考虑巡航速度调整的航班恢复优化模型

崔丽娟，景崇毅，焦国庆，潘夏霖

（中国民用航空飞行学院机场工程与运输管理学院，广汉618307）

0 引言

自二十一世纪以来，航空运输需求不断增加，航空市场不断扩大，航空运输业正在蓬勃发展，同时航空公司的竞争也日趋激烈，航班编排越来越紧凑，导致不正常航班时有发生。航空公司如何合理地分配现有资源，从而低成本、高效率地进行航班恢复对公司运营效益和服务水平尤为重要。

不正常航班恢复问题是一个非常复杂的实时网络优化问题，其解空间随着飞机和航班数量的增加而呈指数型增加，属于NP-hard 问题，同时有实时优化的需求[1]。关于航班恢复的文献已经颇为丰富，Teodorovic和Guberinic[2]考虑航班延误和飞机交换，以旅客总延误时间最小化为目标建立针对飞机故障的数学模型，对飞机路径和航班时刻进行了恢复。Jarrah 等人[3]针对飞机短缺问题根据航班延误和航班取消两种恢复策略分别建立了两个航班恢复成本最小化的网络流模型，但这两个模型不能同时使用，所以在航班恢复过程中不能同时考虑航班延误和航班取消。Argüello[4]为解决飞机短缺问题，在不考虑飞机交换的情况下以航空公司收益损失最小和旅客总延误时间最短为目标建立航班恢复模型，首次采用贪婪随机自适应搜索算法求解该模型。Aktürk 等人[5]首次将巡航速度调整明确引入航班恢复模型，为便于求解通过二次圆锥曲线对模型进行重构。周靖为[6]针对飞机故障时间的不确定性建立了航班时刻和飞机路径恢复的数学模型，并根据模型的特点，选用Benders 分解法求解该模型。赵秀丽[7]在经典的资源指派模型的基础上，完善了飞机路径恢复约束条件，从旅客和航空公司的角度设置了不同的恢复目标函数，并分析了不同目标函数对恢复方案的影响。白凤[8]在时空网络模型的基础上提出了多商品流模型，并采用不同的算法分别对飞机路径和机组进行恢复。王峰[9]针对机场关闭带来的航班中断问题，分别建立了恢复时间确定和恢复时间不确定的两种航班恢复模型，对飞机路径进行恢复。

通过分析现有研究成果可知，将巡航速度调整明确地纳入到航班恢复模型的研究寥寥无几。而在航空公司实际的运营过程中，巡航速度调整在航班恢复中被普遍使用，因此，本文基于航班取消、航班延误、飞机交换和巡航速度调整四种恢复策略，以航班恢复成本最小为目标建立航班恢复模型，为航空公司及时、高效地应对不正常航班提供理论参考。

1 问题描述与模型构建

1.1 问题描述

航空公司在处理不正常航班计划的过程中，常常会考虑航班延误，航班取消，飞机交换三种恢复策略，飞机巡航速度的调整也是经常被使用的一种恢复策略，巡航速度调整在航班恢复过程中具有重要的意义。

图1 巡航速度调整对航班恢复的影响示意图

在航班恢复过程中改变飞机的巡航速度主要有两个作用：一是缩短巡航时间使航班可以尽早到达目的地，减少航班的到达延误时间，从而减少航班的延误成本。如图1 所示，3 架飞机在7 个机场之间执行14 个航班，例如航班11、航班12、航班13、航班14 是由飞机1 执行的四个连续航班。由飞机2 执行的航班22 出发延误90 分钟，红色虚线表示飞机2 的原始航班计划，黑色实线代表恢复之后的航班计划示意。左图是顺延方案下的航班恢复方案，在航班22 的影响下航班23*、航班24*、航班25*三个后续航班都有不同程度的延误；右图是巡航速度调整之后的航班恢复方案，航班22*、航班23*、航班24*都进行了加速，在航班25 出发之前航班延误时间被抵消，航班25 可以按原航班计划执行。二是飞机增加巡航速度之后，可以进行相应的飞机交换，保证重要航班的正常执行，减少航班恢复的总成本。如航班22*适当地加速之后，若航班32 进行适当的加速，航班22*的飞机就可以与航班32 的飞机进行飞机交换，从而保证后续航班的顺利进行。

增加巡航速度对降低航班恢复成本有利也有弊。一方面增加巡航速度可以减少航班的巡航时间，缩短航班延误时间，从而减少航班延误成本；另一方面随着巡航速度的增加，飞机的燃油消耗也会增加，进而带来额外的燃油成本。所以利用巡航速度调整进行航班恢复时，需要在延误成本和额外燃油成本之间进行权衡。

