重构混凝土导热系数的反问题

杨 涛, 温鑫亮, 刘翻丽

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

水泥发生水化反应后,释放出的热量对混凝土的使用年限产生了很大的影响,并且这一问题越来越引起研究者的关注[1].混凝土的导热系数较小,发生化学反应之后,内部产生的热量不能迅速扩散,导致其内部和外部产生了较大的温度差,在受限制的条件下极易出现裂纹,对混凝土结构的耐久性产生了非常大的影响.

近年来,实际工程对混凝土的强度、耐久性与体积稳定性有较高的要求,使得大体积混凝土和低水胶比配制的混凝土的使用率逐年升高,但是混凝土导热性能不佳,发生水化反应时,其内部热量不断积聚，温度不断升高,导致混凝土结构中胶凝材料产生的水化热也更多,因此出现了很多温度裂缝.温度裂缝的产生,使工程技术人员越来越关注早期混凝土的热学和力学性质,以便能够进一步预测混凝土结构的温度场、应力场和温度裂缝.大体积混凝土开裂的重要原因之一[2—3]是温度应力,而混凝土的温度控制的一个重要因素是绝热温升[4].此外，在确定混凝土结构早期温度场的计算中,绝热温升是混凝土的重要物理指标[5—8].在此过程中,导热系数是一个非常关键的因素.

研究发现,对混凝土导热系数影响最大的是骨料类型、孔隙率、干湿条件[9—13].而文献[13]最早对混凝土热学参数(包括导热系数)进行了研究,并且给出了一种计算混凝土导热系数和比热的方法.但是,这些方法基本上都是以经验作为依据的.本文研究一类在给定条件下确定反应扩散方程中扩散系数的反问题,其中未知系数通常称为扩散系数,用于描述传热过程中的导热系数.该问题出现在各种物理和工程环境中,如混凝土水化反应.从观测资料中识别未知系数的反问题出现在许多领域,包括热传导、扩散、油藏模拟.目前,国内外学者对混凝土中温度场的计算和绝热温升试验的研究成果比较多.例如文献[14]根据工程实测温度反演混凝土的绝热温升,并且提出一套精度较好又比较实用的计算公式.混凝土绝热温升表示为

类似地,文献[15] 采用有限差分方法,建立了基于混凝土绝热温升试验的早龄期混凝土温度场计算模型,在一维传热条件下(设传热方向为x轴方向)混凝土板的热传导方程可表达为

混凝土内部温度分布问题就是对上述方程的求解问题.文献[4,16]也对这类问题进行了研究,得到了相关的结果.文献[17]给出了一种早龄期混凝土路面板非线性温度场下温度应力的计算方法,其中将路面板厚度方向的非线性温度分成平均温度、线性温度和非线性温度3个分项,分别计算每一分项温度引起的应力,最终总应力为3部分应力的叠加.

以往的研究中,人们常常将混凝土的导热系数定为常数.由于现代混凝土的水泥用量、外加剂(如大剂量粉煤灰和磨碎的颗粒渣等)、骨料尺寸(尺寸和破碎指数)和施工工艺(大流动性等)等与以前的混凝土有较大差异,这必然导致混凝土的热力学性能不同于以往的混凝土.故先前的关于导热系数为常数的假设具有很大的局限性.因此,有必要对基于现代技术的混凝土导热系数进行研究.本文主要考虑如下问题.

问题P考虑二阶非线性热传导方程的反演系数问题：

(1)

这里φ和f是2个给定光滑函数,a(x)是一个未知的导热系数,a(x)≥a0>0.

给定附加条件:

(u|t=T=g(x),x∈[0,l],

其中g是一个已知的函数,它满足齐次Dirichlet边界条件.我们需要据此同时确定未知函数对(u,a).

1 控制问题

在反问题P中,假设函数f∈C2[0,Φ],并且f满足Lipschitz条件:∃L>0,|f(u1)-f(u2)|≤L|u1-u2|,以及f(0)=0,|f′|,|f″|≤M.对于一般输入数据g(x),反问题P可能没有解,我们转而考虑以下最优控制问:

(2)

这里

(3)

(4)

α,β是2个给定的正常数,H1通常是Sobolev空间(见文献[1]),其范数定义为

u(x,t;a)是方程(1)对应于给定系数a(x)∈A的解,N是正则化参数.

假设终端观测数据g(x)满足条件

g(x)∈L2(0,l).

