反证法在中学数学证明中的应用

高 涛

(云南省昆明市云子中学长丰学校 650000)

在中学数学证明过程中，我们可能会用到很多不同的方法.其中，从命题和问题结论的反面出发，并依据推理规则进行推演，引出矛盾，从而获得原命题成立的结论，这样的证明方法称之为反证法.反证法不仅是一种证明方法，还是一种思维方式；其独特的证明方法和思维方式对培养一个人逻辑思维能力(特别是逆向思维能力)和创造性思维能力有着重大的意义，是锻炼一个人思维的多样性、敏捷性、灵活性的极好素材，所以对反证法的教学研究是极有必要的.

在中学数学的证明题中，有些问题用直接法很困难，或直接证明不出来，此时反证法在这些数学题目的证明中就起着非常重要的作用.为此，本文分析反证法的原理和逻辑基础，并选取一些在证明中宜用反证法证明的实例，用相应的反证法予以解决.

一、反证法的逻辑基础和证明步骤

1.反证法的原理

反证法是在中学数学证明过程中基础应用的方法之一，其逻辑基础就是矛盾律和排中律.所谓的矛盾律是指，人们在同一思维过程中，对两个反对或矛盾的判断不能同时承认它们都是真的，其中至少有一个是假的；排中律则是指，同一对象在同一时间内和同一关系下，或者是具有某种性质，或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情形.

2.运用反证法的步骤

在中学数学证明的过程中，运用反证法证明命题的一般步骤为：

(1)提出假设(反设)：作出与求证结论相反的假设.

(2)推出矛盾(归谬)：所推出的矛盾包括与题设矛盾、与假设矛盾、或者得到恒假命题(与定理、公理矛盾)等.

(3)肯定结论：根据推出的矛盾可以说明提出的假设(反设)不成立，从而能够肯定原命题是成立的.

从上述步骤可知，可以把反证法的证明模式概括为“否定→推理→否定”，即从否定的结论出发，经过一系列正确的推理后得到矛盾的逻辑结果，从而达到新的否定，也就是“否定之否定”.

3.使用反证法应注意的问题

在用反证法的过程中，我们也需要注意一些相关问题.比如，证明中第一步的反设，是对所要证明的结论的否定，而不是也不能否定命题的已知条件，否则证明就无从入手或者就得不到想要的结果；同时，在进行反设时，需要掌握结论反面的全部情况并进行分析，而不能有任何的遗漏，否则所应用的反证法就可能无效.

二、反证法在中学数学证明问题中的应用

数学命题的证明，虽然在一般情况下用直接法，但是，当用直接法比较麻烦或比较困难甚至不可能时，往往采用反证法.因此，反证法确实有其广泛的应用，我们就从数学的不同分支出发，分别介绍反证法在几何、代数等不同数学分支中的应用.

1.反证法在平面几何中的应用

平面几何中的角相等、角不等、线相等、线不等、线平行、点共线、包含关系等问题，常常可以用反证法来证明.

图1

例1如图1，已知四边形ABCD，以各边为直径向四边形内作半圆.求证：ABCD内的任一点至少被一个半圆所包含.

证明：假定四边形ABCD内有一点P不被任一半圆所包含，连结PA、PB、PC、PD，则根据性质可知

∠APB<90°,∠BPC<90° ,

∠CPD<90°,∠DPA<90，

∴∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

这和一个周角等于360°相矛盾，故原命题成立.

这类问题属于“至多”与“至少”命题，常用“至多……”、“至少……”、“最多……”、“最少……”、“不多于……”、“不少于……”等形式来表示.这种命题如果用直接法来证明难以下手时，可以采用反证法来证明.

2.反证法在解析几何中的应用

反证法虽然主要是在平面几何教材中出现的，但并不是反证法在解析几何中没有它的意义，事实上，不少解析几何题也须应用反证法来证明.

例2求证抛物线没有渐近线.

证明：设抛物线方程为

y2=2px(p≠0).

假定该抛物线有渐近线，则渐近线的方程必是

y=ax+b(a、b皆不为0).

因为渐近线与抛物线相切于无穷远点，于是方程组

的两组解的倒数都是0.

将y=ax+b代入y2=2px得

a2x2+2(ab-p)x+b2=0

①

设x1、x2是①的两个根，由韦达定理得

②

③

由②、③可推得p=0，而这与假设p≠0矛盾.

因此，抛物线没有渐近线.

这类问题属于“否定式”命题.“否定式”命题的结论常用“不……”、“没有……”、“不是……”、“不可能……”等形式来表示，这类问题用反证法来证往往容易奏效.

3.反证法在代数中的应用

反证法不仅在几何中有其应用，而且在代数中也有着广泛的应用.

例3在不等边三角形中，三角与三边可否同时成为等差数列？

解不能.用反证法来证明：

∵A+B+C=180°，

由①可得B=60°，A+C=120°.

由②和正弦定理可得

2RsinA+2RsinC=2×2RsinB,

即sinA+sinC=2sinB.

于是有A=B=C=60°.

故△ABC为等边三角形，这与已知条件相矛盾.

∴不等边三角形的三角和三边不能同时成等差数列.

这类问题属于“判断式”命题.“判断式”命题的结论常用“是不是”、“能不能”、“会不会”、“怎样”等形式来表示，它一般可转化为肯定性命题或否定性命题，并且有时也可用反证法来证明.

总之，反证法在证明和研究中学数学不同方面的问题过程中都有着它特殊的作用.鉴于这种情况，在中学阶段向学生介绍一些应用反证法证明的题目和问题，逐步培养应用反证法解决问题的能力，是很有必要的，很有益处的.

数学是一门非常严密的学科，它具有其独特的思维方式和逻辑推理系统，在解决数学问题时，需要学会多角度地寻找解决方法，多层次的掌握数学的基础知识，充分发挥个人的数学思维能力.在中学数学证明过程中，利用反证法来发展和培养学生的逆向思维和发散思维，可以有利于逐步提高学生的数学能力、思维能力和解决数学问题的能力.