新疆少数民族地区大学物理中几个公式的教法探讨

李华振 杜伟伟 蒋相站 李文亮 魏成伟

（1.新疆工程学院数理学院，新疆 乌鲁木齐 830023；2.新疆工程学院 能源工程学院，新疆 乌鲁木齐 830023；3.新疆工程学院教务处，新疆 乌鲁木齐 830023）

大学物理始终是高等院校工科各专业的一门重要的通识必修课，对于培养学生的逻辑能力和基本技能具有重要作用。新疆少数民族地区大学生基础知识普遍薄弱，学习兴趣不足，需要采用有针对性的教学方法，增强学生的获得感，激发学生自主学习，从而能够达到用物理原理解决工程问题的培养目标。物理公式是对各种物理现象、规律的高度概括，在对新疆少数民族地区基础薄弱学生的教学中，更需要对于物理公式进行“庖丁解牛”式的分析，学生只有掌握公式的物理意义，了解每一个符号的物理含义及其表达的物理内涵，才能够应用物理理论正确的解决实际问题[1]。

1 运动学第一类问题

运动中质点的位置矢量按一定的规律随时间而变化，这个位置矢量随时间变化的函数表示即为该质点的运动学方程。速度等于位置矢量对时间的一阶导数，加速度等于速度对时间的一阶导数[2-3]。 即：

运动学第一类问题是指已知质点运动学方程求质点速度与加速度。 学生解题过程中，首先代入运动学方程计算出该时刻质点的位置矢量（常矢量），计算速度与加速度时直接对该常矢量求导，得到速度与加速度皆为0。 若已知质点运动学方程，求解某一确切时刻的速度与加速度时， 学生能够通过求导计算速度， 代入该确切时刻得到该时刻质点的速度 （常矢量），接着计算加速度时再次出现对常矢量求导，得到加速度为0 的错误结果。

1.1 错误产生的原因

此处学生出错的原因不在于函数求导，而是对求导对象的混淆。 在这部分内容的教学过程中，为简单方便，书写时会将任意t时刻的位置矢量r（t）简写为r；将任意t时刻的速度v（t）简写为v；将任意t时刻的加速度a（t）简写为a。 求导对象的混乱由此产生。

学生从(1)式能够得到的信息是：速度等于位置矢量对时间的一阶导数，加速度等于速度对时间的一阶导数，正是此处求导对象的不明确。 当学生由任意时刻的位置矢量求得某确定时刻的位置矢量后，会直接应用（1）式对该确切时刻的位置矢量求一阶导数，认为就得到该确切时刻的速度。 同理，当由任意时刻的速度求得某确切时刻的速度后，计算该时刻加速度时也会犯相同的错误：将某时刻的位置矢量、速度作为求导对象。

1.2 解决方案

针对此类错误，在教学中完整书写公式中的自变量，要求学生也书写自变量，能够有效地帮助学生确定公式中的求导对象是函数表达式，而不是常量：

任意t时刻的速度表达式等于任意t时刻的位置矢量（运动学方程）对时间的一阶导数，任意t时刻的加速度表达式等于任意t时刻的速度表达式对时间的一阶导数，书写自变量，可以有效地降低学生在该类错误上出现的频率，也为后续解决其他运动学第一类问题打下良好的基础。

2 矢量与矢量微分之间标积的运算

矢量与矢量微分之间标积运算，在推导万有引力做功，质点的动能定理等情况时经常会用到。 初学者会对这一等式产生困惑[4]：

两个矢量的标积等于两矢量各自的模长与两个矢量的夹角的余弦值的乘积，此式缺少余弦值项。

2.1 困惑产生原因

r=|r|是大学物理中公认的简写，式（3）中同时出现r与r，且对二者进行微分运算，造成学生混淆了该运算中的|dr|与dr。

图1 矢量与矢量微分之间的标积

物理中矢量r 的大小用|r|表示，简写为r。dr 表示r的微分，是矢量；而dr表示矢量r 大小的微分，是标量。 dr与dr意义不同，如图1 所示，dr 的大小等于PM长度，dr原本就等于NM 长度， 二者满足|dr|≥dr 的关系。

2.2 解决方案

对矢量微分公式的讲解可以先采用模长符号讲解。 如图2，矢量微分的大小|dr|等于PM 的长度，矢量大小的微分d|r|等于NM 的长度。 因此有：

图2 矢量与矢量微分之间的标积模长表示

由此式引导学生得到：

然后再讲矢量大小的简写， 从而得到矢量微分公式，打消学生对矢量与矢量微分标积运算公式的困惑。

3 结语

针对新疆少数民族地区学生物理基础知识较为薄弱，本着因材施教的原则，以学生为主体，教学方法跟着学生听课状况不断做出调整，将内涵丰富的物理公式以最适合他们的方式来讲授，对运动学第一类问题求导公式、矢量与矢量微分标积公式，通过添加公式自变量标识，采用矢量模长的符号的方法，将易于混淆的公式及其应用原理清晰地讲授给学生，帮助学生学懂学会基本理论和基本知识，为其他学科的学习打下扎实的基础。