铝合金空间网架的拓扑优化设计与耗材量比较

晏致涛 黄昨越 冯江泉 翟运琼 朱朝晖

(1. 重庆科技学院 建筑工程学院， 重庆 401331；2. 重庆大学 土木工程学院， 重庆 400044；3. 南宁市设计院， 南宁 830011)

空间网架结构广泛应用于现代建筑中，设计初期对网架结构杆件进行拓扑优化具有重要工程实际意义。目前常用的网架结构形式有斜放四角锥网架、正放四角锥网架、正交斜放桁架网架、正交正放桁架网架、抽空四角锥网架[1]等。

在进行网架结构设计时，往往会结合已有的实际工程经验先确定结构的基本拓扑形式，然后根据确定的基本拓扑形式将杆件铺满，完成对网架结构的杆件布置，形成拟建网架的拓扑结构，接下来对拓扑结构进行受力分析，最后求得结构杆件的尺寸[2-4]。这样得到的网架有一个共同的特点，就是从几何边缘到网架中心的杆件分布都是相同的。实际上，由于边界约束以及荷载条件的不同，网架结构不同区域的受力差别较大，如果从外缘到中心都采用相同的拓扑形式，结构材料就不能得到充分利用。为了使网架结构受力更加均匀，结构的整体拓扑方案更加合理，耗材量和结构性能更加优越，就需要不断优化网架结构的拓扑设计。

关于网架结构的拓扑优化方法，林本芳[4]、龚金海[5]、李玉梅[6]等人探讨了遗传算法及改进的遗传算法的应用；朱吉吉采用渐进式网架结构拓扑优化方法优化后的网架结构[7]，不仅材料用量有较大幅度下降，而且结构的鲁棒性以及极限承载力也表现突出。

现有网架结构多是采用钢材。铝合金具有自重轻的优势，近年来逐渐被用于网架结构中。本次研究，基于OptiStruct软件，对铝合金网架结构在3种跨度和3种约束工况下进行拓扑优化；然后根据拓扑优化结果设计合理的网架结构形式，对比分析铝合金网架与钢网架的用材量，讨论铝合金网架的适用性。

1 铝合金网架拓扑模拟

1.1 软件平台

OptiStruct是一种典型的有限元结构分析和优化软件，它基于局部逼近方法进行优化问题的求解。基本步骤为：首先采用有限元法分析，进行收敛判断；然后针对结构响应情况，对设计变量求偏导数，进行灵敏度分析，并依据灵敏度反馈信息获得近似模型；最后运用此近似模型对近似优化问题求解，经过反复迭代，求出最优解。

在得到灵敏度信息之后，为了减少优化计算工作量，方便进行后续优化，通常对结构响应进行泰勒展开，采用显式近似将隐式模型转化为显式模型。在优化过程中，一般采用连续变量的方式如密度法去描述材料的流动分配问题。在拓扑优化过程中，每个单元的密度取值为0或1。

1.2 建立有限元模型

拓扑优化计算属于静力分析，我们在HyperMesh里面建立有限元模型进行实体优化分析。选用Solid单元进行网格划分(见图1)。输入铝合金材料的弹性模量为7.0×1010Pa，密度为2.7×103kgm3，泊松比为0.3；钢材料的弹性模量为2.06×105Pa，密度为7.9×103kgm3，泊松比为0.3[8]。

图1 铝合金网架拓扑实体模型

图2 外缘四点支承约束

1.3 建立优化模型

在定义初始的包含实体单元、单元属性、材料属性、载荷和边界条件的铝合金网架有限元模型后，接下来对有限元模型进行拓扑优化设定。

(1) 定义拓扑优化的设计变量。将设计区域的单元密度设定为优化变量，确定Base Thickness为0。

(2) 定义优化的响应。需定义体积分数、应变能(柔度)两个响应。

(3) 定义约束。将体积分数控制在一定范围，接近某一定值。

(4) 定义目标函数。将最小应变能(柔度)设定为目标函数。应变能(柔度)越小，代表结构刚度越大，受力情况更合理。

在整个过程中，控制过程的参数有体积减小率和每一次迭代的删除率及进化率，控制优化终止的参数有最大迭代步数和收敛公差[8]。需要指出的是，拓扑优化过程中更多反映的是受力状态，而对于网架优化来说，想要知道的是整个结构的应力分布，而且在迭代过程中单元密度为0的单元会删除，这样也会导致该区域的所有应力约束会删除。模型受力及传力途径总是在不断变化中，所以并不需要将极限应力以及跨中位移定义为约束条件。

1.4 拓扑计算方法验证

为了验证本拓扑计算方法的正确性，首先对钢材网架结构进行拓扑优化，并与文献[7]的方法进行对比。由图3可知(图中深色表示实体结构的分布)，本次有限元模拟，没有增加专门用来承受所有约束和载荷的实体，但仍然能得到很好的拓扑结果，且拓扑结果相似。这说明渐进结构优化使初始模型体积大大减小，所得结构拓朴明晰，本次拓扑结果可靠。

