机会约束随机非线性互补问题的一个光滑近似

任咏红, 马晓嘉, 王佳丽

(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029)

随机非线性互补问题是近年来研究的热点问题之一.Zhang等人[1]将求解随机线性互补问题的期望残差极小化法推广到求解随机非线性互补问题,在适当的条件下,证明了解的收敛性.Lin等人[2]针对随机非线性互补问题提出了新的非线性互补函数及其误差界.Fukushima等人[3]将随机非线性互补问题重构为带有均衡约束的随机规划问题.Lin[4]对随机非线性互补问题提出了一种新的带均衡约束的随机规划方法,给出了基于惩罚函数的蒙特卡罗算法.

由于该类问题涉及的参数具有不确定性,这给数值计算带来很大困难.本文基于Fischer-Burmeister(F-B) NCP函数[5],将随机非线性互补问题重构为随机方程组,在一定的置信水平下,将其转化为机会约束随机非线性互补问题,使之以很大的概率成立.由于该类问题通常是非凸非光滑的,基于CHKS光滑和函数[6],构造光滑近似函数,证明光滑近似问题与原问题的等价性.

1 机会约束随机非线性互补问题

考虑随机非线性互补问题 (SNCP)：

找到x∈n,满足

x≥0,F(x,ξ)≥0,〈x,F(x,ξ)〉=0,

(1)

其中,F:n×k→n是连续函数,ξ:Ω→Ξ⊂k是定义在概率空间(Ω,Γ,Ρ)上的随机向量.

基于F-B函数

可将(SNCP)问题重构为下述随机方程组：

由于参数的不确定性,在数值计算上存在着诸多困难.考虑机会约束随机非线性互补问题(CCSNCP)：

找到x∈n,满足

Pr{H(x)=0}≥1-α,

(2)

其中,α∈(0,1)是置信水平.

式(2)变形为

Pr{H(x)≠0}=1-Pr{H(x)=0}≤α.

由于

又

Pr{φFB(xi,Fi(x,ξ))≠0}=E[1(φFB(xi,Fi(x,ξ)))],

对于i=1,…,n,记

pi(x)=Pr{φFB(xi,Fi(x,ξ))≠0}=E[1(φFB(xi,Fi(x,ξ)))],

则机会约束随机非线性互补问题(CCSNCP)变为

找到x∈n,满足

(3)

2 特征函数1{0}(z)的光滑近似函数

本小节基于CHKS光滑和函数构造了特征函数1(z)的光滑近似函数,并且证明了光滑近似问题与原问题的等价性.

考虑CHKS光滑和函数[6]：

对于t>0,定义函数:

及

记

由图1可知,当t和|b|充分小时,函数Ψ(z,b,t)是特征函数1(z)的一个光滑近似.

图1 函数Ψ(z,b,t)Fig.1 Function Ψ(z,b,t)

命题1对于t>0,b≠0,Ψ(z,b,t)∈(0,1),∀z∈.

证由于

要证Ψ(z,b,t)∈(0,1),只需证明

令

则有

下面讨论函数f(z)的单调性.对于b≠0，通过计算可得

(1)当z≥t时,有

(2)当0≤z

(3)当z<0时,有

综上所述,∀z∈,f′(z)>0.故对于∀t>0,f(z)

亦即Ψ(z,b,t)<1.

下面讨论函数Ψ(z,b,t)的下界.由函数表达式

知,Ψ(z,b,t)关于z是偶函数,故讨论z≥0的部分即可.对于t>0,b≠0,

故对于∀z∈,

即Ψ(z,b,t)>0,综上所述,对任意z∈,Ψ(z,b,t)∈(0,1).

下述定理说明了Ψ(z,b,t)是特征函数1(z)的近似光滑函数.

定理1对于任意的z∈,

证(1)当z=0时,

(2)当z≠0时,

当z≥t时,

当0

当-t

当z≤-t时,

3 机会约束非线性互补问题的一个光滑近似

对于t>0,b≠0,记

pi(x,b,t)=E[Ψ(φFB(xi,Fi(x,ξ)),b,t)],i=1,…,n,

建立相应的非线性互补问题：

找到x∈n,满足

(4)

下述定理描述了问题(3)与问题(4)的等价性.

定理2假设函数Fi(x,ξ),i=1,…,n是Carathéodory函数,则问题(3)与问题(4)是等价的.

证令z=φFB(xi,Fi(x,ξ)), 则由定理1及控制收敛定理可得

即问题(3)与问题(4)等价.