抓基础 重细节 求高效

刘玉静

【摘 要】数学是一切自然学科的基础，被称为自然科学的皇冠，“学好数理化，走遍天下都不怕”，这表明数学在所有的学科中的重要性。一般来说对于初中阶段的教师，在力求学生高效率学习的同时，更应该强调数学理论基础的夯实，问题细节的深究，要从一道数学题提炼出基础原理，针对这一基础原理再衍生多题多解，让学生体会到虽然问题千变万化，但万变不离其宗，化静态为动态，突破教学难题，让学生在数学计算、空间构想、定量分析、应用定义中体会数学知识的奥妙，加深同学们的学习乐趣，进而提高教学的质量。这就是所谓的抓基础学习，重细节分析，求高效产出！

【关键词】数学理论基础;问题细节;学习兴趣

俗话说，“编筐编篓，重在收口”。初中三年，学生和老师的收获都将在中考中检验。最后一学期，是冲刺阶段，成败就看这个学期的工作效果了。为此，我在所有数学老师的支持和帮助下，以研究课本和《中考说明》、研究学生为前提，整合章节知识点，根据学生水平安排内容的难易，力求在抓基础、重细节的基础上实现高效复习。

下面，我以基摸考试第26题的讲解为例来说明我们是如何以考题为依托，进行一轮复习的。

26题是一道关于二次函数图像和性质的综合题。考查了二次函数的顶点坐标、对称轴、最值、图象的平移、与直线的交点等基础知识。以待定系数的形式出现，虽然没有脱离基础知识，但是增加了新意，也提高了一定的难度，既考查了学生对基础知识的掌握情况，也考查了学生处理函数问题的能力。充分体现了《中考说明》对综合实践部分的考试要求——要通过主干知识及核心能力的考查，让考生体会数学的味道和本质，选取的试题素材似曾相识，而角度新颖，易入手却不易答出满分，以检验考生的数学核心素养。

为突破学生对二次函数知识掌握不牢及对最后一题的畏惧心理，我在讲解试题前设置了一个基础练习。

【基础复习】

例1：对于抛物线：y=x2-2x+3，下列说法错误的是（  ）

A.对称轴是x=1，有最小值是2

B.当x>2时，y随x的增大而增大

C.向左平移3个单位后经过（1，10）

D.抛物线与坐标轴有三个交点

这个题中给出的二次函数表达式中没有待定系数，目的在于通过选项让学生巩固抛物线的顶点坐标、对称轴、最值的求法，根据开口方向和对称轴判断其增减性，能确定平移后抛物线的表达式并能验证点是否在图象上，掌握抛物线与坐标轴交点的方法，同时培养学生分类讨论的数学思维。

这个题学生独立完成后，尖子生进行讲解，帮助其他学生复习二次函数的相关知识和解题技巧。在学生讲解的过程中发现，通过A选项，学生能够使用两种方法求抛物线的对称轴和最值，即使用公式和配方法。通过B选项的辨析，能够根据所给自变量的取值范围与对称轴的位置关系，明確函数的增减性。在判断C选项时，学生对抛物线的平移给出了两种方法，一种方法是先把抛物线的一般式转化为顶点式，然后根据左加右减的方法，写出平移后的表达式;第二种方法是先求出原抛物线的顶点坐标，然后再找到平移后的顶点，把坐标代入抛物线的顶点式中得解。第二种方法中，点向左平移3个单位，横坐标减3，与抛物线平移时的“左加右减”貌似矛盾，经过对比、辨析，学生能够接受。在D选项中，有的学生直接判断出错误，问起原因，有的说只能有两个或者一个交点，通过画图才发现，没有对坐标轴进行分类讨论。抛物线总是与y轴有一个交点，与x轴的交点个数要由△的大小来判断。

通过例1的辨析研讨，学生能够把二次函数的基础知识和基本解题方法总结出来，解决了二次函数的核心问题。第三问学生因为审题不清，不能正确理解“顶点的纵坐标和横坐标之间存在一个函数关系”这句话，我们把第三问分为两个小问进行解决。

【巩固提升】

例2、已知抛物线C：y=ax2-2ax+3，抛物线开口向下。

（1）当抛物线C过点（1，4）时，求a的值和抛物线与y轴的交点坐标;（2）求二次函数y=ax2-2ax+3的对称轴和最大值（用含a的式子表示）;（3）①将抛物线C向左平移a个单位得到抛物线C1，求出C1的表达式和顶点坐标。

例2与例1相比，多了待定系数，增加了难度，但是学生用例1中归纳总结的方法，能够顺利解决前三问。但在书写过程时，发现学生求对称轴时，只写1，而不是x=1;求最大值时，结果写成a-2a+3，不进行化简。所以老师要对此再次纠正，规范书写过程，要求不丢无谓的分。

