显的滞回曲线。加载过程中，负刚度蜂窝结构的初始刚度为正(图7点0～点1)，随着荷载增大，达到双曲梁屈曲的临界值(图7点1)，第一层双曲梁开始屈曲，发生负刚度行为(图7点1～点2)，完全屈曲后(图7点2)，各层双曲梁依次先承载后屈曲，发生负刚度行为(图7点3～点4、点5～点6、点7～点8)，从而形成一个类似于普通六边形蜂窝板塑性屈曲中的应力平台区域(图7虚线之间的加载曲线)，当所有双曲梁完全屈曲后，结构致密化，承载力增加(图7点8～点9)；卸载过程中，由于赋予负刚度蜂窝结构尼龙12材料的动态黏弹性参数，结构的应力、应变之间存在滞后效应，各层双曲梁得以按原路径恢复到初始形状(图7点9～点0)，形成一个周期的力-位移滞回曲线，滞回曲线包围的面积表示负刚度蜂窝结构在一个加卸载周期内损耗的能量。

图7 负刚度蜂窝结构数值模拟滞回曲线

2.4 负刚度蜂窝结构压缩试验及与数模结果对比分析

为验证负刚度蜂窝结构数值模拟结果的准确性，对其进行压缩试验，采用尼龙12作为结构材料，通过3D打印(选择性激光烧结)技术制备如图4所示负刚度蜂窝结构，结构尺寸与数值模型相同。在万能试验机上进行压缩试验，如图8所示。与数值模型相同，采用位移加载，加载类型为线性加载，加载幅值为40 mm，加卸载一个周期为100 s。

图8 负刚度蜂窝结构压缩实验

试验得到负刚度蜂窝结构的力-位移曲线，如图9实线所示。定性分析图9负刚度蜂窝结构压缩试验和数值模拟所得一个加卸载周期内的力-位移滞回曲线可知，两条曲线在加卸载过程中的具有一定吻合度。选取压缩试验和数值模拟各层双曲梁加载过程中的临界屈曲点和完全屈曲点(图9点1～点8、点1′～点8′)的变形图进行对比分析，如图10所示。受加工、制造的影响，压缩试验过程中各层双曲梁屈曲没有特定的顺序；受网格划分的影响，数值模拟过程中各层双曲梁的屈曲也无特定顺序，因此压缩试验与数值模拟各层双曲梁屈曲的顺序不同，但各层双曲梁在临界屈曲点和完全屈曲点的变形类似；结合图9所示力-位移滞回曲线，数值模拟中最后一层双曲梁的临界屈曲点和完全屈曲点(图9点7′、点8′)对应位移与试验(图9点7、点8)相差较大，相同的加载速度，数值模拟对应位移较小，说明数值模拟中最后一层双曲梁的屈曲行为比试验的提前发生，因而导致卸载开始阶段数值模拟与试验曲线的吻合度较低，造成差异的原因一方面可能是所选材料的黏弹性理论模型与实际仍有一定差别；另一方面可能是数值模拟与实际压缩过程中结构的变形有一定差别。

以结构第一层双曲梁的临界屈曲力作为结构承载力(图9点1、点1′))，以结构最后一层双曲梁临界回复点的作用力作为结构回复力，定量分析结构压缩实验和数值模拟的结果，如表4所示。压缩试验中结构承载力约为141.9 N，数值模拟约为131.9 N，数值模拟的承载力较低，二者误差约为7%；压缩实验中结构回复力约为65.34 N，数值模拟约为71.82 N，数值模拟回复力略高，二者误差8.3%；压缩实验中结构能量耗散值约为1 517.0 mJ，数值模拟约为1 626.6 mJ，数值模拟的能量耗散较大，二者误差约为7.2%。由此可知，负刚度蜂窝结构压缩实验和数值模拟的承载力、回复力和能量耗散值均相差未超过10%，说明基于尼龙12动态黏弹性参数的数值模拟方法具有一定的正确性，可用于之后几何参数对结构压缩性能影响规律的数值模拟研究中。

图9 负刚度蜂窝结构压缩试验与数值模拟滞回曲线

图10 负刚度蜂窝结构加载过程试验及数值模拟变形图

表4 负刚度蜂窝结构压缩试验与数值模拟性能对比

3 结构几何参数对承载力和耗能力的影响规律

Correa等对负刚度蜂窝结构的几何尺寸进行了优化，使其压缩性能更为优良，但没有进行几何参数对结构压缩性能影响规律的研究，而根据弯曲梁理论，双曲梁的高度h、跨度l、两侧立柱厚度c、宽度b均对结构承载力、回复力和耗能力存在影响，因此，以负刚度蜂窝单胞结构为代表模型，进行几何参数对结构承载力和耗能力影响规律的数值模拟研究，各参数变化如表5所示。每种工况中仅有一个几何参数为变量，其他几何参数不变(见表2)。

表5 不同工况的几何参数变量值

3.1 双曲梁弯曲高度对承载力和耗能力的影响规律

双曲梁的弯曲高度h是衡量结构承载力和耗能力的指标之一，以弯曲高度h为变量(见表5工况1)，得到负刚度蜂窝单胞结构各项性能如图11所示。从图11可知，随双曲梁弯曲高度的增大结构负刚度行为越明显，承载力和回复力随之增大，承载力的增长较快，回复力的增长较慢，但二者增长的趋势均随弯曲高度的增加有所减缓，耗能力的增长趋势较为稳定，这一规律符合承载力、回复力和耗能力随Q(Q=h/t)值的增大而增大的规律。但随着双曲梁高度的增加，动载下的结构的位移相应增大。

