基于相场模型的一维拉杆脆性断裂分析

袁集海 陈昌萍

摘   要：基于相场模型分析了受拉结构脆性断裂破坏，介绍了裂缝分布函数和能量耗散函数的构造，根据能量守恒定律推导了相场损伤模型控制方程，并采用交错数值计算方法对方程进行求解.通过对比一维无缺陷受拉杆数值解和解析解论证了数值解的正确性.随后模拟了含几何缺陷受拉结构和含损伤受拉结构断裂破坏，数值结果表明有限元数值模拟相场分析方法能够较准确地模拟破坏区应变局部化行为和脆性断裂.

关键词：一维拉杆;相场模型;脆性断裂;数值模拟

Abstract：Based on phase-field model，brittle fracture of the structures under tension is studied numerically. An introduction for construction of crack distribution function and energy dissipation function is presented. The governing equations for the phase field model are derived according to the conservation of energy and further solved by alternating minimization （staggered） algorithm. Good agreements between analytical solutions and numerical solutions of one-dimensional bar under tension validate the accuracy of analytical solutions. Numerical simulations of structures with geometric imperfection and predefined damage under tension are also presented. The numerical results show that deformation localization and brittle fracture in failure areas can be modeled accurately.

Key words：one-dimensional pull rod;phase-field model;brittle fracture;numerical simulation

上世紀末，Francfort和Marigo[1]基于能量最小化原理，提出了解决固体结构断裂损伤的变分方法. 该方法认为裂纹的出现和演化使总势能最小，其实质是从能量变分的角度对Griffith[2]脆性断裂理论的发展和推广，然而在连续介质力学框架下求解过程中仍然存在位移不连续带来的求解困难，该工作为二阶相场模型的建立奠定了理论基础. Bourdin[3]等在断裂变分方法的基础上，通过引入在0到1之间连续变化的相场变量来表征裂缝的起裂和延伸，同时引入裂缝宽度参数l来控制裂缝的弥散程度.随后，Miehe[4]等建立了与热力学自洽的二阶相场损伤模型.二阶相场模型的完善迅速吸引了一大批国内外学者的关注，为后续相场损伤模型的发展做出了重要的贡献. Borden[5]等提出了四阶相场损伤模型并采用等几何法对耦合方程进行求解，另外，还研究了动态脆性断裂[6]和塑性材料[7]断裂问题. 邓俊俊[8]采用无网格相场模型研究了复杂边坡破坏问题. 张飞[9]基于自适应移动网格方法优化了相场模型并模拟了水力裂缝延伸过程. 付禹铭[10]针对各向异性损伤相场模型提出了新的投影算子算法. 仇杰峰[11]和庄洛嘉[12]采用相场损伤模型研究了混凝土破坏问题.

相场损伤模型采用连续方法来描述不连续问题，与传统求解断裂问题方法相比具有一定的优势[13-14]. 本文以受拉结构为研究对象，采用相场损伤模型数值模拟了无缺陷杆、含几何缺陷杆以及含损伤杆应变局部化行为和脆性断裂行为.

1   相场损伤模型

2   结果与讨论

考虑如图2所示一维受拉杆，其长度L = 100 mm，截面面积A = 4 mm × 4 mm，左端固定，右端施加位移荷载u（L），不计体力. 若无特别说明，弹性模量E = 210 GPa;泊松比υ = 0.3;正则化参数l = 0.2 mm;断裂能释放率Gc = 2.7 × 10-3 kN/mm.本节通过三个数值算例分析一维受拉杆结构脆性破坏.

2.1   无缺陷受拉杆

对于如图2所示无缺陷受拉杆，由于应变和相场均匀分布，故可忽略控制方程中相场变量梯度项，即可得到解析解.图3给出了荷载位移曲线有限元解和解析解，其中，虚线为解析解，实线为有限元解. 对于有限元解，当位移荷载超过临界荷载后，曲线垂直下降到0，这是因为杆发生了脆性断裂，开裂后，内力立即减小为0. 而对于解析解，曲线上升阶段与有限元解保持一致. 另外，值得指出的是解析解曲线只有上升阶段才有意义，脆性断裂无软化阶段.

2.2   含几何缺陷受拉杆

本节第二个数值算例为含缺陷受拉杆，其长度为L = 10 mm，截面面积为A = 1 mm × 1 mm;中间部分为弱化区，长度为l0 = 1 mm，截面积为A′ = 0.9A，如图4所示. 由解析解可以得到临界位移荷载uc = 0.032 7 mm;加载过程荷载步长Δu = uc /2 000.