图3 外缘四点约束钢网架优化模型验证

2 铝合金网架结构设计与分析

2.1 拓扑优化设计思路

设置的铝合金网架体积分数控制在30%以内，即代表最终优化结果得到的拓扑中体积在30%以内，此时的拓扑形式一般都非常明晰。通过对最小成员尺寸的控制，消除细小的传力途径，让拓扑形式更加清晰。根据铝合金网架拓扑优化的结果进行网架杆件布置和设计，其中上表面、下表面的拓扑图可以明确代表上弦杆、下弦杆的受力情况。但是对于网架结构来说，上弦杆应该均匀分布，承受均布荷载。因此，得到优化结果后，我们将上弦直接定义为横竖相交的网格，下弦杆的布置则根据拓扑图来进行设计，然后再布置腹杆。

为确保在优化过程中时刻存在一个连接所有载荷和约束的连续体，除了拓扑实体优化区域外，模型还增加了类似上弦为均匀网格的实体区域。优化过程中，通过在网格交点施加集中荷载来模拟均匀受力。由于单元密度为0的区域不断被删除，可能造成结构受力不能完全贴合实际的受力情况，但通过优化可以证明，这种情况下不一定需要额外增加这样的网格实体，也能得到很好的拓扑结果。拓扑得到的是中空的实体，上、下表面分别反映上、下弦杆受拉、受压的受力状况，而竖向支承由四边的竖杆承担，所以也能较完整地反映实际受力状态。

另外需要注意的是，由于初始优化模型是一个连续的实体结构，其杆件连接节点可以认为是固定连接，但实际网架结构的杆件连接方式为铰接。因此，完全按照优化得到的拓扑图设计，得到的网架将会是几何可变的。为了使最终的网架结构体系变成几何不变的，且同时具有优越的结构性能，就应该对网架的杆件布置进行稍微调整，增加一些杆件，让铰接的网架变为几何不变体系。我们采用的杆件布置方式，原则是使每一根腹杆都最终归属于四角锥体。

得到网架拓扑设计结构后，采用6061-T3铝合金材料，依据设计图在3D3S软件里面进行建模计算。

2.2 网架结构设计及计算

在HyperMesh中，建立规格为24 m×24 m×2 m的实体模型，然后进行网格划分。采用外缘四点支承约束。利用OptiStruct进行求解计算，得到的优化结果如图4所示。图中，红色单元为密度值最大，代表单元必须保留；白色单元为密度值最小，代表此单元可以被删除。由红色到白色渐变，表示密度值逐渐变小。在HyperView中，通过增加最小成员尺寸，减少一些细小传力单元，设计的拓扑图如图5所示：较图4已经减少了铝合金材料的用量。

图4 铝合金网架模型优化结果俯视图

图5 最小成员尺寸增大后的拓扑图

根据图5，将此种工况条件下的网架布置为一个规格为24 m×24 m×2 m的网架，上弦方格数为11×11，采用外缘四点支承，结果如图6所示。另外，36 m×36 m×3 m与48 m×48 m×4 m的网架，上弦杆分别布置为13×13的网格与15×15的网格。

同时，在3D3S软件中对拓扑设计图进行铝合金网架结构计算，并统计其耗材量。其中，有5种截面尺寸(直径×壁厚)参与组合，即：48 mm×3.5 mm，60 mm×3.5 mm，75.5 mm×3.75 mm，88.5 mm×4 mm，114 mm×4 mm。与钢网架的耗材量[7]进行对比，结果显示：钢网架优化后耗钢量为7.38 t，铝合金网架优化后耗铝量为3.25 t。在外缘四点支承24 m×24 m×2 m网架情况下，用铝合金代替钢材后可以大幅度地减少耗材量，耗铝量只有平均耗钢量(16.92 t)的15.2。同时，用铝合金代替钢材后，上部结构的重量减轻了也会减小其对支座的作用力。

图6 外缘四点支承铝合金网架(24 m×24 m×2 m)拓扑优化设计图

3 支承方式的影响

3.1 内部四点支承

在HyperMesh中，建立规格为36 m×36 m×3 m 的实体模型，然后进行网格划分。采用内部四点支承约束。考虑同样的荷载工况：1.2×自重+1.2×0.25 kNm2(恒载)+1.4×0.5 kNm2(活载)，采用均布加载方式。得到的优化结果如图7所示。图中，红色占据较大部分，此处极为重要，规整后为主弦杆结构。白色单元将被删除。介于红色与白色之间的区域，在弯曲和扭转工况下起主要作用。

