函数中存在性与恒成立问题概述

高慧明

函数内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点. 在新课标下的高考越来越注重对考生的综合素质的考查，恒成立与存在性问题便是一个考查考生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用. 近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分. 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法;②分离参数法;③主参换位法;④数形结合法等.

一、函数性质法

【例1】（1）已知函数f（x）=x2-2ax+1，g（x）=■，其中a>0，x≠0.若对任意x∈[1， 2]，都有f（x）>g（x）恒成立，求实数a的取值范围;

（2）已知两函数f（x）=x2，g（x）=（■）x-m，若对任意x1∈[0， 2]，存在x2∈[1， 2]，使得f（x1）>g（x2），求实数m的取值范围.

【分析】（1）根据题意条件中的x是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数f（x）>g（x）>0恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题.

（2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数f（x）和g（x）分别求出它们的最值，再根据只需满足f（x）min ≥g（x）min即可求解.

【解析】（1）由x2-2ax+1-■>0？圯a<■成立，

只需满足？渍（x）=■的最小值大于a即可.

对？渍（x）=■求导，？渍′（x）=■>0，

故？渍（x）在x∈[1， 2]是增函数，？渍min（x）=？渍（1）=■，

所以a的取值范围是0

（2）对任意x1∈[0， 2]，存在x2∈[1， 2]，使得f（x1）> g（x2）等价于g（x）=（■）x-m在 [1， 2]上的最小值■-m不大于f（x）=x2在[0， 2]上的最小值0，即■-m≤0，所以m≥■.

【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性質解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 此法关键在函数的构造上，常见于两种——一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图像来分析，即体现数形结合思想.

【练习】已知f（x）=■x2+x，g（x）=ln（x+1）-a，若对任意x1，x2，x3∈[0， 2]，恒有f（x1）+f（x2）>g（x3），求实数a的取值范围.

【解析】f（x），g（x）在[0， 2]上都是增函数，所以f（x）的值域A=[0， 4]，g（x）的值域B=[-a， ln3-a]. 若对任意x1，x2，x3 ∈[0， 2]，恒有f（x1）+f（x2）>g（x3），则2f（x）min>g（x）max，即0>ln3-a，所以a>ln3.

二、分离参数法

【例2】已知函数f（x）=ax+xlnx的图像在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.

（1）求实数a的值;

（2）若f（x）≤kx2对任意x>0成立，求实数k的取值范围.

【分析】（1）由f′（x）=a+lnx+1结合条件函数f（x）=ax+xlnx的图像在点x=e处的切线的斜率为3，可知f′（e）=3，可建立关于a的方程：a+lne+1=3，从而解得a=1.

（2）要f（x）≤kx2使对任意x>0恒成立，只需k≥[■]max即可，而由（1）可知f（x）= x+xlnx，

∴问题即等价于求函数 g（x） = ■的最大值，可以通过导数研究函数 g（x）的单调性，从而求得其最值：g′（x） =■=-■，令g′（x）=0，解得x=1，当00，∴ g（x）在（0， 1）上是增函数;当x>1时，g′（x）<0，∴ g（x）在（1， +∞）上是减函数，因此g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，∴ k≥1即为所求.

【解析】（1）∵f（x）=ax+xln x，∴f′（x）=a+ln x+1.

又∵f（x）的图像在点x=e处的切线的斜率为3，∴f′（e）=3，

即a+ln e+1=3，

∴ a=1.

（2）由（1）知，f（x）=x+xln x，

∴f（x）≤kx2对任意x>0成立？圳k≥■对任意x>0成立，

令g（x）=■，则问题转化为求g（x）的最大值，

g′（x）=■=-■，令g′（x）=0，解得x=1，

当00，∴ g（x）在（0， 1）上是增函数;

当x>1时，g′（x）<0，∴ g（x）在（1， +∞）上是减函数.

故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，∴ k≥1即为所求.

【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于x取值范围内的任一个数都有f（x）≥g（a）恒成立，则g（a）≤f（x）min;若对于x取值范围内的任一个数都有f（x）≤g（a）恒成立，则g（a）≥f（x）max. 常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换为求函数最值.

