以核心素养为导向的错题教学

马洪超

【摘要】我们知道，错题教学是数学教学中的重要环节.学生通过错题教学，能够加深对知识的理解，提高分析和解决问题的能力，从而提升学科的核心素养.学生在解答问题时，解题正确，固然可喜，而解题出现错误，也不需要可悲.因为教师可将其作为最好的学习素材，和学生一起找到错误的原因，从而使学生的认知得到升华.正如心理学家盖耶所言：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”下面笔者通过分享自己的教学实践对此进行探讨.

【关键词】基本不等式;最值;定值;错题教学

人教A版数学必修5（以下简称教材）第三章第4节“基本不等式ab≤a+b[]2”中指出ab≤a+b2（a>0，b>0）是一个基本不等式，其在解决实际问题中有广泛的应用，其是解决最大（小）问题的有力工具.因此，本节课的重点（亦是难点）之一，就是让学生初步学会利用基本不等式求最值.我们通过解决教材第111页例1的两个问题，能够由基本不等式进一步总结出以下推论：

设x，y∈N+，x+y=S，xy=P，

（1）如果P是定值，则当且仅当x=y时，S有最小值2P.

（2）如果S是定值，则当且仅当x=y时，P有最大值S24.

我们知道，利用基本不等式求最值，除了x，y必须是正数外，还要注意两个方面：一个是要使积或者和是定值，另一个是要使等号成立的条件能够得到满足.这里，教师要意识到，这些在教师看来很“显然”的注意事项，学生却未必这样认为，就像会游泳的人对不会游泳的人说，应该怎样手脚配合、怎样换气一样，他们很可能对此一知半解，似懂非懂.为此，笔者设置了如下一道例题：

这种解法是错误的，虽然在意料之中，但笔者认为应该抓住这个机会，让学生从错误中吸取经验.于是，笔者迅速把两种解法抄在黑板上，问：“同学们，这两种解法给出的结果不一致，显然至少有一个是错误的，对吗？”多数学生经过短暂的思考，达成一致，认为解法2有问题.这还不够，笔者继续发问：“谁能说说解法2到底错在哪里了？”此时，学生开始热烈讨论，积极发言.甚至，学生甲由于找不到解法2的问题在哪，又在怀疑解法1有问题，但二者不一致的结果使其陷入了困惑之中.

学生乙对于解法2错误的原因是这样解释的：“如果将4xx-3看作是一个函数，即设g（x）=4xx-3（x>3），那么g（x）=4+12x-3在（3，+∞）上是递减的，显然没有最小值.因此虽然有f（x）≥2g（x），但f（x）的最小值不能用g（x）的最小值来求.”

笔者马上发问：“既然这样，我们如果把条件改成3

学生乙陷入沉思，学生丙马上指出27不对并说：“因为当x=7时，f（7）=8，此时f（7）>2g（7）=27，不等式没能取到等号，也就取不到这个最小值了.”

笔者对学生丙的说法给予了肯定，接着将解法2进行了如下编号：

接下来，笔者请学生逐步检查，找出到底哪个环节的推理是错误的.有的学生认为是②，有的学生认为是④，但很快被大家一一否定，从而把目光聚焦在了从④到⑤的推导上.由④能否得到⑤呢？笔者指出之前学生乙的“函数思想”很好，不妨让这个问题更加直观——画图像！笔者打开多媒体，利用几何画板，很快就得到了y=f（x）和y=2g（x）的图像如下：

此时，学生恍然大悟，原来，y=f（x）的图像的确恒在y=2g（x）的上方，当x=4时，解法2的步骤②中的基本不等式取到等号，这个结论本身是没有错的，从图像上看，它描述的是y=f（x）与y=2g（x）的图像的切点，但是，这并不是y=f（x）的最低点，所以不能用这样的方法求f（x）的最小值！笔者引导学生再进一步思考，同样是使用了基本不等式，为什么解法1就是正确的呢？显然，区别在于解法1的不等式右边是一个定值（常数）：x+4x-3≥2（x-3）·4x-3+3=7.

设h（x）=7，作出图像：实际上，当凑出了定值，不等式一边为常数，其图像是一条水平的直线，这条直线与y=f（x）的图像的切点也必然同时是该图像的最低点！所以，这就解释了我们为什么要在求最值的时候想办法“凑定值”.

学生豁然开朗，愉悦之情溢于言表，那是解除了困惑的释然，是探寻到真理的成就感.乔治·波利亚说：“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面.通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路，学生可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力.”实际上，不单是针对正确的解法，对于自己或他人錯误的解法的纠正与反思，往往更能够深化理解，发展思维.

我们常说：知其然，还要知其所以然.在这里，我们不妨再加上一句：知其不然，也要知其所以不然.

【参考文献】[1]马旭光.“说错题”教学：课堂因错误而精彩[J].小学教学设计，2016（32）：62-63.

[2]魏民.“基本不等式的证明”教学设计与反思[J].中学数学教学参考，2016（16）：8-9.

[3]俞杏明.也谈基本不等式求最值的一个教学困惑的突破[J].中学数学研究，2017（7）：25-26.

[4]李建华.普通高中课程标准实验教科书A版·数学5（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.