数学问题链教学的内涵与特征

唐恒钧 张维忠

【主持人语】 新课改背景下的数学教学有两个重要的理念：一是突出学生的主体地位，帮助学生通过数学探究完成数学的“再发现”;二是让学生经历数学学习的完整过程，积累数学活动经验，领悟数学思维方法，培养数学核心素养。数学问题链教学基于这两个理念，深化与拓展问题式学习，强调利用主干问题及其关系驱动学生的数学探究，体现数学思维的脉络。本期《独家策划》栏目的4篇文章，分享的是数学问题链教学的理论性研究和实践性探索——解析内涵与特征，探索概念教学、命题教学中的问题链设计，尝试在问题链教学中引导学生体验数学美，以期为教师认识和实施数学问题链教学提供参考。

——张维忠

摘要：问题链教学是对问题式学习的聚焦式深化，也是对问题式学习的内涵式拓展。数学问题链教学具体包括以下内涵：问题链是由主干问题组成的;问题链是有序的;问题链的预设是多重的（弹性的）;预设的问题是在师生交互下呈现的;问题链教学倡导利用主干问题及其关系驱动学生冷静思考、充分表达，体现思维脉络。数学问题链教学表现出目标指向的综合性与高阶性、问题设置的真实性与适切性、问题使用的灵活性与深刻性、学习评价的伴随性等基本特征。

关键词：数学教学;问题链;问题驱动;思维脉络

问题是数学的心脏，同时也是数学教与学的心脏。如何利用问题驱动学生的数学学习成为数学教学的一个热点话题。数学问题链教学作为利用问题驱动数学学习的一种具体形式，已有较多研究。但是，实践中教师对数学问题链教学的内涵与特征还存在一些误解。因此，我们对此做出进一步的廓清。

一、从“问题式学习”到“问题链教学”

问题链教学与问题式学习有着紧密的关联，是对问题式学习的进一步聚焦式深化，也是对问题式学习的进一步内涵式拓展。

从文献来看，目前对问题式学习的认识包含了一些本质属性。首先，问题式学习的目的不仅仅是使学生拥有知识基础，更要发展学生解决问题的能力和批判性思维等高阶思维能力以及终身学习、自主学习的意识与能力。其次，问题式学习以问题为载体，让学生置于现实问题情境中，经历问题解决的全过程。最后，问题式学习以个人独立与小组合作学习为途径，使学生投入问题的研究中，并在这个过程中产生学习议题，开展自主学习，解决问题、建构新知。

基于此，问题式学习主要具备以下特征：一是在学习假设上，强调让学生在面对问题时展开主体性思考，根据问题确立学习议题并展开学习，在解决问题的过程中建构知识;二是在学习目标上，不仅强调对经典文化知识的传承，更强调发展高层次思维能力、自主学习能力以及合作交流能力;三是在学习载体上，强调为学生提供具有现实意义的、体现跨单元性甚至跨学科性的综合性问题和非良构性问题;四是在学习过程中，强调问题驱动性、自主性、探究性与合作性。

受到数学学科特点以及我国以学科课程为主的课程组织形态等方面的影响，问题式学习在数学教学中也面临一些困难，需要做出适切的改变，尤其是在以下三个方面。

首先，数学学科以逻辑严谨、结构清晰等特点著称，数学结构所体现的数学对象间的内在关联反映了數学学科的基本思维方法，而问题式学习则着眼于利用实际问题组织教学，将学科知识隐含于问题解决过程中。要想处理好数学学科知识的系统性与问题式学习中利用实际问题组织教学而带来的随机性之间的矛盾，就需要在数学教学中设计体现数学思维脉络的问题，让学生有机会借助逻辑思考建构起知识体系。

其次，数学发展在很大程度上是由问题驱动的，但是并非总是由综合性、非良构性问题引发的。具体地，一些数学知识是在对相近问题的类比推理或者对具体问题的归纳推理中形成的。比如，将二维空间中的几何问题类比推广到三维空间中的几何问题;通过对一堆多边形的分类，归纳抽象出某种几何对象的本质属性，进而形成概念。因此，数学学习中的问题不一定局限于综合性、非良构性问题。

