廖山涛与微分动力系统文兰院士访谈录

王涛 付晓青

作者简介：王涛，1988年生，河北武安人，中国科学院自然科学史研究所副研究员，研究方向为近现代数学史。Email：mbokey@126.com;付晓青，1981年生，山东临淄人，山东大学历史文化学院讲师，研究方向为数学文化。

基金项目：国家自然科学基金（项目编号：11801553）;中国科学院青年创新促进会资助项目（项目编号：2021148）;国家自然科学基金数学天元基金（项目编号：11926403）

访谈整理者按 廖山涛是一位具有國际声誉和世界影响的中国数学家。他于1920年出生于湖南衡山，1938年考入西南联合大学数学系，1942年肄业后辗转于多所中学任教。1946—1950年在北京大学数学系、中央研究院数学研究所工作。1950—1956年赴美留学，在陈省身的指导下获得芝加哥大学博士学位，并到普林斯顿高等研究院等单位从事代数拓扑的研究工作。1956年回国后任北京大学教授，直至1997年去世。

20世纪60年代，廖山涛从代数拓扑转向刚刚兴起的微分动力系统，是国际上这一领域的几位先驱者之一。他相继提出典范方程组和阻碍集两个基本概念，并以此为核心形成了一套独特的研究体系（廖理论），是中国微分动力系统的奠基人与开拓者。1986年，第三世界科学院将首次颁发的数学奖授予廖山涛，并选举他为第三世界科学院院士。廖山涛还于1987年荣获国家自然科学一等奖，1991年当选为中国科学院院士，1995年荣获何梁何利科技进步奖。在2002年北京召开的第24届国际数学家大会上，时任国际数学联盟主席的帕里斯（J. Palis， 1940— ）在开幕式的讲话中高度评价廖山涛的功绩，认为中国数学由陈省身、华罗庚、冯康、谷超豪、吴文俊和廖山涛等人共同奠基和培育[1]。

目前科学史界关于廖山涛的研究尚处起步阶段。2020年是廖山涛诞辰100周年，北京大学举办了“纪念廖山涛先生诞辰100 周年暨微分动力系统研讨会”（下称“研讨会”）。经北京师范大学—香港浸会大学联合国际学院校长汤涛院士的推荐与“研讨会”主办方的邀请，笔者受命为廖山涛撰写一篇学术传记。为了详细了解廖山涛对微分动力系统的贡献，笔者特地对北京大学数学科学学院文兰院士进行了访谈。

受访人文兰，安徽泾县人，1946年出生于甘肃兰州，现为北京大学数学教授。1969年毕业于北京大学数学力学系，1981年研究生毕业于北京大学数学系，导师廖山涛。1986年获得美国西北大学博士学位，1988年回国后在北京大学工作至今。文兰长期下苦功学习廖山涛独创的理论和方法，在微分动力系统的研究中取得了突出的研究成果。文兰于1996和2011年先后荣获中国数学会陈省身奖与华罗庚奖，1999年当选为中国科学院院士，2005年当选为第三世界科学院院士，2004—2007年担任中国数学会理事长。

受访人：文兰

访问整理人：王涛、付晓青

访谈时间：2020年12月4日;2021年7月7日

访谈地点：北京大学数学科学学院文兰院士办公室

中图分类号 N092∶O1

文献标识码 A

一 师从廖山涛

王涛、付晓青（以下简称“王”）：廖山涛先生于1956年回国任教，您是1964年考入北京大学数学力学系，读大学时廖先生是否教过您？

文兰（以下简称“文”）： 没有。作为低年级大学生，我们入学后接触到的老师主要是教我们基础课的几位老师，比如邓东皋、丁石孙、程庆民等。读了两年以后，“文化大革命”开始了，后面就是搞运动。当时自己想不到看书，另外几乎也没人看数学书了，天天学习毛主席著作与报刊社论。如果一切正常的话，到高年级选择专门化时没准我会接触到廖先生，但“文革”把这些都打乱了。本来我们应该是1969年毕业，结果到1970年3月才离校，是和1965级一同分配的。

