Riordan矩阵与广义的Pell路

邱凯捷,杨胜良

(兰州理工大学理学院,甘肃 兰州 730050)

1 引言

许多学者从不同的角度对Pell数进行了研究.文献[1]用Riordan矩阵来计数三种不同的Pell路,且这些Riordan矩阵的行和就是Pell数.本文主要在文献[1]的基础上,对第3类Pell路添加新步伐,得到几种新格路,并得出相应的Riordan矩阵,以及这些矩阵行和满足的递推关系.下面给出本文要用到的定义以及相关定理.

Riordan矩阵的集合在其乘法法则下构成一个群.Riordan群的乘法法则如下:

引理 1.1[3-4]设 M=(g(t),f(t))为一个 Riordan矩阵,D=(d0,d1,d2,···)T是一个列向量,则M 和D的乘积也是一个列向量,且发生函数为

这里的d(t)是列向量D的发生函数.

由引理1.1可得以下关于Riordan矩阵的一条重要性质:

若Φ[i](t)表示A-矩阵的第i行的发生函数,Ψ[i](t)表示序列

的发生函数,则f(t)可以定义为

若Riordan矩阵M的第0列定义为

则g(t)可由以下公式得到

2 Riordan矩阵和 Pell数

本文利用Riordan矩阵的A-矩阵,讨论了Pell路满足的Riordan矩阵,及该矩阵的行和是Pell数,在此基础上将格路限制在对角线上方得出其Riordan矩阵的一般表达式.

设C是从(0,0)到(n−k,k)使用步伐为(0,1),(1,0)及(2,0)的格路组成的集合,C中的格路称做Pell路,cn,k是C中元素的个数.cn,k的前几项的值如表1所示:

表1 矩阵C的前几项的值

图1 矩阵C的递推关系

由图1可知cn,k满足如下递推关系:

利用引理1.2可得

因此可得如下结果:

其中f(t)是函数方程f(t)=1+tf2(t)+t2f3(t)的解.

表2 矩阵的前几项的值

表2 矩阵的前几项的值

nk 0 1 2 3 4 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 3 2 1 0 0 3 1 0 7 3 1 0 4 3 8 2 6 1 2 4 1

图2 矩阵的递推关系

同理可得

即 R[i](t)=0,S[1](t)=1+t,带入方程(7)得

即证

3 Riordan矩阵和广义的 Pell路

如图3所示,矩阵R的一般元满足以下递推关系:

图3 矩阵R的递推关系

移项合并得

因此可得如下结果.

其中R0=1,R1=2,R2=6,序列Rn的前几项如下:

1,2,6,17,48,136,385,1090,3086,8737,···(见文献 [7]中的序列 A077936).

其中f(t)是函数方程f(t)=1+tf(t)+t2f(t)+tf2(t)+t2f3(t)的解.

如图4矩阵S的递推关系如下:

图4 矩阵S的递推关系

利用引理1.2可以得到矩阵S的形式如下:

因此可得如下结果.

其中S0=1,S1=2,S2=6,序列Sn的前几项如下:

1,2,6,17,48,136,385,1090,3086,8737,···(见文献 [7]中的序列 A077936).

其中f(t)是函数方程f(t)=1+tf(t)+tf2(t)+t2f3(t)+t3f4(t)的解.