函数知识再建构思想方法再提炼

文 浦叙德（特级教师）

专题复习：函数

领 衔 人：浦叙德（特级教师）

组稿团队：江苏省无锡市新吴区教师发展中心

数学学习是一个循序渐进、不断提高的过程。在新授课学习时，我们学到的是散点状的一个一个知识点；在单元课学习时，我们学到的是联线状的一条一条知识线；在中考复习课学习时，我们需要达成的是块面状的一个一个知识结构。只有这样，我们才能对整个数学知识和核心方法从最初的了解，到中间的理解，到最后的见解。所以，在进行函数板块复习时，我们非常有必要对函数知识进行再建构，对所含思想方法进行再提炼。

一、函数知识再建构

1.函数与其他知识的关联。

初中数学课程内容分“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分，其中“数与代数”又分成“数、式、方程、不等式、函数”五个板块。从中可以看出，“函数”是初中代数的最后一个板块，也是初中代数最综合、最精华、最核心的内容。它与前面四块内容之间的知识结构如下。

2.函数同类单元知识的关联。

就函数板块而言，初中代数首先学习了一般函数的相关知识，在此基础上分别学习了特殊的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数。从学习内容的先后呈现方式可以看出，每一类函数都是按照“定义（含自变量取值范围、函数值）、图像、性质、运用和应用函数知识解决数学问题和实际问题”展开，所以，我们可以把所有的函数知识看成是一个同类单元，所有这些函数之间的知识结构如下。

二、思想方法再提炼

1.数形结合思想。

初中代数有两个重要的数形结合的代表性工具：一是数轴，借助数轴，任何一个实数都可以在数轴上找到一个对应的点，反之，数轴上任何一个点都对应着一个实数，这样就形成了一个实数与数轴上一个点之间一一对应的关系；二是平面直角坐标系，借助坐标系，平面内任何一个点都对应着一组有序实数对，反之，任何一组实数对都可以在坐标系内找到唯一的一个对应点，这样就形成了一对有序实数与平面内一个点之间一一对应的关系。函数知识的学习和研究正是把坐标系作为工具来展开的。所以，需要特别提醒同学们的是，当我们研究函数的问题时，如果题目没有提供函数图像，最好能够先画出函数的图像，哪怕是基本符合条件的草图，这样有助于我们借助图像的直观，找出一些隐含在图像内的数学信息，进而易于分析和解决问题；如果题目已经给出了图像，建议同学们把已知条件和能够从图像上获得的所有信息先找出来，再去考虑解决问题的路径和方法。

2.方程（不等式）思想。

在上面的知识结构中，我们已经介绍了方程、不等式、函数之间的关系，这里重点从思想方法的角度再给同学们展开。方程和不等式表示的是数量关系中的相等和不等，函数表示的是从变化的角度研究两个量x、y之间的关系。任何一个函数，当自变量x确定时，可以求出函数值y，这时相当于求代数式的值；反之，当函数值y确定时，原来的两个变量x、y只剩下一个x，这时，函数实际上变成了关于x的方程，当函数值y为某一个确定的范围，原来的两个变量x、y也只剩下一个x，这时，函数实际上变成了关于x的不等式。从函数图像上看，如果y=0，也就是函数图像与x轴的交点，此时对应的x的值就是函数对应的方程的解；如果y＞0，也就是函数图像与x轴交点的上方部分，此时对应的x的值就是函数对应的不等式的解集；如果y＜0，也就是函数图像与x轴交点的下方部分，此时对应的x的值就是函数对应的不等式的解集。

3.函数思想。

我们先从几个点来认识函数思想。点P（3，4）认识吗？显然点P是第一象限内一个确定的点。点Q（3，0）认识吗？显然点Q是在x轴正半轴上的一个确定的点。点R（0，4）认识吗？显然点R是y轴正半轴上的一个确定的点。点M（a，0）认识吗？由于a的变化，所以，只能知道点M是x轴上的一个动点，不能真正确定。点N（0，b）认识吗？由于b的变化，所以，只能知道点N是y轴上的一个动点，不能真正确定。点（a，4）和点（3，b）认识吗？其分别是直线y=4和直线x=3上的点。点A（x，y）认识吗？显然点A应该是坐标平面内一个动点，它可以在平面内任何位置，如果x与y之间有一种特定关系，那么x变，y也变，x确定，y也确定，这时x与y之间就构成了函数。所以，研究坐标平面内的动点问题，我们可以假设这个点的坐标为（x，y），再研究出x与y之间的关系，这就是函数思想的体现。如点B在二次函数y=3x2+5x-2的图像上，我们可以假设点B的坐标为（x，3x2+5x-2）。

4.函数建模思想。

学以致用是数学知识的价值体现之一。学习了每一类方程之后，我们最后学的是用方程解决问题；学习了每一类不等式之后，我们最后学的是用不等式解决问题；学习了每一类函数之后，我们最后学的是用函数解决问题。在数学上，我们分别把用方程解决问题、用不等式解决问题和用函数解决问题称为方程建模、不等式建模和函数建模。解决问题的路径是完全一致的，都是先把实际问题变成数学问题（方程、不等式、函数），然后求解数学问题得到数学的解，再把数学的解代入验证是否符合实际，从而得到实际问题的解。

数学学习是一个厚积薄发、举一返三的过程。尤其是中考复习的时候，我们应抓住核心知识及其相互关联，抓住重要的数学思想方法，从宏观上加以把握。上面给同学们介绍了函数这个板块的知识结构和思想方法，相信同学们对函数部分有了更清晰的整体认识。至于这些知识和思想方法如何用，可以通过后面的文章，自己去体会和感悟。