离子扩散演示仪

林高远，黄 磊，高诗婕，王君杰，黄涵之，李朝阳

(杭州师范大学 物理系，浙江 杭州 311121)

溶液离子扩散是溶液的基本性质，是因微粒的热运动而产生的物质迁移现象. 离子的浓度差是引起离子扩散的重要原因，研究浓度差引起的离子扩散，一直是物理、化工、生物和地质等领域的研究热点. 在建筑领域，Cl—的扩散系数是反映混凝土Cl—侵蚀的重要参量之一[1]. Haluszczak等研究发现，页岩储层中盐离子的扩散是引起返排液的矿化度升高的重要原因[2]. 在教学上，常用电解液的导电性能来演示离子的扩散[3-4]. 但该方法功能单一，且不能连续反映离子的扩散位置. 在定量衡量扩散快慢方面，G. Sese等在室温下测得质量分数20%NaCl溶液在清水中的扩散系数为1.22×10-9m2/s[5]，顾江华等测得的扩散系数为0.932×10-9m2/s[6]，二者相差较大. 本文利用激光在梯度溶液中弯曲传播的特性，设计了离子扩散演示仪，可以模拟演示海市蜃楼现象，反映离子的扩散快慢，并测量离子的扩散系数.

1 实验仪器与原理

1.1 实验仪器

离子扩散演示仪实物图如图1所示，由水槽(长50.40 cm，宽21.85 cm，高60.00 cm)、激光光源、硅光电池、万用表和丝杆等组成. 激光光源和硅光电池保持在同一水平线上，并固定在同一支架两侧. 通过旋转仪器背后的升降调节旋钮，可以实现激光光源和硅光电池的同步升降.

图1 离子扩散演示仪

1.2 梯度溶液的配制

在水槽内加入1/3容积的清水约20 kg和3 kg NaCl，搅拌均匀使其充分溶解，得到质量分数为13%的NaCl溶液. 在溶液上方铺1层保鲜膜，通过虹吸的方法在保鲜膜上缓慢地注入清水至2/3容积. 保鲜膜将NaCl溶液与清水隔离，虹吸法注水可以避免清水扰动NaCl溶液. 完成注水后，将上浮至水面的保鲜膜缓慢抽出. 此时，清水层和NaCl溶液之间可观察到明显的分界线. 让溶液静置一段时间，下层的离子向上层清水扩散，会形成如图2所示的溶液结构. 最底层是原有的NaCl均匀溶液，中间是因为离子向上扩散形成的、自下而上质量分数不断减小的梯度溶液，最上面是离子未扩散到的清水层.

图2 光在梯度溶液中的弯曲传播

光在均匀介质中沿直线传播，若遇到其他介质，会发生折射. 图2中，梯度溶液的折射率与NaCl溶液的质量分数有简单的线性关系[6]，自下而上折射率不断减小，光在梯度溶液中将连续折射而弯曲传播. 假设光从左侧A处水平射进梯度溶液，弯曲传播后到达右侧B处. 根据光路可逆原理，位于B处的物体发出的光通过梯度溶液后将到达A处. 人总是认为光线沿直线传播，当人眼从A处观察，就会在B的上方，与A同高度的C处观察到B处物体的虚像. 这与海面或沙漠上空因大气密度不均匀产生的海市蜃楼原理一致[7].

1.3 梯度溶液上表面的确定

在图1中，旋转丝杆让激光光源和硅光电池由上向下同步移动. 光源上限制激光出射的小孔直径为2 mm，通过水槽后出射光斑的最大线度约为6 mm，硅光电池上限制激光入射的小孔直径为2 mm. 在清水层，激光直线传播，射出水槽后将照射在右侧的硅光电池上，与硅光电池连接的微安表将检测到光电流. 当激光光源和硅光电池下降至梯度溶液上表面时，光线弯曲传播. 因为水槽较长，只要激光产生轻微偏折，光斑就将远离硅光电池的入射孔，微安表上电流读数降为零. 根据此原理，可确定梯度溶液上表面的位置.

