拓扑优化方法的力学超材料设计研究

王学斌

（中北大学理学院，山西 太原 030051)

众所周知，人类文明得以进步的关键，便是认识和改造世界，从微观视角来看，微结构固有拓扑形貌满足设计条件，这也给设计人员带来了全新的挑战，即在力学指标特定的前提下，如何完成相关设计工作。在此背景下，强调晶格分布的点阵结构组应运而生，该结构可对裂纹延伸方向进行改变，避免不必要的问题。

1 拓扑优化方法

历经数十年的发展，现阶段，拓扑优化已经成为设计领域常用方法，通过优化结构内部材料分布路径的方式，在减少材料用量的基础上，使设计人员拥有可供参考的全新构型。

一般来说，拓扑优化所采用思想与数学优化相似，均以数量确定的材料为基础，结合特定设计区域，对其进行拓扑分布，确保设计所得结构具备良好物理性能，如流通性、刚度、散热性等。事实证明，在设计空间的大小上，拓扑优化较形状优化、尺寸优化更加占优，这是因为设计人员现有经验给优化效果所带来影响可以忽略不计，随着设计空间得到拓展，设计所得拓扑构型描述，自然较之前更加新颖而优质。

下文着重介绍了实证有效的拓扑优化方法，供相关人员参考。

（1）变密度法。从描述设计空间内部材料分布情况的角度出发，以有限元框架为依托，将设计区域分为数个单元，再利用黑白像素对单元是否有材料分布进行描述，通过将材料分布问题向整数规划问题进行转化的方式，降低设计难度。设计人员需要明确的是，利用该法进行数值求解时，设计变量带来的影响往往十分直观，仅有小规模问题适用。要想扭转上述局面，关键是改变设计变量密度，确保材料分布得到有效控制，这也是本文所采用方法的原型。实践结果表明，该法较易出现的问题，主要是有棋盘格现象存在，由于连接不同单元材料的载体是节点，对材料进行如此分布时，相关人员并未将节点刚度考虑在内。局部密度过滤可使该现象得到有效消除，另外，具有相同功效的方法，还有灵敏度过滤、双向渐进优化等，设计人员可酌情对其进行选用。

（2）节点密度法。利用变密度法对单元材料进行优化的过程，通常不具备连续性，这也是优化结果拥有锯齿状边界的主要原因，将优化载体由单元向节点进行过渡是大势所趋。基于该法所设计变量，通常在单元节点进行分布，设计人员可借助材料分布插值，对材料分布和属性加以明确。早期，节点密度法所依托单元为四边形单元，这样做虽然使棋盘格效应得到了有效消除，但仍有亟待解决的问题存在，即孤岛效应。关于该问题实证有效的解决策略有两个，分别是利用平均密度对其进行改善，还有非局部密度插值，二者均强调对设计变量点进行科学利用，在对材料分布情况与结构边界进行捕捉的前提下，通过精简有限元扩展步骤的方式，提高优化效果。

2 力学超材料设计

2.1 确定材料插值模型

近几年，力学超材料逐渐为越来越多人所熟知，对其进行横向单轴拉伸，通常会有纵向膨胀变形的情况出现。由此可见，在力学属性方面，该材料与常规材料存在明显差异，这也是运动、生物医学等领域对其进行运用的主要原因。另外，在剪切变形的抑制、使材料具有理想断裂韧性、对声能进行吸收等方面，该材料也有十分优异的表现。

现阶段，围绕超材料设计展开研究的侧重点，普遍集中在负泊松比设计上，当然，超材料结构及特征也有所涉及，如果以负泊松比对应微结构为参照物，手性微结构能够旋转变形的原因，主要是基带可以旋转，受外载荷作用影响，上文提到的旋转机制可使结构实现连锁变形，结构吸能性能往往能够得到充分发挥。但要明确一点，现有结构的设计基础均为韧带结构，研究领域尚未向拓扑优化设计延伸，这便是本次实验的开展背景。本文设计内容以孔洞、强材料和弱材料为主，设计人员选择利用插值模型，对材料选择进行描述，而杨氏模量为：

其中，E/EH/ES对应单元插值弹性模量/强材料模量/弱材料模量。对应设计变量实际密度的数值。在惩罚系数≥3的前提下，表明单元存在材料分布，表明单元所选择材料为强材料，则表明单元所选择材料为弱材料。由此可见，单元弹性模量需要满足的关系为：

