高中生数学思维能力的培养策略

董裕华

【摘要】数学与思维紧密相连，数学在人的理性思维形成过程中具有不可替代的作用。数学思维带给人数学的表达方式，是数学素养的灵魂。培养数学思维能力，既需要教师发挥主导作用，通过开放式提问、刨根式备课、关联式变题、落地式命题等方式给学生提供可能;也需要学生自身的努力，通过主动“说数学”、巧画结构图、认真做反思、自主出考卷等方式主动提升。

【关键词】数学思维能力;价值定位;培养策略;高中数学

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2021）03-0032-06

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“2017年版课标”）指出，数学教育“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”。这“三会”是数学核心素养的外在表现，其核心是“数学思维”。离开了数学思维，就无法用数学的眼光观察世界，也不可能用数学的语言表达世界。数学思维是数学能力之“核”，是数学教学的重要任务。

一、培养数学思维能力的价值定位

中小学为什么要学数学？学习数学有什么用？学生应当学什么样的数学？这些问题都曾引发全国上下的热议。那些反对将数学列入高考的人们，他们不见得是认为数学不重要，只是觉得数学教学的内容、方法需要改进。也有一部分人则是过于追求数学的“实用”价值、追求学习的功利价值。适度追求数学的工具价值可以促进数学水平的提升和数学事业的发展，它与发展数学思维并不矛盾。

相比其他学科，数学在启迪、培养和发展人思维的深度、广度、系统性等方面具有独特的优势。2017年版课标指出：“数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。”数学教学就是要让数学学习者的思维方式具有“数学味”。

数学教学必须教会学生数学的思维，教会学生数学的思想观念。否则，学得再多、考得再好，数学素养也不见得高，数学思维能力也不见得强。同时，也要防止另外一种倾向，把知识、技能、能力、素养等分级，轻视知识，弱化知识教育，这种思想和行为是危险的，也是违反规律的。因为思维需要载体，数学思维、数学素养以数学知识和数学技能为基础，没有基本知识、基本技能，数学思维和数学素养就成了无源之水、无本之木。能力、素养的提升反过来又促进知识、技能的掌握。知识、技能与能力、素养都很重要，没有明确的先后与层次之分，几个方面相辅相成、相互促进、相得益彰，是一个不可分割的整体。好的数学教学一定是在数学知识和技能的习得过程中培养和发展学生的数学思维;又通过数学思维的发展和提升，为数学知识和技能的获取提供更好的保障，促进数学知识、技能、能力、素养的平衡协调发展。数学思维能力的培养应当贯穿于知识、技能、能力、素养习得的全过程。

二、教师在培养数学思维能力中的主导作用

1.开放式提问。

开放式问题的答案不唯一，解决的方法也不唯一，学生可以从不同角度观察和思考问题，可以用多种方法解决同一个问题，也可以根据自己的能力得到不同的结论。这对数学教师具有较大的挑战性，因为数学的大多数问题具有结果确定性。只有教师巧妙设计，开放式提问才可能实现。教师还可以通过追问帮助学生暴露思维过程，发现薄弱环节，优化思维习惯。另外，学生主动提问题也是开放式提问的补充，学生主动提问就意味着他在积极地思考。教师经常发出“你还发现了什么问题？”“你能否给出类似的问题？”等信号，让学生产生认知的不平衡，促使他们不断地思考、反省和提升。

2.刨根式备课。

很多教师在下课前都会问上一句：“大家还有问题吗？”听到学生异口同声地说“没有！”的时候，特别有成就感。实质上，“没问题”只是假象，真正的问题被掩盖了。教师在课堂上不能做“睁眼瞎”，要根据教学情况随时做好调整，但同时更需注重备课，尽可能地把问题考虑得更细致周到，避免课堂上的“手忙脚乱”。