王：您在1978年考取了廖先生的研究生。

文：大学毕业后我被分配到河北献县的农村插队。1977年晚些时候传出大学要招研究生的消息。由于我大学是在北大念的，自然想回母校读研究生，但不知道报考谁。很多同学都准备报考当年教过我们的几位老师，我也有此打算。还异想天开地想学数理逻辑。我的姐姐与姐夫在北大数学系工作，他们给我出主意说廖先生的学问大，建议我报考廖先生。此前我一直在农村教书，根本不清楚廖先生的研究方向——动力系统是什么，甚至连“动力系统”这4个字是什么意思都不知道。

王：他们怎么知道廖先生的学问大？

文：当时“文革”已经结束两年了，廖先生的重要文章也快要发表出来了，他们在一个系里，谁有学问大家肯定是知道的。事后分析，廖先生大量的深入研究是在“文革”当中做的。当时不仅我们学生荒废了，绝大多数的老师们也荒废了。白天都筋疲力尽了，晚上谁还有精力去做研究呢？而且研究数学被视为政治不正确。在这种情况下悄悄坚持数学研究，只能是那种视数学为生命的人。“文革”中有一段所谓的“逍遥”时期，学校里行政机构虽然都瘫痪了，但仍然发工资，我们学生在学校里也还有助学金，但就是不上课，主要工作除了政治学习就是到外面宣传、串联与游行。白天的各种活动廖先生肯定是要参加的，那廖先生的时间是从哪里来的呢？他只能是另外加班。那时廖先生住在蔚秀园里的一个独立的平房小院，相对“与世隔离”，估计他“加班”别人也不知道。他从1956年回国之后一直住在那里，直到20世纪80年代才搬到中关园，从此再也没有搬过家。就跟中国科学院数学研究所的陈景润一样，一开始大家也都不知道，后来形势一宽松，他就能拿出厚重的研究成果。廖先生也是这样，只是没有被报道。

王：廖先生如何指导您学习？

文：读研究生的时候我有两位师兄，张筑生和欧阳奕孺。当时国家刚恢复招考研究生，系里没有统一的研究生课程，都是各个方向的老师们自己解决开课的问题。记得廖先生给我们讲过黎曼几何。后来到蒋云平、岳澄波、丁红宇、章梅荣的时候可能情况就好一些了，那时候张筑生已经留校了，开了微分动力系统课。廖先生没有引导我们学习他那一套理论，因为那些内容很难上手，可能我们还“不够格”吧。廖先生是让我们学习西方的理论和方法。可以说，跟随廖先生读研究生时，我们这些学生对他只有一个抽象的认识——廖先生特棒，其他具体的都不太知道。我们当时也有讨论班，廖先生让我们去读一些文章，然后在讨论班上报告。讨论班就不多几个人，廖先生和他的助手詹汉生老师，再就是我们几个研究生了。廖先生对我们在讨论班上作报告只要求四个字：“甩开稿子”。这四个字看着简单，其实很厉害，迫使我们不得不把要讲的内容消化掉，全部记在脑子里。后来知道这不只是对我们的要求。廖先生一辈子对他自己就是这样要求的。廖先生给我们讲黎曼几何课，讲了三个月，从头到尾没看过一眼讲稿。他有讲稿，但放在桌上，从未打开。

研究生毕业之后我到山东大学工作了一年，1982年9月赴美国攻读博士。1988年回国后到北大做博士后，当时不像现在有明确的合作导师，其实合作导师就是廖先生。等到与国外建立起学术联系，信息交相反馈，我们以及国外的学者才越来越多地了解到廖先生的了不起。回国之后我跟廖先生的接触比以前多了，研究的方向和内容也慢慢向廖先生靠拢。所以我跟廖先生接触比较密切的是1988—1997年这一段时间，其间廖先生组织的学术活动我基本上都参加了。我和章梅榮、甘少波还办了个小讨论班，专门学习廖先生的这套理论，他知道后也乐见其成。这里我想强调的是，廖先生并不是关起门来做研究。他的眼光开放且长远，对国外文献的了解可以说如数家珍。记得有一个暑假，天气非常炎热，学校的图书馆里基本没有人。我进去后发现廖先生正俯身在查阅《数学评论》（Mathematical Reviews）。《数学评论》是和报纸差不多大的厚重开本，人搬不动，字体却非常小，查阅起来很不容易。廖先生那时已经是古稀之年，他对文献的了解都是这样辛苦得来的。