2.2 优化列示

设计人员考虑到手性拓扑构型对后续环节的重要性，遂决定将初始拓扑缺陷引入设计区域，虽然现有模型已经能够获得相对完善的拓扑构型，由于所得微结构所具备特征仅局限于异性材料，要想将拓扑结果向同性材料和正交材料进行延伸，有目的性地引入对称约条件很有必要。

2.3 实现数值

设计人员结合实践经验，将数值实现流程归纳如下：第一步，初始化设计变量；第二步，经由上文提及模型插值，确定材料的杨氏模量，这里提到的材料，其坐标点位于单胞空间；第三步，确定目标函数与灵敏度，在借助移动渐近线，确保设计变量可得到同时更新。通过不断重复上述迭代过程的方式，确保其无限接近收敛准则。

2.4 进行数值算例

首先，由设计人员对各项异性和超材料进行设计，并比较同性结果与正交结果；其次，对优化结果做周期阵列处理，通过有限元分析的方式，得出相应结论；最后，以三维组装设计为切入点，借助仿真分析法，确定同性结果的变形特征。

本文所讨论超材料的设计，通常要运用到泊松比。在确定弱材料泊松比、强材料泊松比和弹性模量的基础上，利用平面应力单元，对设计区域进行离散处理。设计人员综合考虑多方因素后，将材料泊松比设定为0.3，弱材料弹性模量为2GPa，而强材料弹性模量为10GPa。

要想确保优化结果有手性拓扑构型与之对应，在条件允许的前提下，设计人员可选择对初始拓扑构型进行引入，通过诱导的方式，形成相应材料布局（如图1），其中，红色对应材料分布情况，白色则指代孔洞。

2.5 仿真验证

在验证手性微结构时，设计人员选择借助有限元软件，对多材料微结构模型加以确定，随后，利用实体单元，对周期结构进行离散处理。

要想对等效泊松比的固有属性进行确定，一方面，要将位移载荷施加于竖直方向；另一方面，要对竖向自由度、位移自由度加以约束。与此同时，设计人员考虑到结构较易出现整体偏移的特征，遂决定在水平方向对额外约束进行施加。待上述工作告一段落，便可借助现有软件完成仿真验证。

2.6 手性超结构

设计人员借助三维组装方法，对手性超结构、手性单胞进行了设计，具体方法如下：首先，通过旋转手性拓扑构型的方式，获得圆筒结构；其次，在竖直方向上，对8层周期列阵进行加设，确保底面节点对应自由度可受到固定约束；最后，通过施加轴向载荷的方式，获得相应结构。研究表明，该结构兼有以下特性：其一，负泊松比；其二，受轴向载荷影响而旋转。

3 其他设计方法

图1 拓扑优化初始构型

以密度拓扑优化为基础，对梯度点阵进行并发设计，其优势主要是无须利用微结构对灰度单元进行解释，设计人员往往更倾向于借助孔隙率约束与材料覆盖约束，完成微结构及宏观拓扑形态的设计工作。研究表明，如果以均匀点阵结构为参照物，多层点阵结构的优势主要表现在以下方面：其一，刚度更加接近理想水平；其二，该结构能够使自支撑设想成为现实；其三，无论是均匀点阵结构，还是实心结构，在极限承载力方面，均与梯度结构有较为明显的差距。但要明确一点，本文所讨论内容均以线弹性假设为前提，设计对象多为二维结构，无法完全匹配三维构型。由此可见，在未来一段时间内，设计人员的工作重心将逐渐转向对非线性、三维结构和多物理场进行设计上，以增材制造方案为依据，通过对缺陷加以引入的方式，获得结构力学性能相关数据。

4 结语

通过上文的叙述能够看出，微结构固有等效力学属性较易被诸多因素所影响，例如，材料组分占据百分比、泊松比、剪切模量、体积模量。与此同时，上文所提及力学属性，除特殊情况外，均可经由同性约束或施加正交的方式，达到调节的目的。另外，设计人员还通过组装的方式，获得了拉扭转耦合突出的超结构，这表明该方法可向设计新型微结构的领域进行延伸，确保设计所得材料具备指定性能。