利用分离参数法来确定不等式f（x， ？姿）≥0，（x∈D，？姿为实参数）恒成立中参数？姿的取值范围的基本步骤：

（1）将参数与变量分离，即化为g（？姿）≥f（x）（或g（？姿）≤f（x））恒成立的形式;

（2）求f（x）在x∈D上的最大（或最小）值;

（3）解不等式g（？姿）≥f（x）max（或g（？姿）≤f（x）min），得？姿的取值范围.

【练习】若x∈（0， ■]时x2+ax+2>0恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】分离参数a得a>-x-■，设f（x）=-x-■，则x∈（0， ■]时，f′（x）= -1+■>0，所以f（x）= -x-■在x∈（0， ■]时是增函数，所以f（x）≤f（■）=-■，a>-■.

三、主参换位法

【例3】已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=？姿f（x）+sinx是区间[-1， 1]上的减函数，（Ⅰ）求a的值;（Ⅱ）若g（x）≤ t2+？姿t+1上x∈[-1， 1]恒成立，求t的取值范围.

【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：？姿及t，那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数. 而根据本题中的条件特征显然可将？姿视作自变量，则上述问题即可转化为在（-∞， -1]内关于？姿的一次函数大于等于0恒成立的问题，问题即可求解.

【解析】（Ⅰ）a=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x，∴ g（x）=？姿x+sinx，

∵ g（x）在[-1， 1]上单调递减，∴ g′（x）=？姿+cosx≤0.

∴ ？姿≤-cosx在[-1， 1]上恒成立，

∴ ？姿≤-1， [g（x）]max=g（-1）=-？姿-sin1，

∴只需-？姿-sin1≤t2+？姿t+1，

∴（t+1）？姿+t2+sin1+1≥0（其中？姿≤-1）恒成立，

由上述②结论：可令f（？姿）= （t+1）？姿+t2+sin1+1≥0（？姿≤-1），

则t+1≤0，-t-1+t2+sin1+1≥0，

∴ t≤-1，t2-t+sin1≥0，而t2-t+sin1≥0恒成立，

∴ t≤-1.

【點评】某些函数存在性与恒成立问题中，当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度. 即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折;若转换一下思路，把待求的x为参数，以m为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数x应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.

【练习】若不等式2x-1>m（x2-1）对任意m∈[-1， 1]恒成立，求实数x的取值范围.

【解析】2x-1>m（x2-1）可转化为m（x2-1）-2x+1<0，设f（m） =m（x2-1）-2x+1<0，则f（m）是关于m的一次型函数，要使f（m）<0恒成立，只需f（1）=x2-2x<0，f（-1）=-x2-2x+2<0，解得■-1

四、数形结合法

【例4】已知函数f（x）=x2-2kx+2，在x≥-1恒有f（x）≥k，求实数k的取值范围.

【分析】为了使题中的条件f（x）≥ k在x∈[-1， +∞）恒成立，应能想到构造出一个新的函数F（x）=f（x） - k ，则可把原题转化成所构造新的函数在区间[-1， +∞）时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图像性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决.

【解析】令F（x）=f（x）-k=x2-2kx+2-k，

则F（x）≥0对x∈[-1， +∞）恒成立，而F（x）是开口向上的抛物线.

当图像与x轴无交点满足？驻<0，即？驻=4k2-2（2-k）< 0，解得-2

当图像与x轴有交点，且在x∈[-1， +∞）时F（x）≥0，

则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：

？驻≥0，F（-1）≥0，-■≤-1，解得-3≤k≤-2，

故由①②知-3≤k<1.