王：有一种说法是廖先生的英文不好，真实情况如何？

文：其实不是。这种说法可能是因为看到廖先生的很多文章是用中文写的。但这并不说明廖先生的英文不好，更不能简单地理解为狭隘的民族主义，否则就无法解释为何他早年与晚年的很多论文是用英文写的，而且是一手漂亮的英文。实际上，廖先生用中文写数学论文主要是在回国以后至改革开放之前，那时中国对外隔绝，不可能用英文写作到国外去发表。我前面提到过，廖先生的很多成果是在“文革”中做出的，他都是用中文写在厚厚的本子上，改动很少，不像我们现在都是用电脑输入，很方便改来改去。廖先生当年写作时事先肯定打好了腹稿。这些稿子在“文革”结束以后稍加整理就可以发表。关于廖先生的英文，我这里还有一个故事。我曾在一篇数学文章的初稿中写道“an unique solution”，廖先生看到后纠正我说：“unique之前要用a而不是an。”令我受益匪浅。那时我已从美国博士毕业回来，却不知道这个语法。一些逸闻说廖先生的英文不好，可能是为了反衬廖先生的数学特牛。这个说法有幽默感，因此流传颇广。

王：廖先生是怎样的一个学者？

文：我对廖先生的第一个印象是纯粹，这是廖先生最大的特点，他的头脑与生活中只有数学。其实廖先生也有很多其他才能，比如文学、历史，但他有意识地压缩这些爱好，久而久之也就真成了没有其他爱好了。第二个印象是下苦功。廖先生有几篇短文，其中有一篇是讲功底的[2]。里面有一句话是说一本书要熟悉到闭上眼睛能像放电影一样，一页一页地把那本书放出来的程度。我一直在琢磨这句话是什么意思。我们有时也有一些类似的感受。就是你书的某一段读得遍数多了，一个定理在书中某页的具体位置你都会记得，包括使用的符号都会成为你记忆的一部分。廖先生一定是下苦功把几本最重要的著作消化掉了，也就自然地印在了脑子里。如果只许用一个词来形容廖先生，我想“坚忍不拔”最为合适。

二 微分动力系统

王：请您简单介绍一下微分动力系统这门学科。

文：动力系统从19世纪末庞加莱（H. Poincaré， 1854—1912）创立微分方程定性理论开始，他认为方程的式子并没有那么重要，而是侧重于从几何的观点看问题，定性理论也就是几何理论的意思。微分动力系统的研究兴起于20世纪60年代初，揭开序幕的是一位来自巴西的数学家，名字叫佩肖托（M. Peixoto， 1921—2019），所以巴西的微分动力系统很强。20世纪50年代末，佩肖托在普林斯顿大学数学系访问拓扑学家莱夫谢兹（S. Lefschetz， 1884—1972）。莱夫谢兹在晚年的时候非常关心常微分方程的定性理论。20世纪30年代，有一项微分动力系统的萌芽性工作是由苏联数学家庞特里亚金（L. S. Pontryagin， 1908—1988）与物理学家安德罗诺夫（A. A. Andronov， 1901—1952）做出的。他们在一篇文章中提出了一个非常重要的概念——结构稳定性（structural stability）。在莱夫谢兹的建议下，佩肖托成功地将苏联科学家的结果从圆盘推广到一般的二维曲面上[3， 4]。