由于存在浓度差，离子会不断向上扩散，梯度溶液的上表面会不断上升. 因此，测量梯度溶液上表面的上升速率，可间接反映离子扩散的快慢.

1.4 测量NaCl溶液的扩散系数

如图3所示，在配制好NaCl和清水的双层溶液后，以分界线左侧为原点，竖直向下为y轴正向，水平向右为x轴正向建立直角坐标系. 当激光从分界线附近水平入射时，在梯度溶液中弯曲传播，从容器出射后将照射在光屏上. 因分界线附近浓度差最大，光斑在光屏上有最大的偏折距离ymax. 随着离子的扩散，溶液将趋于均匀，最后光线将在均匀的NaCl溶液中直线传播，最大偏折距离ymax将趋向于0.

图3 扩散系数测量原理

假设清水折射率为n1，NaCl溶液浓度为c，初始折射率为n2，容器宽度为a，容器右侧到光屏的距离为b，则根据菲克第二定律可得

(1)

式中D为离子的扩散系数. 因NaCl浓度与折射率n存在线性关系，(1)式又可表示为

(2)

初始时刻t=0时，在y<0处有n=n1，在y>0处有n=n2，解此方程可得

(3)

因此，折射率在竖直方向上的梯度为

(4)

特别地，当y趋向于0时，折射率梯度有最大值

(5)

如果用L表示激光束在梯度溶液中的光程，s表示几何路径，则

不同类型的尾矿在粒度组成、力学强度、耐磨性、堆存稳定性和辐射强度等物理性质差别大，同时其有价矿物(元素)含量、有害矿物(元素)含量和利用技术条件等诸多方面，也存在较大差异。应该科学地对尾矿进行合理的分类分级，为尾矿利用、保护或者处置提供依据。现阶段，还没有与尾矿分级分类相对应的标准。由于采选冶技术进步，早期未综合利用的尾矿可能具备再选的价值，而对于现阶段产生的有价矿物(元素)含量低于入选原矿品位的尾矿，在未来也可能成为一种资源。我们应该对此制定相关的标准予以考虑。

式中

根据费马原理可得

(6)

所以拉格朗日函数为

(7)

根据哈密顿原理有

(8)

得到拉格朗日方程

(9)

由拉格朗日函数可得

(10)

(11)

将(10)和(11)式代入(9)式并化简得

(12)

对于近轴光线有ds≈dx，所以(12)式可近似为

(13)

即

(14)

(15)

对偏折角θ求积分得

(16)

(17)

2 实验结果

配制好双层溶液静置约10 min，即可在分界线附近同时看到物体(塑料盖子)通过梯度溶液折射形成的海市蜃楼虚像(上方)、物体通过NaCl均匀溶液后形成的实像(下方)，如图4所示. 用激光水平照射梯度溶液，可看到光线在梯度溶液中是弯曲的.

图4 模拟海市蜃楼成像

激光穿过清水层进入硅光电池后产生的光电流约200 μA. 通过丝杆同步下降激光光源和硅光电池，当光电流骤降至0时，定义此时激光光源的位置为梯度溶液的上表面. 每隔3 min测1次梯度溶液上表面的位置，其上升高度h与时间t的关系如图5所示. 在溶液配制好的初始阶段，曲线较陡，说明梯度溶液上表面上升速率较大，离子扩散快. 此后，溶液的浓度差变小，离子扩散趋缓，曲线斜率逐渐变小.

图5 梯度溶液上升高度随时间的变化

图随时间t的变化

3 结束语

本文制作了离子扩散演示仪，配制梯度溶液，可以演示海市蜃楼现象，间接演示离子的扩散运动. 仪器还可以测量梯度溶液上表面的上升速率，测量离子的扩散系数. 仪器结构简单，制作成本低，实验原理涉及光的折射、光电转换、菲克定律和费马原理等，可根据学生层次和教学需要开设不同难度的实验.