3.2 双曲梁跨度对承载力和耗能力的影响规律

双曲梁的弯曲高度h与跨度l之比K(K=h/l)表征双曲梁的曲率，曲率越大双曲梁的承载力和耗能力越大。以双曲梁跨度l为变量(见表5工况2)，得到负刚度蜂窝单胞结构的各项性能如图12所示。随着跨度的增加，双曲梁的曲率降低，承载力、回复力和耗能力不断减小，且减小速度均逐渐变缓，符合曲率对双曲梁的影响规律。对比双曲梁高度对结构性能的影响，双曲梁跨度的影响更明显，跨度为34.8 mm的双曲梁承载力达到144.8 N，高于双曲梁高度为8.89 mm的承载力(约95.34 N)，且小跨度条件下，结构质量减小，单位质量耗能量增大，而结构的变形位移不会增大，因此，结构跨度减小性能更优越。

3.3 双曲梁两侧立柱厚度对承载力和耗能力的影响规律

在弯曲梁屈曲的理论分析中，弯曲梁的边界条件假设为固支，但负刚度蜂窝结构中，双曲梁的边界条件由两侧立柱及中间横梁约束，压缩时，中间横梁与两侧立柱不可避免地产生一定变形，因而会对双曲梁的承载力、耗能力造成一定影响。以双曲梁两侧立柱的厚度为变量(见表5工况3)，结果如图13所示。从图13可知，当双曲梁两侧立柱厚度c与双曲梁t相等时c=t=1.27 mm)，双曲梁受压负刚度行为不明显，接近“零”刚度行为，说明两侧立柱对双曲梁端部的约束力不足，引发双曲梁第二阶屈曲模态发生，降低了结构的负刚度行为，因此两侧立柱厚度不宜小于双曲梁厚度；随双曲梁两侧立柱厚度的增加，双曲梁的承载力和回复力随之增大，但增长趋势变缓，能量耗散随之减小，能量耗散在两侧立柱厚度为双曲梁厚度的2倍时达到最大值。试验发现，两侧立柱厚度过大，负刚度蜂窝结构在加卸载过程中易发生变形不稳定的情况，其力-位移滞回曲线如图14所示。因此，两侧立柱的厚度c应在双曲梁厚度t的2～3倍。

图11 双曲梁高度对负刚度蜂窝单胞结构压缩性能的影响规律

图12 双曲梁跨度对负刚度蜂窝单胞结构压缩性能的影响规律

图13 两侧立柱厚度对负刚度蜂窝单胞结构压缩性能的影响规律

图14 两侧立柱厚度c=5.08 mm对应力-位移滞回曲线

3.4 双曲梁宽度对承载力和耗能力的影响规律

实际应用中，负刚度蜂窝结构的长度L和宽度b需要根据空间和位置要求进行调整。以单胞结构的宽度为变量(见表5工况4)，模拟结果如图15所示。单胞结构的承载力、回复力和耗能力随宽度b的增加呈正比例增加，但单位宽度承载力和耗能力不变，模拟例中，单位宽度承载力约为4.25 N，单位宽度耗能力为20.7 mJ。

由此可见，适当增加双曲梁弯曲高度、减小双曲梁跨度、增加双曲梁两侧立柱厚度、增加双曲梁宽度均可提高结构的承载力和耗能力。但双曲梁弯曲高度增加动载下结构的位移随之增大；双曲梁跨度减小结构加载过程中易出现明显的第三阶屈曲模态，影响卸载过程中结构的回弹；而增加双曲梁宽度，结构单位宽度双曲梁的承载力和耗能力并不改变。因此，在双曲梁初始弯曲高度和宽度确定的情况下，适当减小双曲梁跨度既能减轻结构质量，又能减小结构体积、还可显著提高结构承载力和耗能力，是提高负刚度蜂窝结构力学性能最有效的方法。

图15 双曲梁宽度对负刚度蜂窝单胞结构压缩性能的影响规律

4 结 论

本文基于广义Maxwell黏弹性理论模型提出了一种负刚度蜂窝结构压缩性能数值模拟方法，通过拟合黏弹性材料尼龙12的DMA测试数据，得到反映尼龙12真实动态黏弹性的无量纲模量gi和松弛时间τi，输入到Abaqus中材料黏弹性的Prony级数项，赋予结构黏弹性的本构方程，由此，对负刚度蜂窝结构进行数值模拟，并与压缩试验结果进行了对比分析，研究了几何参数对结构承载力和耗能力的影响规律，得到以下结论：

(1)负刚度蜂窝结构在数值模拟过程中，加载时各层双曲梁依次屈曲，产生负刚度行为，卸载时，借助材料的黏弹性，结构按原路径恢复初始形状，形成一个加卸载周期内的滞回曲线，与压缩试验的变形过程相同。

(2)对比数值模拟与压缩试验所得滞回曲线，二者在形式上具有一定吻合度，在数值上最大承载力值和能量耗散值误差均未超过10%，说明这种数值模拟方法的正确性，可应用于之后结构几何参数的数值模拟研究中。

(3)双曲梁的几何参数对结构的压缩性能具有一定影响，其中适当增加双曲梁初始弯曲高度、减小双曲梁跨度、增加双曲梁两侧立柱厚度、增加双曲梁宽度均可增大结构的承载力、回复力和耗能力。

以上结论对优化负刚度蜂窝结构的力学性能、预测负刚度蜂窝结构的应用效果具有重要意义。