比如，苏教版高中数学选修2-2“导数的概念”中“平均变化率”的例题3：

已知函数f（x）=x²，分别计算函数f（x）在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率。

课本给出的解答如下：

学生解题时，前两小题的完成速度很快，而完成后两小题的速度却越来越慢。为什么呢？

因為前两小题中的数据为整数3和2，平方的时候比较顺当;后两小题的数据不再是整数，依然套用前两题的方法，直接进行1.1，1.001的平方运算，速度自然慢了下来。

但从结果看，在[1，1.1]，[1，1.001]上的平均变化率分别为2.1，2.001，后者恰好是区间端点值之和，这是偶然还是必然？

也就是说，猜想是正确的，课本上省略了平方差公式应用的详细过程，而这又恰恰是思维的重要节点。没有教师的深挖，很多学生会糊里糊涂。如果教师再画出辅助图，就能帮助学生发现平均变化率就是经过两个端点的直线的斜率，也就是抛物线割线的斜率，当割线的两个端点越来越近的时候，割线就趋近于切线。尽管这个内容不是本节课的重点，但教师必须清楚题目的命制意图。教师恰当的引导可以丰富学生的思维内容，点燃思维火花，让学生不断发现新问题，增强求知欲，产生继续学习的动力。

3.关联式变题。

变式是通过变更问题的情境或改变思维的角度，变换问题的条件和结论，变换问题的形式，在保持其本质特征不变的情况下，使事物发生变化。变式教学是在教学过程中，通过变更知识的非本质特征，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，理解知识的发生、发展过程;从“不变”的本质中探究“变”的规律，理解数学问题的演变过程，帮助学生多角度理解学习内容的本质属性。

变式教学，既是提高课堂教学效率的有效途径，也是改善学生思维品质的有效手段，为众多教师所青睐。变式教学主要有三种方式：一是一题多解，对同一道题，从不同的角度、不同的思路出发，采用不同的方法和不同的运算过程去分析求解的练习活动;二是多题一解，对涉及的数学思想方法大致相同或相似的问题进行归类，吃透一道题，就可以掌握一类题的解法;三是一题多变，通过增加问题背景，增大发散程度，对某个问题进行引申、发展和拓宽，引导学生在变化比较中提升思维能力。一题多解，拓宽了解题思路，引导学生全面观察、思考问题，提升发散性思维能力;多题一解，侧重于寻求一类问题的“通性通法”，突出聚合思维，帮助学生进行方法归纳，主动悟出不同问题的共性解法，减少不必要的学业负担;一题多变，通过不同的思考角度、不同的解题策略，发展学生观察、想象、探索能力，提升思维的灵活性。

例如，2014年中法中学生数学交流活动试卷第6题：

如图1，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（-4，2），B（2，-6），C（3，6），D（1，2）。请在图中画出这个平面直角坐标系，并叙述你的作法。

本题打破了常规设计的束缚。命题者没有采用常规的在坐标系中找点的坐标的方法，也不允许学生只凭自己的意愿建立坐标系，改变了学生的思维习惯，对学生数形结合的能力也是一次很好的检验。

真正好的题目，一定可以“借题发挥”，可以借助一题多解、多题一解、一题多变，来多层次、广视角、全方位地做认识和研究。但在实际操作中，要注意三个问题。

一是变式不能偏离教学目标，不能为“变”而“变”。变式教学要充分发挥教师的引导、指导作用，要将变式控制在学生知识、能力和思维基础许可的范围内。对预设外生成的问题，要及时作出价值判断，不能“信马由缰”，防止影响教学的综合效果。

二是变式的选择要具有典型性。变式的选题要精挑细选，既要有利于学生打开思路，展开联想，又要有利于举一反三、触类旁通，帮助学生透过现象看本质，达到“以少胜多”的目的。

三是总结提升要及时。通过总结，提炼出一般性的结论和带有普遍意义的方法。学生思维的改善不可能一蹴而就，需要不断地进行比较学习和关联思考，在对立统一中同质叠加、异质互补，拓展思维的深度和广度，提升思维的品质。

4.落地式命题。

目前，国内数学试题与实际生活联系不够紧密、问题情境不接地气的现象还相当普遍，这也是很多人感到“数学没用”的重要原因。2017年版课标把基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想并称为数学的“四基”。数学基本活动经验是学生直接或间接经历数学活动过程而获得的经验，它既能让学生感受到数学学习的价值和乐趣，又能培养他们主动运用数学知识的意识和能力，激发他们数学高阶思维，在实践中丰富数学思维的形成和发展过程。

