根轨迹复数部分形状的研究

卢一相， 孙 冬， 高清维

(安徽大学 电气工程与自动化学院，安徽 合肥 230601)

0 引言

在经典控制理论中，根轨迹法[1]是分析和设计线性定常系统非常有效的一种图解方法，它在分析系统闭环传递函数零极点与开环传递函数零极点的关系的基础上，通过开环传递函数零极点快速、直观地确定当系统参数变化时，闭环系统特征方程的根的轨迹。根轨迹图不仅可以给出闭环系统时间响应的全部信息，而且还可以指明开环零极点应如何变化才能满足给定的闭环系统的性能指标要求，这在系统(特别是多回路系统)分析和设计中非常方便，因此，在工程实践中得到了广泛的应用[2]。

在使用根轨迹法之前，需要绘制系统的根轨迹。在自动控制理论方面的教材中，涉及到的根轨迹绘制规则只对实轴上的根轨迹作了描述，对根轨迹的复数部分并没有相关阐述，这就导致了很多学生在绘制根轨迹复数部分的形状时不知所措，以至于定性绘制出的根轨迹与实际情况相差甚远。近年来，有学者对根轨迹复数部分进行了相关的研究[3～5]，但是都针对某种特定类型的系统进行研究，没有对一般类型系统的根轨迹复数部分的形状进行研究，如文献[3]只对二阶系统根轨迹的复数部分是圆形的系统进行研究；在文献[5]中，王泽南使用解析法对T(0,4)系统中根轨迹为等轴双曲线的情况进行研判。

本文通过在系统闭环特征方程中引入参数来对一般情况下系统根轨迹的复数部分进行研究，对系统根轨迹复数部分的可能形状进行判断，并通过实际的例子来验证结论的正确性。

1 根轨迹复数部分形状的数学描述

为了研究系统的根轨迹，假设系统的闭环传递函数为Φ(s)=N(s)/D(s)。为不失一般性，我们假设特征方程D(s)的形式如下

(1)

其中pi是系统函数Φ(s)的实数极点，f(k)和g(k)是开环增益K和其他参数的函数。这样设置D(s)的形式便于研究根轨迹中复数部分的形式，若系统的根轨迹存在多个复数分支，则可以通过分别研究每个复数分支根轨迹的方式进行研究。系统函数Φ(s)的复数根其实也是方程

s2+f(k)s+g(k)=0

(2)

的根，即

(3)

令

x和y是复数根s1的实部和虚部，代表直角坐标系中的横坐标和纵坐标。要得到根轨迹复数部分的形状，只需建立x和y的关系即可，经过数学运算可得

y2=g(f-1(-2x) )-x2

(5)

式(5)就是系统函数Φ(s)的复数根的实部与虚部满足的约束方程，只要知道f(k)和g(k)的具体形式，结合式(4a)和(4b)就可以快速地确定根轨迹复数部分的形状。在f(k)和g(k)的具体形式未知的情况下，我们也可以得到以下结论:

(1)若f(k)存在反函数，且g(f-1(-2x))是与x无关的常量，式(5)是一个圆心在原点的圆，则系统对应的根轨迹复数部分就是圆的一部分；

(2)若f(k)存在反函数，且g(f-1(-2x))是x的一次函数，式(5)是一个圆心在实轴上的圆，则系统对应的根轨迹复数部分是圆的一部分；

(3)若f(k)存在反函数，且g(f-1(-2x))是x的二次函数，式(5)可能是椭圆、双曲线，则系统对应的根轨迹复数部分就是椭圆、双曲线的一部分；

(4)若f(k)不存在反函数，由式(4a)(4b)可知，系统根轨迹的复数部分是一条与x无关的直线。

值得注意的是，即使g(f-1(-2x))是x的二次函数，式(5)所示表示的根轨迹也不可能是抛物线，因为抛物线没有渐近线，而根轨迹有渐近线(存在无限零点或极点时)。

2 应用实例

在本节中，我们将用几个具体的实例来验证上一节中得到的结论的正确性。由于本文主要讨论根轨迹复数部分的形状，因此在本节的例题中，我们将省略绘制根轨迹的步骤，重点讨论根轨迹复数部分所满足的数学表达式。

2.1 圆形根轨迹

例1：设单位负反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹。

D(s)=s2+(2+K)s+(2+2K)=0

(6)

将式(6)和式(2)进行比较，就可得f(K)=2+K，g(K)=2+2K，由此可以得到f-1(-2x)=-2x-2，再结合式(5)我们就可以得到根轨迹复数部分所满足的约束方程

(x+2)2+y2=2

(7)

图1 例1系统的根轨迹图

2.2 双曲线形根轨迹(无限零点)

例2：已知某单位负反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹。

解：由题意可知，闭环系统传递函数的特征方程为

D(s)=s3+8s2+15s+K=0

(8)

由于系统的特征方程是s的三次方程，与式(1)相比较并不能求得f(k)和g(k)，为了求得f(k)和g(k)，我们利用长除法将特征方程进行因式分解。根轨迹复数部分对应两个极点，因此特征方程还应该有一个实数极点，假设为-k，根据长除法可得

D(s)=s3+8s2+15s+K=(s+k)(s2+(8-k)s+(k2-8k+15))

(9)

