带有佩亚诺余项的泰勒公式的推证方法

沙萍

【摘要】在带有佩亚诺余项的泰勒公式教学中，提出与教材不同的探究问题：是否能拆分函数的一次近似公式对应的余项，分解出小的余项，得到函数精度高的近似公式？并以拆分余项作为“切入点”，采用探索式教学法，得出函数需要满足的条件和函数带有佩亚诺余项的二阶泰勒公式.由此引导学生猜想并推证出函数带有佩亚诺余项的三阶泰勒公式.观察函数满足的条件与得到的带有佩亚诺余项的二阶、三阶泰勒公式的形式之间的规律，利用数学归纳法，做出假设，再推证出函数带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式.

【关键词】佩亚诺余项;泰勒公式;探索式教学法;拆分余项

一、在泰勒公式推证中应用探索式教学法的意义

高等数学是我校在大学一年级开设的一门重要的公共基础课，其核心是函数的微积分理论与应用，是学生学习后继课、参加数学建模等课题研究活动及研究生升学考试所必备的数学基础.但是高等数学是一门理论性很强的经典课程，对初学者来说不容易理解和掌握.泰勒公式又是经典中的经典，被称为经典微分学的“皇冠”.如果按照教材的方法介绍带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式，学生对函数满足的条件及证明过程会感到费解.

为了解决上述问题，我在教学中采用探索式教学法，先引导学生回顾原有知识，从中提出需要探索的问题，培养学生的“问题意识”.再以问题为导向，寻找探索的“切入點”，启发学生创新思维，引导学生从简单到复杂、由特殊到一般进行探索.在探索实践中发挥学生的主观能动性，激发他们的学习兴趣和探究问题的好奇心.学生经历探究推证过程，能够自然而然地得出结论，并对带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式有了透彻理解.

二、带有佩亚诺余项的泰勒公式的推证方法

1.知识回顾

这表明，将函数f（x）展成带有佩亚诺余项Rn（x）=ο（（x-x0）n）的n次多项式，则展开式就是f（x）按（x-x0）的幂展开的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式.

这是利用间接法将函数展成带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式的理论依据.

综合上述推证，可得出教材上的泰勒中值定理1.

三、结 语

基于探索式教学法推证带有佩亚诺余项的泰勒公式是一种比较好的教学形式.它能激发学生自身的潜能，使他们对所学内容“知其然，也知其所以然”.同时锻炼他们应用数学思想和方法解决问题的能力，培养他们创新思维，提高他们的数学综合素质.“授之以鱼，不如授之以渔”.这是教师应该遵循的教学原则.

【参考文献】

[1] 周民强.数学分析（第一册）[M].北京：科技出版社，2014：223，225，228.

[2]同济大学数学系.高等数学（第七版）上册[M].北京：高等教育出版社，2018：113，138-139.