王：可以说是佩肖托打开了微分动力系统的大门？

文：是的。当佩肖托打开这扇大门时，美国数学家斯梅尔（S. Smale， 1930— ）斯梅尔，美国数学家，研究方向涉及拓扑学、动力系统、数理经济学、计算复杂性、学习理论等领域，以证明五维及其以上的庞加莱猜想而知名。1966年获得菲尔兹奖，2007年获得沃尔夫数学奖。刚获得博士学位不久，在普林斯顿高等研究院做博士后。他得知佩肖托的结果后非常感兴趣，也开始研究动力系统。但那时他年轻气盛，认为只需把微分拓扑的概念加进去，就可以将佩肖托的定理推广到高维。斯梅尔很快写了一篇文章，主要内容是佩肖托的定理在高维是如何陈述的，并断言这个定理在高维依然成立[5]。后来常微分方程的专家莱文森（N. Levinson， 1912—1975）写信告诉斯梅尔一个反例，后者收到信后半信半疑。那时斯梅尔正在位于巴西的纯粹数学与应用数学研究所（简称IMPA）访问，他在海滩上拿着莱文森的文章反复揣摩，累了就游游泳，最终抽出了隐藏在分析式子背后的几何图形——马蹄（horseshoe）[6]。

王：马蹄的发现有什么意义？

文：马蹄的发现说明佩肖托的定理在高维确实不成立，表明结构稳定性可以和复杂性共存，这成为现代动力系统开端的标志。与佩肖托相比，斯梅尔虽然只对高了一维的情形进行讨论，但他的结果使得更高维的情形都可以想象了，所以是本质性的扩展。

很快，斯梅尔归纳马蹄、托姆环面自同构等例子，在苏联学者阿诺索夫（D. Anosov）重要工作的基础上提出了双曲集的概念，并与自己的学生帕里斯一起提出了相当于佩肖托判别条件的高维形式，即著名的“稳定性猜测”，他自己则证明了第一个大范围结构稳定性定理：离散系统的稳定性定理。稳定性猜测引发出后续很多数学家的重要工作，从而推出了微分动力系统的一个全盛时期[7]。

三 廖山涛的贡献

王：廖山涛先生是拓扑出身，他是如何注意到微分动力系统这一领域的？

文：廖先生转向动力系统是在回国以后。佩肖托与斯梅尔的文章发表在1959—1962年。《旧金山时报》在1986年7月2日有过一篇报道[8]，文中说廖先生在1959年从一篇介绍国外微分动力系统的文章中，预感到这门学科将会有巨大的应用价值。这篇报道可能会与陈省身先生有关，因为文中的论述很内行，提到廖先生提出“典范方程组”和“阻碍集”两个基本概念，以此为核心，形成独特的研究体系等等。的确，廖先生的独立性极强，他是不会跟着别人走的，而且一上来就考虑高维的问题。

王：廖先生当时还在开拓扑课吧？

文：是的。那时廖先生已经开始研究动力系统了，但他开的课程仍是拓扑。廖先生在北大数力系带了几届拓扑专门化的学生，我知道1962年毕业的有周作领、熊金城、詹汉生、刘旺金、左再思，1963年毕业的有刘应明，1965年毕业的有唐云与麦结华。他的学生在改革开放后有不少人转入动力系统。

王：廖先生对微分动力系统的研究独具特色，这句话怎么讲？

文：动力系统在斯梅尔之前基本上只有连续时间动力系统（简称“连续系统”）。这类动力系统是从常微分方程来的，里面都有一个连续时间t。时间t从负无穷到正无穷，因此一个点拉出来是一条线，也就是一条轨道。斯梅尔的马蹄则是第二类动力系统，类似于机器的输入与输出，将输出的值再输入，反复进行，这就是迭代。因此也有人将动力系统的起源追溯到牛顿（I. Newton， 1643—1727），因为牛顿曾用迭代法求解方程的根。一个数多次迭代后出来是一个数列，从几何上看则是一个位置的点列。这类动力系统和连续系统在精神上是类似的，只不过微分方程对时间的看法是连续的，迭代对时间的看法是离散的，因此叫做离散时间动力系统（简称离散系统）。