最后，有学者对问题式学习和问题解决学习中的问题功能进行分析后指出，前者是知识发生性问题，而后者是知识延伸性问题，但是在数学学科中，这两者间的界限并不是十分清晰的。具体而言，数学研究往往是通过解决问题建构新的知识，因此表现出知识发生性特点，但是问题解决的过程又是对已有知识应用的过程，因此又表现出知识延伸性特点。比如，数学家通过解决“圆的一周有多长”这一问题建构了圆的周长公式，产生了新的知识;同时又在解决这一问题的过程中应用了极限思想、化归方法以及多边形周长概念和计算公式等已有策略（程序性知识）与知识（陈述性知识），从而表现出对已有知识的应用。

数学问题链教学正是在上述思考的基础上提出的。也正是从这个角度看，数学问题链教学既是对问题式学习的聚焦式深化，即进一步聚焦问题间的关系以及思维脉络;又是对问题式学习的内涵式拓展，即重新认识良构性问题、延伸性问题在教学中的价值。

二、数学问题链教学的内涵

王后雄认为，问题链是教师根据教学目标和学习情况，将教材知识转化为具有层次性和系统性的一组教学问题序列。王先进认为，问题串（与“问题链”相近的一个概念）是围绕同一主题且具备明确目标指向的问题系列，其中的每个问题围绕目标承担各自的功能，是思维链条的路标和思维方向的指引。黄光荣认为，数学问题链是数学知识结构的表现形式，是对数学问题不断深化、推广，逐次引申、综合所形成的具有内在联系的若干问题，兼具收敛性和发散性的数学思想方法。殷堰工认为，数学问题链是数学教学中围绕某一问题进行渐进式、全方位的设问而形成的一连串问题，具有指向明确、思路清晰、内在逻辑性强等特点。可见，对数学问题链内涵的认识有一些基本共识：问题链是由多个问题所组成的;问题链中的问题是有联系的，而非散乱的;教学目标、学科思维以及学生认知是确立问题链的三大基点。

我们认为，数学问题链是教师在课外预设并在课上以多种方式呈现给学生的、有序的主干数学问题序列，既为学生提供了数学学习的骨架，又为学生发展高阶思维提供了可能性。数学问题链教学则是利用问题链中的问题驱动学生深入思考、建构知识，在解决问题的过程中积累数学活动经验并体验数学的基本思维方法，在具体教学中倡导给学生“冷静思考的时间”和“充分表达的机会”。具体包括以下内涵：

第一，问题链是由主干问题组成的，即问题链中的问题是反映数学知识发生、发展以及问题解决过程的处于核心地位的关键问题。比如，面对“运动员在10米跳台上跳水，请根据起跳时间与离水面的高度之间的函数关系图，判断运动员在不同时刻高度变化的快慢”这一情境任务，可以设计如下问题：（1）如何刻画高度变化的快慢情况？（2）以两个具体的时间段0≤t≤0.3，0≤t≤0.5为例，怎样比较两个时间段高度变化的快慢？这里，问题（1）将情境任务转化为需要探究的关键问题，既为问题解决提供方向，又为学生思考提供空间，因此可以作为问题链中的主干问题;而问题（2）则将情境任务转变为非常具体的问题，直接让学生去比较两个时间段的高度变化率，这就把学习重心转向求解，而非探索问题解决的思路，因此不能作为问题链中的主干问题。当然，在教学中，可以根据学生的情况对设计的问题链做适当的调整，在主干问题的基础上增加辅助问题（子问题）。比如，上面的问题（2）即可作为问题（1）的辅助问题。

教育研究与评论中学教育教学/2021年第1期独家策划第二，问题链是有序的，即问题与问题之间是有关联的、整体性的，而非散乱的、碎片化的。数学问题链教学试图为学生提供数学思考的基本脉络，使学生有机会模拟数学家的思考过程。因此，这里的“序”以体现基本数学思维为目的。