图7 内部四点约束网架模型优化结果俯视图

从模型优化的结果可以看出，在4个支座位置应力格外集中。因此，铝合金网架的上弦杆、下弦杆主要受轴心作用，可通过优化截面形状和调节截面尺寸来增强支座周边的刚度。根据图7布置的网架如图8所示。

图8 内部四点支承铝合金网架整体拓扑优化图

为了检验本文方案的优越性，将材料属性设定为钢材进行建模计算。在文献[6]中，采用遗传算法对应力、位移约束下的网格结构进行拓扑优化，利用对称性对杆件进行分组，使优化后的结构模型仍然保持对称，计算出的耗钢量为24.07 t。而按上述优化的网架图计算，所用钢材量为18.36 t，相比可减少5.71 t，节省材料23.72%。在对拓扑设计图进行结构计算时，有6种截面尺寸参与组合，即：48 mm×3.5 mm，60 mm×3.5 mm，75.5 mm×3.75 mm，88.5 mm×4 mm，114 mm×4 mm，140 mm×4 mm。与钢网架结构比较，铝合金网架优化后可节省23的耗材量。例如内部四点支承的36 m×36 m×3 m网架，上弦方格数为13×13，杆件材料为Q235，所用钢材量：正放四角锥网架为26.49 t，抽空四角锥网架为24.20 t；而用铝合金代替钢材后，铝合金用量仅为7.78 t。

3.2 四边支承

在HyperMesh中，建立规格为24 m×24 m×2 m 的实体模型，然后进行网格划分，采用四边支承约束。荷载工况同样为：1.2×自重+1.2×0.25 kNm2(恒载)+1.4×0.5 kNm2(活载)，采用均布加载方式。利用OptiStruct软件进行求解计算，得到的优化结果如图9所示：整体受力分布几乎呈对称形式，中心区域红色单元为密度值最大，代表单元必须保留，作为上下弦杆主要安置的地方。

图9 四边支承网架模型优化结果俯视图

根据模型优化的结果，在四边支承支座条件下，结构靠中心的区域受力类型近似圆形，这说明中心区域刚度要增强。根据图9布置的网架如图10所示。

图10 四边支承铝合金网架整体拓扑优化图

按图10所示网架，将材料属性设定为钢材进行建模计算。在文献[6]里，计算的耗钢量为7.29 t；而按优化的网架图计算，耗钢量为7.00 t，减少了3.98%。

3.3 边界条件影响的差异

在不同支承条件、不同跨度下，优化后的铝合金网架的耗铝量存在差异(见图11)。

图11 不同支承及跨度条件下网架的耗铝量

从图11可以看出：在不同的支承条件下，随着跨度的增加，耗材量增加的幅度都会越来越大。其中，外缘四点支承条件下的耗材量增幅最大。在24 m×24 m×2 m和36 m×36 m×3 m及48 m×48 m×4 m这3种跨度规格下，外缘四点支承的耗材量也总是最多的。也就是说，不管在哪种跨度规格下，内部四点支承和四边支承约束下的网架受力情况，都要比外缘四点支承的好。内部四点支承和四边支承在3种跨度下的耗材量都相差不大，其差距在6%以内。在24 m×24 m×2 m和36 m×36 m×3 m这2种跨度下，内部四点支承的网架耗铝量略大于四边支承的耗铝量；而在48 m×48 m×4 m的跨度规格下，四边支承的网架耗铝量增幅较大，略大于内部四点支承的网架耗铝量。

4 结 语

利用OptiStruct软件对铝合金网架进行拓扑优化，并计算分析24 m×24 m×2 m、36 m×36 m×3 m、48 m×48 m×4 m等3种跨度规格，在外缘四点支承、内部四点支承及四边支承等3种约束工况下的耗材情况，主要得到以下结论：

(1) 同种工况下，铝合金网架和钢网架的拓扑优化结果相似，对铝合金网架和钢网架可以采用相同的优化设计方案。拓扑优化设计后的铝合金网架，与传统钢网架相比，耗材量会大大降低。

(2) 拓扑优化后的铝合金网架与传统钢网架的耗材量存在较大差异。外缘四点支承约束下的 24 m×24 m×2 m网架，拓扑铝合金网架的耗铝量只有传统钢网架平均耗钢量的15.2；内部四点支承约束下的36 m×36 m×3 m网架，耗铝量为平均耗钢量的13.3；四边支承约束下的24 m×24 m×2 m网架，耗铝量为平均耗钢量的13.1。相比钢网架，铝合金网架在重量指标上有一定优势。

(3) 在外缘四点支承、内部四点支承及四边支承等3种支承条件下，铝合金网架的耗材量都会随着跨度的增加而增加，而外缘四点支承情况下的耗材量增幅最大。

(4) 在3种跨度规格下，外缘四点支承约束下的铝合金网架的耗材量都是相对最多的。内部四点支承和四边支承情况下的网架受力情况总是要比外缘四点支承的好一些。