培养几何直观的四种途径

韦恺华

(江苏省常州市滨江中学 213001)

“数学是描述数量关系和空间形式的科学.”而“图形”作为空间形式最主要的表现形式，可以帮助我们分析问题、寻求解决问题的方法.培养学生的几何直观能力可以帮助学生很好的理解概念的本质，把困难的问题变得容易.本文从四个途径说明初中阶段的课堂教学中如何培养学生的几何直观能力，发展学生的想象力，提升学生的数学思维.

一、培养画图习惯将抽象问题形象化

无论计算还是证明，逻辑的、形式的结论都是在形象思维的基础上产生的.而学生在数学学习的过程中常常会遇到一些抽象的问题，如果借助图形来理解概念，分析问题，往往能将抽象的数学问题变简单.

例1等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，其底角的度数为多少？(阅读题目，独立思考，同桌交流)

教学说明阅读题目后，教师先引导学生借助画图来理解题目的信息，通过交流，学生基本能够画出两种可能的图形，并标注出题中的有效信息，再请学生结合示意图分析自己的解题思路，突出画图对解决问题的便捷，能更加直观地分析问题.

几何直观主要就是借助图形分析和解决问题.在教学中，让学生发现画图对解决问题的益处，从画基本图形开始，进一步帮助学生养成画图的习惯，提高学生的几何画图水平，激发他们的数学学习兴趣.

二、重视变换让图形动起来

图形的运动(平移、旋转、翻折)只改变图形的位置、不改变图形的形状和大小，这一内容不仅是数学学习过程中的重要学习对象，也是认识数学的重要思想方法.在认识、学习、研究图形时，让图形动起来，常常能得到图形的一些性质，证明结论的正确性.

例2 苏科版教材八年级上册，在证明线段垂直平分线的性质时，就运用了图形运动的方法，问题：线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P在l上，PA与PB相等吗？

图1 图2

教学说明在本环节，学生能从线段垂直平分线的定义出发，通过SAS证Rt△AOP≌Rt△BOP证得PA=PB，这里采用了证明几何题最常用的“综合法”；事实上，几何命题的证明方法很多，除以三段论证为主要形式的“综合法”外常见的还有反证法、同一法等，也常通过图形的运动来证实图形的一些性质.

这里可以引导学生运用纸片将△AOP沿直线l翻折，则∠POA=∠POB，因此OA在射线OB上，且OA=OB，所以点A与B重合，以“两点确定一条直线”为基本事实，可知PA与PB重合，所以PA=PB.这样的说理过程符合逻辑，言之有据，能得出正确的结论，只是学生在表述时会存在困难，教师可给予适当帮助，让学生感悟到证明图形的性质有不同的方法，以帮助学生逐步学会运用图形运动的方法认识和研究图形的一些性质.

三、“数形结合”多角度认识数学

华罗庚曾说，数缺形时难直观，形缺数时难入微，数形结合这一数学思想的应用极其广泛.一方面，“数”可作为“形”的抽象概述，另一方面，“形”能成为“数”的直观表现，将“数”与“形”相互结合，相互渗透，可以将抽象的数学问题直观地反映出来，成为解决数学问题的重要策略.苏科版教材八年级上册《勾股定理》章节的内容很好地提供了让学生感悟“从数到形”，“从形到数”的“数形结合”思想过程.

例3 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.

图3

应用：如图3，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为____cm2．

教学说明勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，不仅定理本身，很多的应用问题都体现了数形结合的思想.在本问题中，将正方形面积转化成直角三角形的边长问题，找到三个正方形面积之间的关系是解决问题的关键.一方面，由△ABC是直角三角形，可知AB2+AC2=BC2；另一方面AB2、AC2、BC2又分别代表了以AB、AC、BC为边长的正方形的面积.因此最大正方形的面积等于正方形M与正方形N的面积之和，即64.

以数助形，以形助数，运用数形结合的思想解决问题，在教学过程中，加强学生对数形结合的运用，提高他们用数形结合的思想解决问题，可以提升他们的思维品质，更好的感受数学思维之美.

四、善用基本图形解决问题

学生在数学学习的过程中会遇到各种几何图形，线段、射线、直线、三角形、四边形等基本图形，对研究较为复杂的图形有重要的作用，因此，在教学过程中强化学生对基本图形的运用，培养他们运用基本图形去发现问题，分析问题的能力是非常必要的，这里以圆中的一个最值问题为例，简要说明掌握基本图形对解决问题的重要性.

例4 已知：如图4，圆锥的底面圆的半径为1，母线长OA为2，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短路线长为多少？

图4 图5

教学说明教学中，首先要引导学生分析对圆锥表面的A、C两点而言，只有将圆锥侧面展开成扇形才能找到点A到点C的最短路线长，这里将立体图形转化成平面问题的过程中，准确判断出点C最终的位置对学生的空间想象力有一定的要求；接下来需要找出展开后扇形的一些基本信息：半径，圆心角，计算发现展开扇形所对圆心角为180°，如图5，则∠AOD为90°；最后利用基本图形直角三角形的勾股定理，求解出线段AC的长度，即为点A到点C的最短路线长.

很多的几何问题最终都需要转化成一些基本图形来解决，在数学教学过程中，增强学生对基本图形的应用意识，强化他们对基本图形性质的运用能力，可以为今后学习更深层次的几何问题打下基础.

几何直观在数学的学习和研究过程中是非常重要的，在初中数学课堂教学中，通过培养画图习惯将抽象问题形象化，激发他们的数学学习兴趣；通过重视图形变换，帮助学生认识证明过程的不同表达形式；通过数与形的巧妙结合，提升他们的思维品质，多角度认识数学；通过借助基本图形解决问题，让学生经历探索、体验、分析的过程.