(5)

因此,正问题是由已知的系数a(x)确定方程(1)的解u(x,t),这在Hadamard意义上是适定的,我们对u(x,t)有以下估计.

引理1令u(x,t)为方程(1)的解,a(x)∈Α是给定函数,对于u(x,t)有以下估计

其中C为一个常数.

证明由方程(1)可得

通过积分可得

因此,由Gronwall不等式可得

引理1证完.

由引理1的证明过程易知将常数统一为C.

由(5)式和引理1可知控制泛函(3)对任意a(x)∈A是有意义的.

定理1的证明是标准的,此处略.

2 必要条件

定理2若a是最优控制问题(2)的解,则存在一个三元函数组(u,v;a)满足下列系统

(6)

(7)

且

(8)

证明对于任意h∈A,0≤δ≤1,令aδ≡(1-δ)a+δh∈A,则

(9)

令uδ是方程(1)的解,其中a=aδ,则有

(10)

(11)

(12)

由(10)式可得

(13)

记Lξ=ξt-(aξx)x-ξf′(u),令v是下列问题的解：

(14)

其中算子L*是L的共轭算子.于是利用Green公式和分部积分易得

(15)

由(13)式和(15)式可得

定理2证完.

3 局部唯一性和稳定性

假设观察终端数据g(x)满足条件

g(x)∈H1(0,l).

(16)

一般地,当最优化问题中控制泛函非凸的时候,很难得到它的全局唯一解,这给数值模拟也增加了难度.如果T足够小,那么可以证明控制问题(2)的解具有局部唯一性.如无特殊说明,以下C表示与参数T和N无关的不同常数.

引理2由(7)式可得如下估计:

(17)

由(16)式可知{u,v}是对系统(6)～(7)进一步估计的解.

引理3对方程(6) 有下列估计:

(18)

引理4对方程(7)中有以下估计：

(19)

引理2至引理4的证明与引理1的证明类似,此处略,其中引理2至引理4中的C与引理1中所得过程类似.

令a1(x)是问题P1对应的g1(x)的极小值,a2(x)是问题P1对应的g2(x)的极小值,且{ui,vi}(i=1,2)分别是系统(6)～(7)的解,这里a=ai(i=1,2).

令u1-u2=U,v1-v2=V,a1-a2=A，并且U和V满足

(20)

(21)

引理5对于有界连续函数g(x)∈C[0,l],有

引理5的证明是标准的.

引理6对方程(20),有以下估计:

(22)

证明

(f(u1)-f(u2)=

f′(u2+θ(u1-u2))(u1-u2)=

f′(u2+θU)U, 0≤θ≤1.

(23)

由方程(20)可得

分部积分可得

由(23)式可得

因此,由Gronwall不等式和(4)式可得

引理6证完.

引理7对方程(7),由极值原理得到

引理7的证明是标准的.

引理8对方程(21),有以下估计:

(24)

证明对(21)式,有

通过积分获得

因此,

使用估计(22)可得

由f满足条件可知

|f′(u1)-f′(u2)|=

|f″(u2+θ(u1-u2))(u1-u2)|≤

M|u1-u2|.

(25)

由(25)式得

根据(4)式且已知f是光滑函数,可得

因此,由引理7和Cauchy不等式得

由Gronwall不等式可得

引理8证完.

定理3令a1(x),a2(x)是与g1(x),g2(x)分别对应的最优控制问题P1的最小值,这里T≪1,C是不依赖T和N的常数,则有下列估计

证明在(8)式中,当a=a1时h=a2,当a=a2时h=a1,则有

(26)

(27)

这里{ui,vi}(i=1,2)是系统(6)～(7)的解,对应a=ai(i=1,2).由(26)～(27)式可得

(28)

由引理5可得

(29)

由(28)～(29)式及Cauchy不等式,可得

(30)

由(16)式、引理4和引理5,可得

(31)

由(30)～(31)式可得

(32)

选择T≪1,则

(33)

结合(32)～(33)式易得

(34)

定理3证完.

注1极值的唯一性是估计(34)的直接推论.应当指出,在不适定问题的数值模拟中,正则化参数N扮演着一个非常重要的角色.

注2需特别注意(32)式中的所有常数C均与T无关,这一点从引理6,引理8的证明过程中容易看出.因而,仍总是可以选择T适当小,使得(33)式成立.要求T≪1只是方便证明的需要,在实际问题中对T的限制可大大放宽.