黏弹性复合材料阻尼板的振动特性

翟彦春， 梁 森， 马 军， 任玉艳， 王绍清

(1. 潍坊科技学院 机械工程学院，山东 寿光 262700； 2. 青岛理工大学 机械与汽车工程学院，山东 青岛 266520)

复合材料是由两种或以上材料组成，且其比强度、比模量等性能都优于其组成材料，因此已经被广泛应用到轨道交通、航天及船舶工程等各工业领域[1-2]。鉴于此，学者们一方面通过试验研究对其振动特性进行分析[3-5]；另一方面，提出许多数值理论，例如经典板理论、一阶剪切理论以及高阶剪切变形理论等，对结构进行研究[6-8]。

由于经典板壳理论未考虑剪切变形的影响，导致对中厚板的计算精度不高，Timoshenko[9]对梁结构进行振动研究，考虑了横向剪切变形和转动惯量的影响。之后，Mindlin[10]和Reissner[11]分别将Timoshenko的剪切理论应用到中厚板的分析中，分别发展了以位移和应力为基础的一阶剪切变形理论，并得到广泛应用。Touratier[12]在一阶剪切理论基础上，提出了一种可以满足自由边界条件和表面零剪力条件的位移理论：该函数采用正弦函数与特定点处应变相乘的形式。Thai等[13]在经典的五变量一阶剪切理论的基础上，提出一种类似经典板壳理论的四变量位移模型。假设法向位移分别由弯曲变形和剪切变形引起，并且面内转角分别与弯曲变形和剪切变形有关，且互不影响。在此基础上，对功能梯度板结构的自由振动等进行了研究。Park等[14]基于改进的一阶剪切变形理论对各项同性复合材料层合板的弯曲、屈曲和自由振动进行研究。

在之前研究的基础上，本文基于一阶剪切变形理论，推导了复合材料夹芯板结构复数形式的振动微分方程；采用纳维法得到满足位移边界条件的理论解，通过有限元建模仿真对理论解进行验证，从理论上探索振动特性随结构参数的变化规律，为大阻尼高刚度结构设计提供理论指导。

1 控制方程的推导

1.1 本构关系

取总厚度为h的三层黏弹性复合材料阻尼板进行分析。为了得到振动方程，作出如下假设：层间结合良好；忽略沿厚度方向的正应变。

理论推导时，将板结构作为二维结构，根据一阶剪切位移理论和分段位移模型，提出各层板的位移模型为

(1)

式中,i取1，2和3，分别为约束层、阻尼层以及基层。

基于式(1)，可得到第i层板的应变公式，如式(2)所示。

(2)

进而得到沿坐标轴方向的第i层板本构关系

(3)

式中，i取1，2和3。

由于黏弹性材料层的弹性模量和剪切模量为复模量，采用常复数模型，其表达式为

(4)

1.2 控制方程

基于哈密尔顿原理得到变分形式的控制方程

(5)

式中,T和U分别为结构动能和应变能。

将式(2)～式(4)代入式(5)，进行整理，结合层间位移连续性关系，可推导出结构控制方程为

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

通过计算四边简支黏弹性复合材料阻尼板结构的模态频率和损耗因子来检验所推导方程的有效性。为满足位移边界条件，采用纳维法进行求解，位移表达式为

式中，a和b分别为结构长度和宽度。

将位移表达式(17)代入运动方程式(6)～式(14)中，将运动方程改写成一般特征值方程的形式

([K]-(ω*)2[M]){X}=0

(18)

式中：向量{X}为位移常数项;矩阵[K]和[M]为9×9矩阵。

求解程序框图，如图1所示。

图1 程序框图

2 算例分析

本算例为各向异性黏弹性复合材料阻尼板结构，其长度和宽度为0.348 m×0.304 m，约束层和基层的材料参数为：弹性模量E1=57.1 GPa，E2=60.3 GPa，剪切模量G13=G23=4.47 GPa，G12=5.32 GPa，泊松比υ12为0.038，密度为1 600 kg/m3，约束层和基层厚度为1.1 mm；黏弹性材料的弹性模量为15.5 MPa，泊松比为0.498，密度为985 kg/m3，损耗因子为0.5，阻尼膜厚度为0.1 mm。

ANSYS模型以及部分模态振型,如图2所示。在ANSYS有限元仿真模型中，使用的是8节点SOLID185单元，仿真过程中划分单元情况为：长度方向90个单元，宽度方向78个单元及厚度方向3个单元。

本文自编程序的理论解与有限元仿真结果的对比情况，如表1所示。由表1可知，本文计算结果与有限元仿真结果具有较高的一致性，说明本文所作假设及推导的理论公式是有效的，下面将采用验证过的模型从理论上对黏弹性复合材料阻尼板的振动特性进行深入研究。

图2 板结构的ANSYS模型及模态振型图

表1 模态频率和损耗因子的理论解和有限元结果

3 复合材料阻尼板振动特性分析

3.1 阻尼膜位置对振动特性的影响

图3和图4给出了黏弹性复合材料阻尼板在保持结构总厚度不变的条件下，一阶模态频率和损耗因子在不同阻尼膜厚度下，随约阻尼膜位置的变化情况。

图3 b/h=70时约束层和基层厚度比对一阶模态频率和损耗因子的影响

由图3和图4可知，随着阻尼膜位置的变化，黏弹性复合材料阻尼板结构一阶模态频率呈现出先减小后增大的趋势，其值在小幅范围内变动；而损耗因子表现出与模态频率完全相反的变化趋势，呈下凹抛物线状分布；损耗因子极大值和振动频率极小值都出现在阻尼膜处于结构中间位置时。同时，增大阻尼层厚度，黏弹性复合材料阻尼板结构对称布置时，在一阶模态频率相对较小的变化幅度下，一阶模态损耗因子成倍的增大。

