单层黑磷烯中极化子的有效质量

李大伟，赵翠兰，刘佳丽，王 龙

（内蒙古民族大学数理学院，内蒙古通辽028043）

黑磷烯作为一种新型的二维材料，由于具有直接带隙和较高的载流子迁移率，引起了诸多专家学者的兴趣.Pereira等［1］利用紧束缚模型，推导了朗道能级的表达式，研究了外电场对双层黑磷烯电子带隙的影响.Sousa等［2］利用紧束缚模型的低能展开方法得到了单层黑磷烯纳米带能谱，研究了带隙与纳米带宽度的关系.Sousa等［3］利用紧束缚模型推到了多层黑磷烯再长波近似下的哈密顿量表达式，研究了层数对带隙和有效质量的影响.Takao等［4］利用紧束缚近似首次计算了黑磷烯的能带，讨论了黑磷烯的电子性质.Pengke等［5］对黑磷烯中包含自旋轨道相互作用的电子能带结构进行了对称性分析，得到了电子和空穴的能量色散关系和自旋相关的本征态表达式；揭示了导致光学吸收、电荷和自旋输运性质各向异性的潜在对称性，价带畸变的机理和可能存在的直接间隙缺失.Mogulkoc等［6］采用幺正变换与变分方法相结合研究了黑磷的极化性质.孙丙西等［7］采用线性组合算符研究了非对称Gaussian限制势CsI半导体量子阱中强耦合极化子基态能量的性质.杨洪涛等［8］采用相同方法研究了声子色散对单层石墨烯弱耦合极化子性质的影响.井亚斌等［9］采用改进的Hummers法制取氧化石墨烯，制备了氧化石墨烯复合材料薄膜.赵翠兰等［10］和刘佳丽等［11］采用幺政变换、线性组合算符和变分等方法，研究了单层黑磷烯中极化子的性质.本文拟采用幺正变换、线性组合算符与变分方法相结合的方法，研究单层黑磷烯中有效质量的性质.

1 理论计算

图1 单层磷烯/基底示意图Fig. 1 Schematic diagram of monolayer melano phasphoren/substrate

如图1所示，单层黑磷烯置于极性基底上.利用紧束缚［12-13］和k.p模型［14-16］，在长波范围，布里渊区Γ点附近，电子-表面光学声子体系的哈密顿量为［6］

其中

其中H0、Hph、He-ph分别为电子、基底表面声子、电子-声子相互作用的哈密顿量.是载流子-表面光学声子相互作用幅值，是与基底介电常数有关的有效屏蔽常数，分别为声子的产生、湮灭算符.ωμ（μ=1,2)是第μ支光学声子频率，e是电子电荷量，z是单层黑磷烯与基底间的距离，k（0k∞)是基底的低频（高频）介电常数，ε0是真空介电常数.

对（1）式进行两次幺正变换

对电子的坐标和动量引入线性组合算符［7-8］

得哈密顿量的期待值为

（12）式对取变分，引入新的参量得

设

利用（5）（6）式对进行两次幺正变换，再求对（11）式的期待值，代入（15）式，得

（16）式两端对λ取变分，得有效质量为

其中

具体计算时，将对q的求和化为q的积分，其中A为黑磷烯基底面积，积分时引入声子截断波矢qcut.

2 结果与讨论

为了研究黑磷烯有效质量的性质，进行数值计算.选用的极性基底及其参数来自表1［17-18］.

表1 计算中使用的极化基底和参数Tab. 1 The polar substrates and parameters used in calculations

图2 极化子在x（y）方向上有效质量随z的变化关系Fig. 2 The effective mass of the polaron in the x（y）direction varies with z

图3 极化子在x（y）方向上有效质量随ℏω 的变化关系Fig. 3 The effective mass of the poiaron in the x（y）direction varies with ℏω

图2描绘的是qcut=0.2 nm-1，基底分别为AL2O3，SiO2时，极化子在x（扶手椅）方向的有效质量或y（折叠）方向的有效质量随基底间距z的变化关系.可见当基底给定时，有效质量（或）随基底间距增大而减小.这是因为基底间距增大，载流子与电子之间的相互作用减弱所致.还可以看出，在相同的条件下，可见y方向上的有效质量减小较快，反映出黑磷烯的各向异性特征.当基底不同时，有效质量不同，但是变化规律相同.

图3描绘的是z=2 nm，qcut=0.2 nm-1，基底为AL2O3，SiO2时，极化子在x（扶手椅）方向的有效质量或y（折叠）方向的有效质量随声子能量ℏω的变化关系.由图3可见，当基底给定时，有效质量（或）随ℏω的增大而减小.这是因为，声子能量ℏω增大，电子声子相互作用增强，致使有效质量在相同条件下，y方向上的有效质量减小较快，反映出黑磷烯的各向异性特征.当基底不同时，有效质量不同，但是变化规律相同.

3 结论

采用LLP幺正变换、线性组合算符和变分相结合的方法，在紧束缚势模型和长波范围内，研究了单层黑磷烯中极化子的有效质量.对确定的基底材料进行数值计算得知：当基底给定时，黑磷烯中极化子在扶手椅方向和折叠方向的有效质量均随黑磷烯与基底之间间距的增大或声子能量的增大而减小；两个方向的有效质量变化情况不同，反映出黑磷烯具有各向异性.当基底不同时，有效质量不同，但是变化规律相同.总之黑磷烯的有效质量与方向和基底性质有关.