构建探究思路 培养推理能力

王桂华 余文奇

推理是得出数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证。培养学生的推理能力，既是落实学科核心素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。七年级下册的《平行线的性质》是学生对图形性质的第一次系统研究，也是培养学生推理能力的好素材。笔者以此内容的教学为例，谈谈初中生数学推理能力的培养。

一、不同推理形式的交融使用

教学中，教师要结合具体的内容引导学生选用不同的推理形式。

探究平行线的性质1（两条平行线被第三条直线所截，同位角相等）时，由于难以找到已有命题或结论做基础，教师可以引导学生采用操作确认的方式，通过归纳推理得到这个性质。有了性质1做基础，在探究平行线的性质2（两条平行线被第三条直线所截，内错角相等）时，学生可以同时采用两种推理形式进行探究，体验不同推理方法的特点。在探究平行线的性质3（两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补）时，有了性质1和性质2做起点，学生可以直接运用演绎推理来解决问题。

在这个过程中，学生结合具体的问题选用不同的推理方式，能感悟到推导结论时，要针对具体问题，看是否有恰当的结论或命题作为起点。如果有，就选择演绎推理;如果没有，就选择合情推理。还有的时候可以猜想出结论，再通过演绎推理进行论证。

二、经历完整的推理过程，掌握基本的推理方法

不同的推理都有其基本的方法，教师要引导学生经历完整的推理过程，感悟每种推理形式的基本方法，积累推理经验。

1.经历过程，掌握归纳推理的基本方法

归纳推理是以特殊的知识为前提推出一般性结论，应该通过一类或一些“特例”发现规律，不能简单地以一个特例得出结论。

如建构“平行线的性质1”时，学生已经知道了平行线的判定，以此作为起点，可以设计以下三个步骤，让学生经历完整的推理过程。

第一步，独立操作，通过一个特例，初步举证。课件出示图1。

学生猜测出同位角相等后，选用不同的方法进行验证。此时，每位学生都只选用了一种方法或图形进行验证。这个过程中，虽然每位学生只有一个特例，但是这个特例能让学生初步体会到自己的猜想是正确的。

第二步，全班展示，分享一些特例，进行归纳。在小组内交流验证方法的基础上全班展示：有的学生用度量的方法，用量角器进行测量;有的学生画出同位角后，通过剪纸，采用叠合法进行比较;还有的学生运用图形计算器画图，显示出同位角相等，而且每位学生的图形不同。在此过程中，虽然每位学生都只验证了一组同位角（个例）的关系，但是对于全班学生来说，所有的特例都有一个共同规律——同位角相等。由此可以归纳出性质1。

第三步，方法类推，探究一类特例，确认结论。学生小组合作，改变截线的位置，确认结论。学生可能作出多个图形，分别通过度量验证，也可能使用圖形计算器或计算机软件的相关功能让截线运动起来，发现不管怎样改变截线的位置，同位角的大小不变的数量关系。

这三个步骤，由特殊到一般，让学生体会到依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。

2.经历过程，感悟演绎推理的关键要素

演绎推理的关键要素是逻辑的起点、推理的形式、结论的表达。在教学过程中，教师要启发学生选用恰当的事实和命题作为推理的起点，用合理的形式进行推理，并正确地表述推理结论，从而感受推理要有理有据，形成严谨的推理思维。下面是某节课教学平行线的性质2的部分片段。

师：我们通过动手操作，归纳得到了平行线的性质1。你打算采用什么方法来研究内错角的关系呢？

生1：还是用研究同位角的方法，用测量来研究。

师：有没有不同的想法呢？

生2：因为之前证明过“两直线平行，同位角相等”，能不能用这条性质来证得“两直线平行，内错角相等”。

师：非常好！用已知的或者已经解决的问题的结论研究去解决新遇到的问题，是我们在学习过程中经常用到的方法。

在此，教师没有直接要求学生进行演绎推理，而是让他们选择合适的方法。通过交流，学生感受到，现在有结论可用了，可以进行演绎推理，从而形成了演绎推理的一般认知，也就是要有基本的逻辑起点，才能进行演绎推理。教师在黑板上完整地呈现问题：如图2，直线a∥b，c为截线，能推出∠1和∠2的关系吗？全班学生独立推理，一名学生板演。

板演的学生在图2中补充上∠3，得到图3，再进行推导。他直接将∠2=∠3作为条件，再由对顶角相等得到∠1=∠3，最后推出∠2=∠3 。

很明显，这位学生的推理出现了两个逻辑错误：一是逻辑起点的错误，忽略了两条直线平行是∠2=∠3成立的条件;二是推理结论的错误，本次是要推导内错角的关系，得到的结论却是同位角相等。针对学生的板演，教师引导学生辨析、交流，让学生感悟到∠2=∠3是在“a∥b”的条件下推理得到的，要将条件和结论完整呈现，并逐步分析推理过程，得到内错角∠1=∠2的正确结论。这样就清晰、简洁、正确地呈现了性质2的推理过程。

3.注重多种推理语言的转换，提升推理表达能力

推理表达的形式是多样的，有文字语言、符号语言及图形语言。教师在教学中，一方面要注重引导学生用不同的形式表达同一结论;另一方面，不管哪种语言，都要规范、简洁。

如上所述，在推理性质2时，教师引导学生运用四种不同的语言进行推理表达。首先是图形表达（如图2），接着是符号语言表达（如上述推理过程）。在学生用符号语言简洁、清晰地表达出推导过程后，教师引导学生口头表述，将符号语言转化为文字语言进行表述：因为直线a平行于直线b，所以同位角∠2等于∠3;又因为∠1和∠3是对顶角，所以∠1等于∠3;因为∠2等于∠3，∠1也等于∠3，等量代换，所以∠1等于∠2。这个过程将符号语言具体化，让学生深刻理解了符号语言表达的内涵。最后，教师要求学生用文字语言表达。在学生表述出“如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等”后，教师进行规范板书：两直线平行，内错角相等。

在不同语言的转化过程中，学生实现了从直观到抽象、具体到一般的转化，沟通了各种表达形式之间的联系，提升了推理表达能力。

（作者单位：黄冈师范学院）

责任编辑  张敏