图5给出了含缺陷杆（实线）和无缺陷杆（虚线）荷载位移曲线，从图中可以看出曲线上升阶段二者保持一致，下降阶段无缺陷杆最大内力和临界位移荷载均大于含缺陷杆最大内力和临界位移荷载. 图6给出了不同荷载步n相场、应变和位移分布，其对应荷载位移点如图5所示. 当位移荷载较小（n = 500）时，相场和应变均匀分布，位移线性分布;当位移荷载接近临界位移荷载时，相场和应变开始局部化，

其分布集中在弱化区，且在该区位移不再线性分布.当位移荷载超过临界荷载（n = 1 889）时，在杆中点处发生断裂（相场在该点达到1，应变趋于无穷大，位移均匀分布：左侧位移为0，右侧位移为所施加位移荷载）.

2.3   损伤受拉杆

类似损伤力学中损伤变量的概念，可以将相场变量视作量化结构损伤指标.本节最后一个算例在杆中点预设相场变量，如图7所示. 其他材料参数和几何参数同算例2，荷载步Δu = uc /4 000.

图8给出了损伤受拉杆荷载位移曲线，由于杆在中点处发生了严重的损伤，损伤杆临界位移荷载和最大内力明显远小于无损伤杆临界位移荷载和最大内力. 图9给出了不同荷载步n相场、应变和位移分布，其对应荷载位移点如图8所示. 与含几何缺陷杆不同的是，位移荷载较小时，预设损伤变量会导致杆结构发生局部化现象，如图9所示.

3   结   论

基于相场模型，本文采用有限元数值方法通过三个数值算例分析了一维受拉杆在位移荷载下脆性断裂破坏.算例一模拟了无缺陷杆受拉断裂破坏，并将数值解与解析解对比，论证了数值解的正确性.算例二和算例三分别分析了含几何缺陷杆和损伤杆受拉破坏.计算结果表明有限元相场分析方法能够较准确地模拟破坏区应变局部化行为和破坏演化过程.

参考文献

[1]    FRANCFORT G A，MARIGO J J. Revisiting brittle fracture as an energy minimization problem[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1998，46（8）：1319—1342.

[2]    GRIFFITH A A. The phenomena of rupture and flow in solids[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London，1921，221：163—198.

[3]    BOURDIN B，FRANCFORT G A，MARIGO J J. Numerical experiments in revisited brittle fracture[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2000，48（4）：797—826.

[4]    MIEHE C，WELSCHINGER F，HOFACKER M. Thermodynamically consistent phase-field models of fracture：Variational principles and multi-field FE implementations[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering，2010，83（10）：1273—1311.

[5]    BORDEN M J，HUGHES T J R，LANDIS C M，et al. A higher-order phase-field model for brittle fracture：Formulation and analysis within the isogeometric analysis framework[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2014，273：100—118.

[6]    BORDEN M J，VERHOOSEL C V，SCOTT M A，et al. A phase-field description of dynamic brittle fracture[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2012，217/218/219/220：77—95.

[7]    BORDEN M J，HUGHES T J R，LANDIS C M，et al. A phase-field formulation for fracture in ductile materials：Finite deformation balance law derivation，plastic degradation，and stress triaxiality effects[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2016，312：130—166.

[8]    鄧俊俊. 基于相场模型的无网格损伤模拟[D]. 厦门：厦门大学，2017.

DENG J J. Meshfree failure simulations with phase field models[D].Xiamen：Xiamen University，2017. （In Chinese）

[9]    张飞.基于自适应移动网格及相场逼近的水力裂缝延伸模拟[D]. 北京：中国石油大学（北京），2018.

ZHANG F. A study on adaptive finite element solution of phase-field models for hydraulic fracturing[D]. Beijing：China University of Petroleum （Beijing），2018. （In Chinese）

[10]  付禹銘.基于相场法的脆性断裂数值模拟[D].成都：西南交通大学，2019.

FU Y M.Numerical simulation of brittlefracture based on phase field method[D].Chengdu：Southwest Jiaotong University，2019.（In Chinese）

[11]  仇杰峰.混凝土相场损伤模型与扩展有限元方法对比研究[D]. 广州：华南理工大学，2019：1—87.

QIU J F. Comparative study of phase-field regularized cohesive zone model and extended finite element method in concrete [D]. Guangzhou：South China University of Technology，2019：1—87. （In Chinese）

[12]  庄洛嘉.基于统一相场损伤理论的混凝土破坏全过程分析应用研究[D]. 广州：华南理工大学，2019：1—93.

ZHUANG L J Application study of unified phase field theory for modeling localized failure in concrete [D]. Guangzhou：South China University of Technology，2019：1—93. （In Chinese）

[13]  WU J Y，NGUYEN V P，NGUYEN C T，et al. Phase-field modeling of fracture[J]. Advances in Applied Mechanics. https：//www.researchgate.net/publication/326258921.

[14]  WU J Y. A unified phase-field theory for the mechanics of damage and quasi-brittle failure[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2017，103：72—99.

[15]  MIEHE C，HOFACKER M，WELSCHINGER F. A phase field model for rate-independent crack propagation：Robust algorithmic implementation based on operator splits[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2010，199（45/46/47/48）：2765—2778.