第三，问题链是在课外预设的，但并非线性的。预设性是学校教育的典型特征，因此主要用于课堂教学的问题链也是在课外预设的。但为了给学生提供多维思考的空间，教师的预设往往是多重的（弹性的）。比如，高中阶段用类比思想研究等比数列时，可以提出一个问题：“等差数列是一个特殊的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数。类似地，你还能找到哪些特殊的数列？”面对这个问题，学生除了提出等比数列之外，还很可能提出等和数列、等积数列。因此，在预设问题链时需要思考，如果学生提出等和数列、等积数列，该如何设置后续的问题。所以，问题链在预设时，不能是完全线性的，而应尽可能地对有价值的思考方向及其问题做出预设。

第四，预设的问题是在师生交互下呈现的。这是指，在課堂中，问题链中的问题并不是原封不动地由教师逐个呈现给学生的，其呈现顺序、呈现跨度、呈现方式甚至呈现内容等都会因实际情况而做出调整。

第五，问题链教学倡导利用主干问题及其关系驱动学生冷静思考、充分表达，体现思维脉络。在课堂上如何设置数学问题以及如何利用数学问题推进教学过程，是数学教学需要研究的问题。师生问答是当前数学课堂中常见的教学行为。但需要注意的是，并不是课堂上有了数学问题或用了问答的教学方式，就能称为问题链教学。首先，问题链教学强调通过“问题”为学生提供数学思考的载体。数学学习需要沉思与体悟，缺乏冷静的独立思考的数学学习是浅层次的。当然，学生思考的结果往往是内隐的，有时甚至是混沌的，而表达是学生将思考所得、所悟外显的过程，也是进一步梳理思维的过程。能够引发学生思考并且需要学生表达的数学问题往往不是一目了然的，而是具有一定深度和启发性的。因此，问题链教学倡导的并不是小步子的师生问答，而是利用“大问题”驱动学生的冷静思考、充分表达。其次，问题链教学试图通过“链”为学生提供数学思考的脉络，在脉络化的思考中体验并学会基本的数学思维框架与思维方法。因此，问题链教学倡导的并不是简单地设置多个问题，而是通过多个问题体现出一定的思维脉络。

三、数学问题链教学的基本特征

（一）目标指向的综合性与高阶性

数学问题链教学不仅关注基础知识与基本技能的掌握，更关注数学知识结构的深度理解、数学基本思想方法的领悟、数学基本活动经验的积累，由此形成用数学眼光看待世界、用数学思维思考世界、用数学语言描述世界的数学核心素养。也有研究将这样具有丰富性、综合性与高阶性的目标概括为学会“像数学家一样思考问题”。我们认为，“像数学家一样思考问题”的教育意蕴不在于数学知识的精深程度，而在于对数学知识的深刻理解以及数学家思考问题时的角度、方法、思维品质及其背后的精神两大方面。

一方面，对数学知识的深刻理解反映到数学学习中，即要求学生对数学知识的理解不是“掐头去尾留中段”的，而是知道数学知识的来龙去脉、明白数学的源与流。只有这样理解知识，才能学到“活”的知识，掌握可以应用的知识，也才能认识到一个个知识是数学发展过程中的一个个节点，认识到知识与知识之间是有内在的发展脉络的。所以，数学知识理解的过程是学生创生意义的过程，而理解的结果则是学生创生的意义。

另一方面，正如米山国蔵所指出的，应将应用化、扩张化与一般化、组织化与系统化、研究与发明、统一建设以及严密化等六方面的数学精神，以及由精神产生的数学基本思想和为实现思想形成的数学基本方法，铭刻于学生头脑中，并使之活跃于学生的日常业务中，这才是“真正教育的旨趣”。

（二）问题设置的真实性与适切性

在问题链教学中，问题是核心要素，启动了学生的学习;而问题与问题之间形成的链是一种思维链，为学生的数学思考提供了基本的脉络。因此，问题链中的问题设置是否合理成为问题链教学是否有效的关键因素。从问题链教学的目标来看，一个好的问题至少需要具备真实性与适切性两个方面的特征。