【点评】如果题中所涉及的函数对应的图像、图形较易画出时，往往可通过图像、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图像，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围. 利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图像. 常见的有两类函数：若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）大于0恒成立，则有a>0，？驻<0，同理，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）小于0恒成立，则有a<0，？驻<0. 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 其它函数：f（x）>0恒成立 ？圳f（x）min>0（注：若f（x）的最小值不存在，则f（x）>0恒成立？圳f（x）的下界大于0）;f（x）<0恒成立 ？圳f（x）max<0（注：若f（x）的最大值不存在，则f（x）<0恒成立？圳f（x）的上界小于0）.（对于f（x）≥g（x）型问题，利用数形结合思想转化为函数图像的关系再处理），这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.

【练习】设a≥1，f（x）=x|x-a|+■，若f（x）≥a对任意x∈[1， 2]恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】当1≤a≤■時，x|x-a|+■≥a显然成立;当a>■时，不等式可转化为 |x-a|≥■，作 y= |x-a| 的图像，使其图像在y=■（1≤x≤2）图像上方，可得

|2-a|≥■（a-■），a-1≥a-■，解得a≥■.

五、存在性之常用模型及方法

【例5】设函数f（x）=aln x+■x2-bx，a∈R且a≠1. 曲线y=f（x）在点（1， f（1））处的切线的斜率为0.

（1）求b的值;

（2）若存在x∈[1， +∞），使得f（x）<■，求a的取值范围.

【分析】（1）根据条件曲线y=f（x）在点（1， f（1））处的切线的斜率为0，可以将其转化为关于a，b的方程，进而求得b的值：f′（x）=■+（1-a）x-b，f′（1）=0？圯a+（1-a）-b=0？圯b=1.

（2）根据题意分析可得若存在x∈[1， +∞），使得不等式f（x）<■成立，只需■>f（x）min即可，因此可通过探求f（x）的单调性进而求得f（x）的最小值，进而得到关于a 的不等式即可，而由（1）可知f（x） = a ln x+■x2-x，则f′（x） =■，因此需对a的取值范围进行分类讨论并判断f（x）的单调性，从而可以解得a的取值范围是（-■-1， ■-1）∪（1， +∞）.

【解析】（1）f′（x）=■+（1-a）x-b，

由曲线y=f（x）在点（1，  f（1））处的切线的斜率为0，得

f′（1）=0，

即a+（1-a）-b=0，b=1;4分（2）由（1）可得，f（x）=aln x +■x2-x，

f′（x）=■+（1-a）x-1=■=■，

令f′（x）=0，得x1=1，x2=■，而■-1=■，

① a≤■时，■≤1，

在[1， +∞）上，f′（x）≥0，f（x）为增函数，（f（x））min=f（1）

=■-1=■，

令■<■，即a2+2a-1<0，解得-■-1

②当■1，

（f（x））min =f（■）=aln■+■+■>■，

不合题意，无解.

③当a>1时，显然有f（x）<0，■>0，∴不等式f（x）<■恒成立，符合题意，

综上，a的取值范围是（-■-1， ■-1）∪（1， +∞）.

【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立;二是间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可解决. 它的逻辑背景：原命题为“？坌x∈M，P（x）”的否定为“？埚x∈M，？劭 P（x）”;原命题为“？埚x∈M，P（x）”的否定为“？坌x∈M，？劭 P（x）”. 处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题.

【练习】已知f（x）=■x2+x， g（x）=ln（x+1）-a，

（1）若存在x1，x2∈[0， 2]，使得f（x1）>g（x2），求实数a的取值范围;

（2）若存在x1，x2∈[0， 2]，使得f（x1）=g（x2），求实数a的取值范围.

【解析】f（x），g（x）在[0， 2]上都是增函数，所以f（x）的值域A=[0， 4]，g（x）的值域B=[-a， ln3-a].

（1）若存在x1，x2∈[0， 2]，使得f（x1）>g（x2），则f（x）max > g（x）min ，即4>-a，所以a>-4.

（2）若存在x1，x2使得f（x1）=g（x2），则A∩B≠？准，∴ -a ≤4且ln3-a≥0，∴实数a的取值范围是[-4， ln3].

【本文系北京市教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的高中数学核心概念课堂教学的反思与重构研究”（编号：CDDB19238）阶段性研究成果】

责任编辑 徐国坚