斯梅尔开创了离散系统的研究。他通过说明马蹄映射有无穷多个周期点，进而说明所对应的流有无穷多个周期轨道。这种取截面，然后取返回的映射，是一种将两种动力系统联系起来的方式。那是否所有的连续系统的问题都可以转化为低一维的离散系统呢？实际上并不是。连续系统中流的理论要比离散系统复杂得多。任何离散系统的动力现象都可以在高一维的连续系统里出现，但反过来，并非任何连续系统的动力现象都可以在低一維的离散系统里出现。斯梅尔之后的很多学者开始直接研究离散系统。其实连续系统始终是更根本、也更困难的动力系统。

廖先生从一开始就致力于对更困难的连续系统进行研究，他将其称为常微系统，认为离散系统只不过是常微系统的“特款”。同样的问题，离散系统比常微系统容易出结果，所以做常微系统比做离散系统要“吃亏”，但廖先生不为所动。关于这一点，斯梅尔的学生弗兰克斯（J. Franks）说得好：“常微系统比离散系统要复杂和困难，所以定理总是先在离散系统中被证明，而反例通常首先在常微系统中被发现。”西方学派多从离散系统入手，取得突破，再试图向常微系统进行推广。这种研究方式取得了巨大的成就，形成了实力深厚的学派，但毕竟不能代替对常微系统的直接研究。理由如上所述，有些重要的常微系统的问题是不可能转化为离散系统的。廖先生始终直面常微系统，特别是常微系统中的奇点问题，这是其中最复杂、最困难的问题所在，是离散系统所无法比拟的。

王：那廖先生如何研究常微系统？

文：廖先生相继提出了“典范方程组”与“阻碍集”两个基本概念，并以此为核心，形成了一套独特的研究体系，与西方学派交相辉映而更胜一筹。典范方程组的方法是通过活动标架，把流形上常微系统的相图的一部分性质，循适当途径，化成欧氏空间中通常的常微分方程组来讨论。这一方法有计算和定量估计上特有的方便。阻碍集是由阻碍点构成的集合，所谓阻碍点即阻碍双曲性成立的点。双曲性是一个不变集的性质，是比较整体的，却可以被一种点的出现而破坏，这本身就耐人寻味。阻碍集理论是廖先生在研究稳定性猜测中创立的，在这个猜想的研究中起着重要的作用。

王：廖先生在稳定性猜测中做了哪些贡献？

文：稳定性猜测从佩肖托开始就是一个最引人注目的问题，马蹄就是从这个问题中产生出来的。1970年帕里斯与斯梅尔提出了两个有基本意义的猜测，其主要内容是：

猜测Ⅰ：结构稳定性蕴含公理A+强横截。

猜测Ⅱ：Ω稳定性蕴含公理A+无环。

Ω 稳定性是一个比结构稳定性稍弱的概念，即结构稳定蕴含Ω 稳定。两个猜测的充分性证明分别由罗宾（J. Robbin）-罗宾逊（C. Robinson）与斯梅尔在20 世纪70年代初给出。进一步，皮尤（C. Pugh）-舒伯（M. Shub）与罗宾逊对于常微系统也证明了充分性，被称为“稳定性定理”。与之相对的是，必要性的证明则十分困难，渐渐被称为“稳定性猜测”，并在很长一段时间内被称为动力系统的“中心问题”（central problem）。舒伯在他的著作中写道：“中心问题确实是中心的。”（The central problem is really central.） [9]