再与式(1) 相比较，可知f(k)=8-k和g(k)=k2-8k+15，由于开环系统函数具有无限远的零点，因此k∈(-∞,- 5]，f-1(-2x)=2x+8，再结合式(5)我们就可以得到根轨迹复数部分所满足的约束方程为

(10)

由根轨迹法则可以得到：渐近线与实轴的交点为σa=-8/3，与正实轴的交角为φa=π/3；根轨迹的分离点为d=-1.21。这几个数值正好与式(10)的几个重要的几何特征点对应，即

(1)双曲线的中心点坐标(-8/3,0)对应根轨迹渐近线与实轴的交点σa=-8/3；

由根轨迹基本法则绘制的系统根轨迹图如图2所示，从图2中可以清楚地看到，系统根轨的迹的复数部分满足式(10)所定义的双曲线形根轨迹的一部分。

图2 例2系统的根轨迹图

例3：已知某单位负反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹。

解：由题意可知，闭环系统传递函数的特征方程为

D(s)=s4+5s3+8s2+5s+K=0

(11)

由于系统的特征方程是s的四次方程，与式(1)相比较并不能求得f(k)和g(k)，为了求得f(k)和g(k)，我们利用长除法将特征方程进行因式分解。根轨迹复数部分对应两个极点，因此特征方程还应该有另外两个极点，我们假设他们对应的多项式为s2+as+b，根据长除法可得

D(s)=s4+5s3+8s2+6s+K=(s2+as+b)(s2+(5-a)s+(8-b+a2-5a))

(12)

再与式(1)相比较，可知f(a)=5-a和g(a,b)=8-b+a2-5a，因此，f-1(-2x)=2x+5，再结合式(5)我们就可以得到根 轨迹复数部分所满足的约束方程为

(13)

由根轨迹基本法则绘制的系统根轨迹图如图3所示，从图3中可以清楚地看到，系统根轨的迹的复数部分(左边曲线)满足式 (13) 所定义的双曲线形根轨迹的一部分。

图3 例3系统的根轨迹图

2.3 混合双曲线形根轨迹(有限零点)

例 4：已知某单位负反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹。

解：由题意可知，闭环系统传递函数的特征方程为

D(s)=s3+3s2+(2+K)s+5K=0

(14)

按例2中的处理方式，首先使用长除法对特征方程进行因式分解。设其中的实数极点为-a，则D(s)=s3+3s2+(2+K)s+5K=(s+a)(s2+(3-a)s+(a2-3a+K+2))，由此可得

结合式(4a)和式(15a)可得2x=a-3。根据系统的开环传递函数可知系统有一个有限零点-5，极点分别为0，-1，-2，则闭环系统的极点-a随着K:0→+∞时必满足-a:-2→-5，因此当a∈[2, 5]时，x∈[-1/2,1]，此时f-1(-2x)=2x+3，再结合式(15b)和式(5)可得

(16)

由上式可知，当K∈[K0,1)时，根轨迹复数部分满足实轴在x轴，虚轴在y的一组 双曲线，这组双曲线的第一条曲线与实轴的交点就是根轨迹的分离点，该点可以通过长 除法得到: 令分离点为-d，则

s3+3s2+(2+K0)s+5K0=(s+93-2d))(s2+2ds+d2)

(17)

将上式右边展开并与左边比较，就可以得到如下方程组

(18)

解式(18)可得d=0.448,K0=0.086;当K∈(1,+∞)时，根轨迹复数部分满足实轴在y轴，虚轴在x的轴一组双曲线。另外，由于x=limK→∞(a-3)/2=1,因此当K→+∞时，y→±∞，根轨迹的渐近线为过(1,0)点且垂直于实轴的直线。

由根轨迹基本法则绘制的系统根轨迹图如图4所示，从图4中可以清楚地看到，系统 根轨迹的复数部分并不是单一的双曲线，而是多个双曲线的组合。

图4 例4系统的根轨迹图

2.4 直线形根轨迹

例 5：设单位负反馈系统的开环传递函数为

试绘制闭环系统的根轨迹。

解：由开环传递函数可知，闭环系统传递函数的特征方程为(卢一相等文)

D(s)=s2+4s+(3+K)=0

(19)

由式 (4a) 可知x=-f(K)/2=-4/2=-2，g(G)=3+K，再由式 (5) 可得

(20)

上式表明：系统的根轨迹复数部分(K>1 时)是一条垂直于实轴的直线，且该直线过(-2,0)点 (此时K=1，即特征方程D(s)=0 有两个重根)。

由根轨迹基本法则绘制的闭环系统根轨迹图如图5所示，从图5中可以清楚地看到，系统根轨迹的复数部分是一条过(-2,0)的直线。实际上，直线可以看作圆的特殊情形， 即半径为无穷大的圆。

图5 例5系统的根轨迹图

3 结语

本文通过在系统闭环特征方程的二次因式中引入参数，对根轨迹复数部分的形状进行了理论研究，并通过实例验证了所得结论的正确性。文中所得的结论不仅可以为实际绘制根轨迹提供参考依据，还可以避免绘制出的根轨迹与实际根轨迹相差甚远的情况出现。同时，文中所使用的确定根轨迹上关键点和渐近线的方法也可以作为教材中关于根轨迹绘制法则的辅助方法使用。