关于拉格朗日中值定理应用的教学探究

王建云　王甜甜　全宏波　田智鲲　杨雪花

【摘要】拉格朗日中值定理是微积分的理论基础，是建立函数和导数相互关系的重要桥梁。介绍了拉格朗日中值定理的一些应用，如求解函数极限、证明不等式、证明恒等式、判断函数的一致连续性、证明方程根的存在性、判断函数的单调性、判别级数的敛散性等。

【关键词】拉格朗日中值定理  辅助函数  应用

【基金项目】湖南省普通高等学校教学改革研究项目（湘教通〔2019〕291号，序号729）;湖南省普通高等学校教学改革研究项目（HNJG-2020-0587）;湖南工业大学教学改革研究项目（2020A16）。

【中图分类号】O172  【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）08-0108-02

1.引言

拉格朗日中值定理是微积分的理论基础，为微分中值定理的核心，它是罗尔定理的推广，也是柯西中值定理的一种特殊情形。它建立起了函数值与导数之间的定量关系，成为讨论由导数的已知性质推断函数具有某些性质的一个有效工具。拉格朗日中值定理的应用非常广泛，许多学者也对其进行了一些相关的研究[1-9]。本文主要在求解函数极限、证明不等式、证明恒等式、判断函数的一致连续性、证明方程根的存在性、判断函数的单调性、判别级数的敛散性等方面，对拉格朗日中值定理的应用进行了详细地分析和讨论，并通过具体例子来呈现一些应用技巧。

2.拉格朗日中值定理的应用

2.1求解函数极限

在拉格朗日中值定理的表达式中，f（b）-f（a）就是函数f（x）在区间[a， b]上的增量。从而拉格朗日中值定理可以看作是，函数f（x）在区间[a， b]上的增量与其区间长度的比值等于f（x）在某一点的导数。因此，当求解函数极限的类型为函数是同一类型函数之差与自变量之差的比值，这时就可以使用拉格朗日中值定理先将其化简再求极限。

2.2证明不等式

2.3证明恒等式

2.4判断函数的一致连续性

因为拉格朗日中值定理是微分中值定理中一个重要的内容，它也具备微分中值定理的一些性质，它也可以将函数与其导数联系起来。因此，我们可以运用拉格朗日中值定理来探讨导数的性质。从而以此来了解函数在区间上的一些整体性质，比如研究函数在区间上的一致连续性。

2.5证明方程根的存在性

利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性，要根据题目中的方程构造辅助函数f（x），将题目中的区间设为区间[a，b]。如果关系式中出现某函数的导数在两个不同点处的值、某函数的二阶导数在某点处的值或者出现两个函数的导数在两个不同点处的值等情形，这时都可以利用拉格朗日中值定理证明其根的存在性。

2.6 判断函数的单调性

一般可以利用函数的一阶导数在区间上的符号来判断函数的单调性，有时候在函数一阶导数的表达式中会出现或包含f（b）-f（a）的形式，这时候可以巧妙结合拉格朗日中值定理，化简导数的表达式，从而容易判断其正负。

2.7 判别级数的敛散性

当级数的通项表达式中含有对数或具有单调性，则可以构造一个适当的辅助函数，利用拉格朗日中值定理得到一个关于级数通项的不等式，再利用级数的部分和数列的极限存在性来判断该级数的敛散性。

3.结语

拉格朗日中值定理是微分学一个重要的定理，它的应用非常广泛，在很多问题的解答中，若能很好地结合拉格朗日中值定理，就可以拓宽学生的解题思路，使问题更加灵活地得到解决。在这个求解问题的过程中，关键点是将求解问题所需的辅助函数构建出来，既能使函数满足拉格朗日中值定理的条件，又能让求解的问题变得简单易行。

参考文献：

[1]陈桂东.一个中值公式的推导及应用[J].高等数学研究，2020（5）：32-33.

[2]黄梅花.拉格朗日中值定理在微积分解题中的应用[J].课程教育研究，2019（48）：6-7.

[3]李海霞，聂东明，王兴龙.拉格朗日中值定理的推广和应用[J].钦州学院学报，2016，31（7）：42-44.

[4]李庆娟. 拉格朗日中值定理及其应用探析[J].山西大同大学学报（自然科学版），2019，35（2）： 34-37.

[5]李延波，刁爽.拉格朗日中值定理的应用[J].广西师范学院学报（自然科学版）， 2017，34（2）：133-136.

[6]王建云，全宏波，赵育林.浅谈拉格朗日中值定理的几种证明方法[J]. 数学学习与研究，2021（7）：150-151.

[7]王颖.拉格朗日中值定理在微分學中的应用[J].高师理科学刊，2018，38（1）：64-66.

[8]尹卫东. 拉格朗日中值定理的一种证明方法[J].洛阳师范学院学报，2019，38（2）：21-22.

[9]张智倍，王云花.拉格朗日中值定理的几个应用[J].高等数学研究，2016，19（1）：62-64.

作者简介：

王建云（1981年-），男，湖南常宁人，博士，讲师，研究方向：微分方程数值方法及应用。

田智鲲（1979年-），女，湖南龙山人，博士，副教授，研究方向：偏微分方程数值方法。