在很长的一段时间内，稳定性猜测这个动力系统领域中最艰深、最硬的“骨头”不是由美国、俄罗斯或者欧洲的数学家攻克的，而是廖先生和巴西IMPA的马涅（R. Maé， 1948—1995）马涅，乌拉圭裔数学家，巴西纯粹数学与应用数学研究所教授，1983与1994年两度在国际数学家大会作报告，1994年当选为巴西科学院院士，同年获得第三世界科学院数学奖。，他们二人可以说是微分动力系统的两大支柱。1978 年，马涅在一个附加条件下对二维离散系统证明了稳定性猜测。1980 年，在复旦大学主办的《数学年刊》（Chinese Annals of Mathematics）的创刊号上，廖先生发表了“关于稳定性推测”（On the stability conjecture）的论文[10]。他运用自己独创的阻碍集与“筛滤”引理等工具，在不附带任何条件的情况下，成功地证明了三维无奇点常微系统的稳定性猜测。通过取扭扩，便自然证明了二维离散系统的稳定性猜测。IMPA的图书馆正好收录了这期杂志，巴西的数学家告诉我说这一期都被翻得不像样子了。1984年，廖山涛又进一步证明了四维无奇点常微系统与三维离散系统的稳定性猜测[11]。就稳定性猜测而言，廖山涛对常微系统取得的结果在很长一个时期里比离散系统得到的结果还要早与好，由此可见廖先生这一系列成果的分量。

马涅对廖先生极为仰慕，廖先生对马涅也十分欣赏，但他们没有见过面。1987年，马涅证明了离散系统的稳定性猜测，这是微分动力系统的一个重大成就。马涅做出这项工作时还不到40岁，廖先生认为他完全有资格获得菲尔兹奖，但最终没有得到，这些事情就很难说了。比起离散系统，廖先生研究的常微系统的稳定性猜测有额外的难度￣——奇点问题。离散系统的不动点与非不动点在双曲性上没有本质区别，但流的奇点与非奇点在双曲性上却有本质区别。奇点的存在很大程度上相当于破坏了流形的紧性，给整个问题带来了极大的困难。廖先生的工作为根本上解决奇点问题做了系统的、全面的准备，这些工作到今天仍然在各方面起着重要的作用。

王：廖先生在微分动力系统的地位如何？

文：廖先生所做的研究工作的难度、深度是那个年代中国数学界所能达到的最高水准之一，实际上也是国际上这一领域的最高水准之一。1986年，第三世界科学院将首次颁发的数学奖授予廖先生，以奖励他在球面周期变换特别是微分动力系统的稳定性理论中做出的贡献。这是一个国际性的奖项，不是自己申请来的，而是在自己不知道的情况下被第三世界科学院授予的，被认为是那个年代我国国际奖项的“零的突破”。1987年，廖先生又获得了我国自然科学领域的最高奖项——国家自然科学一等奖。

不仅如此，在解决稳定性猜测的过程中，廖先生（马涅也独立注意到，但稍晚）还注意到了一个更强的所谓星号流的问题：如果周期轨道在扰动下不逼近奇点，星号流是否满足公理A+无环？星号流问题实际上蕴含了稳定性猜测，因而对微分动力系统有着深远的影响。廖先生是以问题而不是猜测的形式提出的，实际上他倾向于答案是正面的。由于星号流的要求条件太弱了，而公理A+无环的性质却如此之强，因此一般人不敢设想这样的问题。廖先生对星号流问题做了基本性的贡献。他在1981年发表的《阻碍集Ⅱ》中证明，在“强分离”（即不同指标的周期轨道或奇点之间在扰动下不相互逼近）条件下，星号流满足公理A+无环[12]。这是当时微分动力系统领域的最高成就，足以俯瞰世界。

廖先生生前对星号流问题一直非常关心。他在著作《微分动力系统的定性理论》的前言中强调了常微系统与离散系统的区别并提请读者注意附录，而在附录中他明确点出了星号流问题并指出：如果星号流没有奇点，相应的结论是否成立在目前尚是一难题[13]。2006年甘少波与文兰合作，终于解决了廖先生和马涅提出的星号流问题，即如果周期轨道在扰动下不逼近奇点，则星号流满足公理A+无环。文章的副标题为向廖先生与马涅致敬，以纪念这两位微分动力系统的伟大学者[14]。