在（3）①中，学生对向左平移a个单位提出质疑，“a是个负数，向左平移a个单位应该是向右移动，所以根据左加右减的方法，应该是减a”，问题提出，确实有不少同学蒙了，不知道到底是该加还是该减，此时，老师问，那向右平移几个单位呢？学生开始思考，终于悟出来应该是向右平移-a个单位，代入抛物线的顶点式，得出答案是肯定的。

对于中等学生，能够完成这几道题，并吃透知识点就可以了。对于尖子生，我们还有必要进行合理的知识迁移和综合。

【合理迁移】

（3）②随着a的变化，抛物线C1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围。对于这个问题，学生总是认为顶点在抛物线上，当然纵坐标与横坐标的关系满足y=ax2-2ax+3。但是a又是不确定的，所以不知从何处入手。对于这个问题，老师通过几个问题引导学生审题：

1.要求什么？2.需要知道什么？3.已知什么？4.怎样求？

根据问题，学生找到需要求一个抛物线C1顶点的纵坐标y与横坐标x之间函数关系式，需要求出抛物线C1的顶点的横坐标x和纵坐标y，上一问中已经求出C1的表达式和顶点坐标。但是怎样求？学生看到有待定系数，不知从何下手，也有的同学观察出了y=x+2，但是不能明确一个解题方法。老师提示，能不能通过解方程组，化去字母a？学生恍然大悟顺利得出y与x的函数关系式。老师再次给出解题过程：x=1-ay=3-a，两式相减得到y=x+2。

求x的取值范围时，学生还是有困惑，画图也不得解。老师提示，如果画图不得解，能不能从表达式入手呢？学生观察黑板上的x=1-a，想到a<0，顺利得出x>1。

让学生谈谈考试过程中，没有做对这道题的原因。学生找到了自己的问题，在老师的引导下，一步步解决问题，很大程度上缓解了对26题的恐惧感，逐渐找到解题的策略和方法，培养了学生的自信心。

【辨析研讨】

（4）记（3）所求的函数为D，抛物线C与函数D的图像交于点M，结合图象，请直接写出点M的纵坐标的取值范围。

有了第三问做铺垫，学生根据题目要求，能画出简单的图象，但不知道如何找M点纵坐标的取值范围。老师对学生能画出图象，找到交点M，提出表扬和肯定，帮助学生分析，找出不变信息和可变信息，直线的位置不动，抛物线对称轴不变，开口方向不变，经过两个定点（0，3）和（2，3），抛物线开口的宽窄随着a的绝对值的变化而变化。通过画图发现，但是M点只能位于对称轴x=1的右边且在（2，3）的上边，即x的取值范围是1

老师再给出另一种代数方法：交点M的坐标则是y=x+2y=ax2-2ax+3的解。解方程组可得：a=。 因为x>1，a<0，可以判断，1

从第（4）问中总结的方法是，求两个图像交点坐标的方法是求两个表达式组成的方程组的解。用含x的代数式表示a，根据a和x的取值范围，可以判断纵坐标的取值范围。

这个题较前几问，相对较难，学生没有思路，启而不发时，老师进行讲解，并进行方法总结。只要尖子生能理解即可。

【课后作业】

课后作业是课本上《二次函数》的课后练习。我们对整章练习题按照知识点进行归纳总结，相同知识点按题型进行了归纳总结，选出代表性的题作为课后作业，让学生再次回归课本。原来计划把这些练习题也进行改编，但是考虑到不同学生，能掌握的知识点不同，自己的薄弱环节也不同，还是把独立的练习让学生练习，让学生充分体会课本是复習之源，所有的考题都来自于课本，综合题高于课本。吃透砸实课本，才能在中考中立于不败之地。

在平时的复习中，我们会根据章节总结知识点，然后根据知识点编制例题，尽可能在一道题中，呈现更多的知识点。

例题中，前两个小题有助于学生深刻理解和掌握反比例函数定义、表达式、图像所在象限及增减性等基础知识和各个基础知识之间互相转化的基本技能。在第（3）问中，综合了锐角三角函数、菱形的性质，灵活考查了学生对解决“图像经过点”这一基本技能的掌握情况。第（4）中，综合了图像的平移，用一元二次方程根的判别式判断图像交点的情况，通过解一元二次方程求两个图像的交点坐标，以及比较两个函数大小时自变量的取值范围。后两问的设置，能借助反比例函数与其它函数、图形的结合，培养学生综合运用知识的能力，形成建立函数模型，用数学方法思考问题、解决问题等核心素养。

前两问为基础知识，要求所有学生必须掌握的。课上关注学困生。后两问相对较难，综合性强，中等及以上学生完成，交流结果后让尖子生讲解，发现他们的数学思维方式，及时发现思维问题或计算问题进行纠正。

大处着眼，小处着手是我们的复习指南。我们会不断努力，为提高学生的成绩而努力。