问题的真实性表现在情境的真实性上。当然，情境真实性的表现是多方面的，既是指情境本身来自真实世界，也是指情境反映了数学发展过程中的真实脉络。数学教学尤其需要关注后者的价值。因为，随着数学的发展，其抽象性越来越强，构造性越发明显，与现实世界的联系也变得更加疏远，这体现了数学的本质特征在于充分的思考自由。比如，虚数尽管在当今有着广泛的应用，但在最初是为了解决有些方程无实数根的问题而构造出来的。在教学虚数时，也可以创设类似的情境，让学生模拟数学发展的过程。这样的数学发展脉络，尽管并非来自现实世界，但对于数学本身的发展来说就是真实的。

问题的真实性还表现在情境的相关性上。一方面，问题源于情境，即问题是在情境中自然产生的，而非人为植入的。另一方面，问题解决需要借助情境信息。比如：“某病人第一天服5滴药，以后每天增加5滴;当剂量达到一天40滴时，坚持3天;然后每天减少5滴，最后一天服5滴药。如果每瓶药20 mL，也就是200滴，那么该病人应该买几瓶药？”

问题的适切性是指，问题适合学生的思维水平，能驱动学生的思考。这一方面要求问题能让学生“够得着”，使数学思考可展开。问题链教学试图让学生像数学家一样思考数学问题，但并非让学生思考数学家思考的问题，而需要做教育的转化，使之适合学生的思维水平。另一方面则要求主干问题之间有思维跨度，使学生有自主思考的空间。因此，问题链教学需要教师根据学生的学习情况预测学生的“最近发展区”，据此设计主干问题。也正因为此，一节课的主干问题不宜过多，辅助问题的设置更不能过于琐碎，否则会压缩学生思考的空间。

问题的适切性还指，问题适切于引领学生感悟基本的数学思维方法。“数学教学的本质是数学思维活动的教学……从学生的思维出发，引导学生积极地思考，让学生沉浸其中，体验过程，享受数学思考的乐趣，到达对数学内容的深刻理解。”因此，问题链教学需要通过问题之间的关系反映基本的数学思维方法，让学生在一个个有序的问题解决过程中感受基本的数学思维方法，学会用它提出新的问题。

（三）问题使用的灵活性与深刻性

在问题链教学中，问题使用表现出灵活性与深刻性两个特征。

问题使用的灵活性具体表现在问题呈现的内容、方式以及顺序等方面。问题设计时，教师会尽可能地利用基本的数学思维方法对原有问题进行延伸、拓展，并根据教育价值尤其是教学目标做出选择。而问题使用中，则应让学生在一个问题研究的基礎上，利用基本的数学思维方法提出新的问题，从而使学生有机会经历数学问题的延伸与拓展过程。也正因为此，教师设计的问题链与学生课堂上的真实反应常会出现差异。比如，预设问题的顺序及其体现的思维与课堂的真实情况不相符，预设问题的挑战程度与学生的认知水平不匹配等。这就需要对问题内容、方式以及顺序等做出灵活的调整。其实，这与问题链的预设强调多重性的思路是一致的。

问题使用的深刻性是指，问题要被充分使用，要给学生提供深入思考的时间与空间。一方面，要为每个问题的思考留出足够的时间，引发学生的深层思维;另一方面，要为学生的思考提供充分交流的机会，使其对问题的探索更为全面。

（四）学习评价的伴随性

在问题链教学中，教学从问题开始，由问题推动，以问题结束。也正因为此，问题链教学打破了数学例题与习题的严格界限。在问题的解决中，应用旧知拓展建构新知;又在问题的进一步拓展中，应用新知。而在不断提出问题、解决问题的过程中，又不断评估着学生的学习状况。因此，学习评价的伴随性是数学问题链教学的另一特征。

总之，数学问题链教学作为一种教学模式，其目标取向和过程认识等都为数学核心素养的培养提供了路径。未来还需围绕数学核心素养培养这一新要求，在理论与实践两个层面做出进一步的探索。

*本文系全国教育科学规划课题教育部重点课题“指向深度理解的‘问题链教学研究”（编号：DHA200318）的阶段性研究成果。

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