1.2 航班恢复模型的构建

本节在考虑航班延误、飞机交换、巡航速度调整三种恢复决策的基础上建立单机型的航班恢复模型。

（1）集合

L：航班集合

Ld：原始受扰航班集合

S(l)：可能进行飞机交换的航班l的集合

（2）参数

表1 模型参数及其说明

（3）决策变量

vl：航班l 的巡航速度

tl：航班l 的巡航时间

ll：航班l 的出发延误时间

xlg：若航班l 和航班g 进行飞机交换，则为1；否则为0。

yl：若航班l 取消，则为1；否则为0。

（4）目标函数

巡航速度增加可以在一定程度上减少航班延误时间，从而降低延误成本，同时也会使油耗增加，从而到来额外的燃油成本。因此，目标函数中除了航班取消成本和航班延误成本之外，应加入额外燃油成本。

（5）约束条件

约束（2）表示航班巡航距离与巡航速度的关系，其中巡航距离可通过原始巡航速度与原始巡航时间的乘积求得，即。公式（3）表示航班出发延误约束。恢复之后的航班出发时间不早于原始出发时间，并且不能晚于最晚延误时间。公式（4）定义了航班出发延误。航班的出发延误等于原始中断航班的原始出发延误时间。公式（5）恢复之后的航班巡航速度约束。恢复之后的航班巡航速度不得小于原始航班巡航速度，并且不能大于该航班状态下的最大巡航速度。公式（6）表示航班出发时间约束。当航班l 与航班g 不进行飞机交换时，航班l 的后续航班n(l)的出发时间不得早于恢复之后航班l 的到达时间加上航班l 的地面周转时间，即rl+ll+tl-tol+al≤dn(l)+ln(l)；当航班l 与航班g 进行飞机交换时，航班l 的后续航班n(l)的出发时间不得早于恢复之后航班g 的到达时间加上航班g 的地面周转时间，即rg+lg+tg-tog+al≤dn(l)+ln(l)。公式（7）和（8）是对航班交换飞机的频次约束。保证每两个航班之间最多只能交换一次飞机，并且进行飞机交换的两个航班要同时换飞机。公式（9）表示恢复之后航班到达延误时间。公式（10）是航班燃油消耗的公式，该公式引自参考文献[5]。公式（11）保证恢复之后的航班巡航速度不得超过初始航班速度的110%。本研究假设航班的初始巡航速度为最大航程（MRC）速度的102%。公式（12）（13）（14）是对决策变量取值的约束。

2 算例测试

为验证该模型的可行性及有效性，本节结合航空公司的实际运营情况及合理的假设，进行数值检验及分析。航班信息截取于国内某航空公司2020 年冬季航班中某天的航班计划，5 架飞机在11 个机场之间执行的20 个航班，具体航班信息见表2。

表2 航班信息表

假设航班延误成本为120 元每分钟；航班出发延误时间超过180min 时，取消该航班；每个航班的最小地面周转时间为30min、非巡航时间为20min。

当飞机1 由于飞机故障需在A 机场需要停场4 小时（10:00-14:00），用手动顺延方案、历史方案（航班取消、航班延误、飞机交换）和优化方案（巡航速度调整、航班取消、航班延误、飞机交换）分别进行航班恢复。

手动顺延方案：由于航班101 延误时间超过180min，所以取消航班101 和航班102，航班103 和航班104 按原计划执行。取消航班的取消成本相当于延误180min 的成本，计算恢复效率时，取消航班的延误时间取180min。

历史方案：飞机1 和飞机4 进行交换，航班101、航班102、航班103 和航班104 可按原计划执行；航班401、航班402 和航班403 分别延误85min、70min、20min。

优化方案：飞机1 和飞机4 进行交换，航班101、航班102、航班103 和航班104 按原计划执行。航班401、航班402 进行不同程度的加速后，在航班403 出发之前完全抵消了延误，航班403 及其之后的航班按原计划执行，优化方案的具体结果见表3。

表3 优化方案

表4 给出了三种方案恢复成本的比较。优化方案和手动顺延方案相比较，恢复成本较低65.40%，恢复效率提高51.39%；和历史方案相比，恢复成本降低28.82%，恢复效率提高31.43%。

单位延误成本分别取80 元每分钟、120 元每分钟、160 元每分钟、200 元每分钟时，优化方案和历史方案相比较，恢复成本分别降低27.51%、28.82%、29.47%、29.86%，因此单位航班延误成本越高，巡航速度控制降低恢复成本的效果越明显。

表4 三种方案结果比较

3 结语

本文针对发生飞机故障时航班计划受扰的情况，采用巡航速度调整、飞机交换、航班延误、航班取消四种恢复策略对航班进行恢复，并用MATLAB 软件进行求解。本文运用算例对模型进行过了测试，结果表明，该模型在降低航班恢复成本的同时，也提高了恢复效率；通过优化方案和历史方案的对比，可知，单位航班延误成本和巡航速度调整对降低成本的效果成正比。

本文只对单机型进行了建模，若对不同机型执行的航班进行恢复，需要对模型进行延展；航班恢复包括飞机恢复、时刻恢复、机组恢复和旅客恢复，但该模型没考虑机组恢复和旅客恢复。