王：廖先生给我们留下了哪些遗产？

文：如果谈廖先生最有特点的“杀手锏”式的工具，我认为应该是他的筛滤引理和准双曲轨弧的跟踪引理。这两个工具所起的作用对一些重要问题是其他工具無法代替的。国外一些顶尖的学者已经注意到这个情况，也开始学习使用这两个工具。至于一般地说廖先生给我们留下的遗产，那就太多了。从大处讲，比如典范方程组与阻碍集，我们尚在学习中，离完全掌握尚有很大的距离，这方面甘少波与杨大伟学习、掌握的最好。廖先生另一大块工作是微分遍历论，这方面孙文祥学习、掌握的最好。实际上，我们有不少学生对廖理论有相当程度的了解和掌握。廖先生可以欣慰的是，以文兰、甘少波、孙文祥、杨大伟、田学廷等为代表的中国数学家，使用他的理论解决了国际上的不少重要问题。例如，1997 年日本学者哈雅西（S. Hayashi）证明了连接引理，并藉此证明了任意维常微系统的稳定性猜测。而在此前两年，文兰在假定了一种连接引理的情况下也给出了证明。2000 年文兰又与夏志宏合作给出了这一连接引理的证明。

国际上有一个叫做“Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity”系列动力系统会议，是由巴西、美国与法国的数学家在2003—2004年倡导发起的，大概从2007—2008年开始增加了中国。此后这个会议一直由这4个国家轮流组织。这说明中国的动力系统在国际上是有地位的，也证明廖先生给我们留下的遗产确实是丰厚的。

王：听了您的讲解，我们对微分动力系统这门学科的发展，特别是廖山涛先生对微分动力系统的贡献有了一个初步的认识。非常感谢您接受我们的采访，祝您生活愉快！

致谢 本文在整理过程中得到了南方科技大学郑如松博士、厦门大学王昕晟博士的帮助。完稿后文兰院士进行了审阅修订，河北师范大学邓明立教授给予了支持鼓励，特此致谢。

参考文献

[1] Palis J. Opening ceremony[A]. Li D Q. Proceedings of the international congress of mathematicicians（2002 Beijing）： vol 1[C]. Higher Education Press， 2002. 14.

[2] 廖山涛. 思考[A]. 北京大学中国名人丛书编委会编. 苦涩的梦[C]. 长春： 北方妇女儿童出版社， 1990. 47—51.

[3] Peixoto M.. Structural stability on two-dimensional manifolds[J]. Topology， 1962， 1（2）： 101—120.

[4] Peixoto M.. On structural stability[J]. Annals of Mathematics， 1959， 69（1）： 199—222.

[5] Smale S.. Morse inequalities for a dynamical system[J]. Bulletin of The American Mathematical Society， 1960， 66（1）： 43—49.

[6] Smale S.. On how I got started in dynamical systems[A]. Smale S. The Mathematics of Time[C]. New Yrok： Springer， 1980. 147—151.

[7] 文兰. 微分动力系统[M]. 北京： 高等教育出版社， 2015. 1—3.

[8] 董镇喜， 文兰， 孙文祥. 廖山涛论微分动力系统[M]. 济南： 山东教育出版社， 2000. 444—445.

[9] Shub M.. Global Stability of Dynamical Systems[M]. New York： Berlin-Heidelberg， 1987. 114.

[10] Liao S T.. On the stability conjecture[J]. Chinese Annals of Mathematics， 1980， 1（1）： 9—30.

[11] 廖山涛. 关于结构稳定的特征性质[J]. 应用数学和力学， 1984， 5（6）： 771—775.

[12] 廖山涛. 阻碍集（Ⅱ）[J]. 北京大学学报（自然科学版）， 1981， 17（2）： 1—36.

[13] 廖山涛. 微分动力系统的定性理论[M]. 北京： 科学出版社， 1992. 368.

[14] Gan S B， Wen L.. Nonsingular star flows satisfy Axiom A and the no-cycle condition[J]. Inventiones Mathematicae， 2006， 164（2）： 279—315.