考察数学基本活动经验，PISA的理念值得我们借鉴。PISA数学测试非常重视学生在实际生活中的数学能力，期望激活学生自身的数学知识和数学能力去解决现实问题，并做出有理有据的数学判断和决策，其背后支撑的还是数学思维。

例如：下面这道PISA测试样题就考察了学生对国防预算数据的解读能力。

某个国家1980年的国防预算为3000万美元，该年度预算总额为5亿美元。第二年的国防预算为3500万美元，预算总额为6.05亿美元，并且知道这一财政年度的通货膨胀率为10%。

（1）如果你被邀请为一个和平协会作报告，你将怎样解释国防预算下降了？

（2）如果你被邀请为一个军事学会作报告，你将怎样解释国防预算增加了？

本题不仅要求解数据结果，还要主动进行不同角色的转换，从不同立场选择不同角度，进行数据的解读。这样的思维已经不是数学认知的要求，但以数学思维为基础，理解和解释社会现象，对增强学生辩证思维能力、形成健全人格还是非常有益的。

用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界，这些理念在PISA试题中得到充分体现。PISA试题适当还原生活的本来面貌，既让学生感受到数学“有用”，增强数学学习的成就感，又让他们提升自主筛选信息的意识和能力，这种能力就是数学核心素养中的“数据分析”，帮助学生“增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验”。

三、学生在培养数学思维能力中的主体地位

1.主动“说数学”。

自我解释是一种积极主动的认知建构活动。学生在学习过程中对所学内容做出解释，以此来理解新的信息。数学中的自我解释以数学交流的方式进行，也就是通常所说的“说数学”，即学生用自己理解的数学语言来阐述对所学数学知识、数学问题、数学方法的认识、选择与理解。

“说数学”的过程，就是展示思维的过程，需要言说者梳理思路、组织语言、恰当表达。自己的思路不流畅，想把别人讲懂并非易事，“说数学”的过程，也是暴露自身薄弱环节的过程，无论是知识点，能力点，还是思维转接点，都可能存在问题，只有发现问题，才能有针对性地查漏补缺。“说数学”的过程，还是合作交流的过程。师生之间、同学之间的讨论交流、各抒己见，可以相互启发、相互补充，取长补短;可以突破原有思维的束缚，纠正错误偏差，拓展思维空间。

美国学者布朗（S.Brown）与瓦尔特（M.Walter）提出了问题解决的“否定假设法”，即“What-if-not（如果不是这样的话，那又可能是什么）”策略，让学生回到原问题，自己想，自己说，通过发散思维发现和衍生出更多新问题，说开了就是变式练习，只是由教师主导变成由学生自主“开发”。它的好处是更好地激发了学习興趣，培养了发现问题的能力，让学生的数学思维朝着灵活、开放、创新的方向发展。但学生提出的问题良莠不齐，有的比较肤浅甚至存在错误，这就需要教师敏捷的思维能力、扎实的专业功底和较强的协调能力，否则课堂容易失控，教学任务也难以完成。

2.画结构图。

学生经常有两个困惑：一是有些问题在初中时没有弄明白，到了高中，突然开窍了;二是有些问题平时会做，到了期中、期末考试时却突然想不起来了。其实，这两个问题的答案都非常简单。之所以学生到了高中就觉得初中数学容易，是因为在高中学习的很多内容里，不知不觉地又将初中的许多数学知识重复了一遍，学生把过去没有搞清楚的知识点弄通了，也就达到了“学会”的要求。有些问题平时会做，是因为每天完成的作业与课堂讲授的内容相配套，即使没有听课，看看课本例题也能明白七八分。同样的学习任务，有的学生掌握了原理和方法，有的主要靠机械模仿。平时看不出差距，考试时要在自己的知识仓库里搜寻到对应的方法和策略差距就很明显，不知所措、无从下手的大有人在。