因此，当阻尼膜处于结构中间位置时，黏弹性复合材料阻尼板结构可获得较为理想的振动特性。后续分析中，都以对称布置的黏弹性复合材料阻尼板结构为研究对象。

图4 b/h=80时约束层和基层厚度比对一阶模态频率和损耗因子的影响

3.2 边长比对板结构振动特性的影响

在给定的宽度与总厚度比下，边长比对黏弹性复合材料阻尼板结构一阶模态频率和损耗因子的影响，如图5和图6所示。

3.创优现代化的和美环境。建立健全科学决策形成机制、社情民意调查制度和利益平等协商机制，统筹协调各方利益关系。深化“法治诸暨”建设，广泛开展政务、社会、企业诚信和司法公信建设，建设服务型、法治型、诚信型、阳光型政府。完善社会矛盾调解体系，更好地将维护公平正义、协调各方利益和应对新情况新问题三方面有机统筹起来。依法逐步建立“权利公平、机会公平、规则公平、分配公平”为主要内容的社会公平保障体系。不断创优生态环境，精心打造宜居宜业的生态城市，让市民望得见山，看得见水，记得住乡愁。

从图5和图6可知，黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态频率和损耗因子在不同阻尼膜厚度下的变化趋势基本不发生变化；在给定边长比下，增大阻尼膜厚度，黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态频率逐渐减小，一阶模态损耗因子逐渐增大。

图5 b/h=100时边长比对一阶模态频率和损耗因子的影响

图6 b/h=90时边长比对一阶频率和损耗因子的影响

随着边长比增大，黏弹性复合材料阻尼板结构一阶模态频率和损耗因子都表现出逐渐减小的趋势。当边长比小于某一数值前，模态频率减小速度较快；之后其减小趋势较为平缓，对边长比的变化不再敏感；而损耗因子的下降速率基本保持不变。边长比在某一数值附近取值时，黏弹性复合材料阻尼板结构可获得较理想的结构刚度和阻尼性能。

3.3 宽度与总厚度比对板结构振动特性的影响

图7给出了不同阻尼膜厚度下，宽度与总厚度比对黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态频率和损耗因子的影响。

图7 b/h对一阶模态频率和损耗因子影响

由图7可知，随着宽度与总厚度比的增大，黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态频率和损耗因子都表现出逐渐减小的趋势，且不同阻尼膜厚度下，逐渐减小的趋势基本不发生变化。在给定的宽度与总厚度比下，增大阻尼膜厚度，可显著提高一阶模态损耗因子，同时一阶模态频率有相对较小幅度的减小。因此，为使黏弹性复合材料阻尼板结构获得较大的结构刚度和较为合适的阻尼性能，应尽量缩小宽度与总厚度比。

3.4 弹性模量比对板结构振动特性的影响

在给定的几何参数下，阻尼膜弹性模量与复合材料弹性模量的比值e对黏弹性复合材料阻尼板结构一阶模态频率和损耗因子的影响，如图8所示。为了增大弹性模量比的取值范围，图8中横坐标采用对数刻度。

图8 弹性模量比对一阶模态频率和损耗因子的影响

从图8可知，黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态频率和模态损耗因子呈现出完全相反的变化趋势：随着弹性模量比的增大，一阶模态频率开始时增加速度较快，之后对弹性模量比的变化不再敏感；一阶模态损耗因子先快速减小，减小到某一数值后，其值基本保持不变；一阶模态频率和模态损耗因子的变化趋势基本不变。弹性模量比过大，黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态损耗因子较小；反之，一阶模态频率较低。

3.5 约束层和基层厚度比对结构振动特性的影响

图9给出了基层保持不变时，结构振动特性随约束层和基层厚度比的变化情况。

从图9可知，随着复合材料层厚度比的增大，振动频率逐渐增大，且阻尼膜厚度的增加；这是因为基层厚度不变，在一定的阻尼膜厚度下，增大约束层厚度，使得结构刚度增大，导致频率增大。同时，损耗因子随着厚度比的增大，表现出先增大后减小的趋势，存在一个最佳的厚度比，使结构阻尼性能最佳。这是因为约束层厚度较薄时，增大其厚度使黏弹性材料在振动过程中，剪切变形越充分，表现出损耗因子增大；但是当约束层厚度达到一定值后，继续增大约束层厚度使得结构整体刚度过大，抑制了黏弹性材料的剪切变形，导致损耗因子越来减小。

图9 复合材料层厚度比对一阶模态频率和损耗因子的影响

4 结 论

(1)将阻尼膜置于黏弹性复合材料阻尼板结构的中性层时，该结构可获得较大的一阶模态损耗因子和相对较低的一阶模态频率。

(2)在给定宽度与总厚度比下，随着边长比的增大，黏弹性复合材料阻尼板结构一阶模态频率和损耗因子都呈现出逐渐减小趋势。

(3)固定边长比下，几何结构对称的黏弹性复合材料阻尼板结构一阶模态频率和损耗因子随着宽度与总厚度比的增大都表现出逐渐减小的发展趋势。

(4)在给定的几何参数下，随着阻尼膜弹性模量与复合材料弹性模量比值的增大，黏弹性复合材料阻尼板结构的一阶模态频率先逐渐增大再保持基本稳定；一阶损耗因子先逐渐减小后基本保持不变。

(5)基层厚度保持不变，增大约束层厚度，一阶振动频率逐渐增大，一阶模态损耗因子先增大后减小，存在最佳的厚度比使得结构阻尼性能最佳。