美国学者大卫·珀金斯把这种知识掌握不到位的情况称为“脆弱知识综合征”。要摆脱“脆弱知识综合征”，真正理解知识，灵活运用知识，提升数学学习的品质和效率，就必须抓住核心概念，理清概念的相互关系，把相关知识附着到概念网络上，形成思维导图。思维导图可以把隐性知识显性化，直观、有效地呈现知识间的关联;也可以把抽象思维形象化，展示学生的思维过程，给思维训练提供有效方法。思维导图不要“为做而做”，画“知识树”的方法可能更适合于平时的过程学习，学生可以随时添加整理，对学习起点的要求也不高，只要自己能看懂就行。“知识树”有三种：一是以知识点为生长点，厘清知识点之间的关联;二是以题目为连接点，本质上是变式练习;三是知识点与相应题目穿插。

3.认真做反思。

反思是对自身思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程，是一种积极的思维活动和探索行为。数学家波利亚把解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划和解题回顾四个步骤，回顾已完成的解答是数学学习中一个重要且有启发性的阶段。每道经典题解完以后，都可以对自己提出许多有用的问题：关键在哪里？主要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有察觉到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识，应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？这些问题都是重要的思维源。对“回顾”而言，无须专门时间，在每个学习任务完成以后都可以进行。成功之处需要总结，通过多角度观察和联想，找出更多的思维通道，找出更多的关联问题，达到“由一题会一片通一类”的目的;失败之处更要总结，出现思维障碍不可怕，可怕的是对思维障碍听之任之，满足于听懂了，而没有真正找到思维障碍的根源和解决问题的办法。

笔者曾提出“渔网理论”：如果把每次练习看成是一次捕鱼，那么每次总结反思就如同一次“修补渔网”。发现漏洞不修补，下次捕鱼时鱼照样会从漏洞里逃跑;发现漏洞及时修补，通过三年努力，渔网一定会非常结实。这张渔网既是知识网，也是能力网、思维网，思维把知识点连接起来。不少学生对基础知识不求甚解，对基本训练嗤之以鼻，对总结反思不当回事，期望通过刷题、刷难题获得进步，把大量时间耗费在题海里却劳而无功，就是因为没有及时修补渔网。

所以，反思的过程承载着多重使命，既要整理学习思路，又要调整思维结构、优化思维方法，还要提升思维品质。总结反思可以让学生的思维从经验层面上升到理性认识，通过提炼、概括、感悟，进入思维的更高阶段。

4.自主出考卷。

学生在教师指导下自主命制试卷，也是发展学生数学思维的有效路径。

每学期期末考试前一个月，我们都布置学生出一份模拟卷，告诉他们所涉及的各个知识点的分值占比、难度要求，让学生结合自己对所学知识的理解，回忆平时教师强调的重点，兼顾自己平时的易错点，可以参照现成资料，也鼓励自编原创，要求试卷中既有课外题，又有课本题，还要有平时的作业题、练习题;既有难题，又有容易题，尽可能把自己平时没有解决的问题放进去，并且按难度顺序排列;既考虑知识的覆盖面，又突出重点，还要给出评分细则。

试题命制完成以后，送请同桌“校对”。校对者除了对知识点分布和文字表达进行审核，防止出现科学性错误以外，还要审查试卷有无明显的偏题、怪题，评分细则是否合理。

接下来，全班学生“推磨”答题，命题者为试卷评分。解答者还要根据自己的答题体验对整份试卷的命制质量，包括命题范围、知识点覆盖面、难度、容量等方面进行评估。最终，结合期末考试情况一并考核评比，解答者评价较高、解答者的期末考試得分与命题者评分差距较小的试卷评为优秀试卷，出现与期末试卷关联度较大的题目评为优秀试题。优秀试卷和试题的得主会获得假期的书面作业减免一半的奖励。

实践证明，这些举措既调动了学生学习的积极性，又培养了学生的数学思维能力。命题周期长，给学生相对充足的酝酿时间，也给他们自我整理、消化、复习的时间。命题过程中，学生的工作量很大，既要吃透命题要求，又要翻阅作业资料，筛选适合题目，还要制订评分细则，每个方面都彰显着数学思维。学生自主钻研的热情很高，主人翁责任感很强，尽管允许使用现成试题，但绝大多数学生还是以模仿、改编、变式的方式来命题，每个人都争取表现得最好，数学思维能力特别是高阶思维能力得到很好的训练，达到教育无痕的效果。