HPM视角下的高中函数概念教学对学生函数概念理解的影响

刘思璐 沈中宇 汪晓勤

(1.华东师范大学教师教育学院 200062；2.华东师范大学数学科学学院 200241)

1 引言

近年来，课例研究在改善教学、促进教师专业发展等方面的作用日益受到研究者的关注[1-4]. 其中，课例研究的实施效果是课例研究的研究主题之一. 可以将课例研究的实施效果分为帮助教师学习、改善课堂教学、促进课程实施、分享教学成果和融合理论与实践等方面，因此，通过课例研究改善课堂教学是课例研究的实施效果中重要的研究主题之一[5].

随着HPM课例研究的深入开展，实施HPM课例研究的效果日益受到人们的重视. 实践表明，在课堂教学方面，数学史有助于揭示知识之谐，促进数学理解[6]. 在HPM课例评价框架中，“价值的深刻性”是十分重要的维度[7]，但是，对于不同的主题，如何有效地检测HPM教学对学生理解的影响，是需要HPM课例研究者去解决的重要课题. 根据国际上HPM已有研究的相关启示，还需要进一步规范研究方法, 注重实证研究[8].

函数是中学数学的核心概念，关于学生对函数概念的理解，人们已经做了大量的实证研究. 有的研究者将学生在函数概念上的认知发展过程分为“作为算式的函数”、“作为变化过程的函数”和“作为对应关系的函数”三个阶段[9]，或“认识变量”、“突出关系”等六个层次[10]；有的研究者基于SOLO水平或APOS理论对函数概念的理解水平进行划分[11-12]. 尽管有研究表明，高中生对函数的理解与历史上数学家的理解具有一定的相似性[13]，但迄今很少有人借鉴函数概念的历史来刻画学生理解水平的变化过程.

鉴于此，本研究以函数概念的历史演进过程作为参照系，构建学生的函数概念理解的分析框架，在此基础上检测学生在HPM视角下的函数概念教学前后学生理解水平的变化. 具体的研究问题为：在HPM视角下的函数概念教学实施前后，学生在函数概念各理解水平上发生了哪些变化？ HPM视角下的函数概念教学中的哪些因素造成了学生的函数概念理解水平的变化？希望通过本研究，为函数概念的教学以及HPM课例评价的研究提供参考.

2 理论框架

2.1 函数概念的历史

早在公元前2000年，古巴比伦就有许多不同的表格用来汇编日、月、行星的星历表，这可以是看作早期的函数萌芽. 然而直到18世纪中期函数才被正式定义为新的、一般化的数学概念，以欧拉(L. Euler, 1707—1783)为代表的数学家在其专门论述函数的著作《无穷分析引论》(1748)中将函数定义为解析表达式. 到了1755年，欧拉在《微分学原理》又用“依赖于其他变量的变量”重新定义了函数[14]. 1837年，狄利克雷(G.L.Dirichlet, 1805—1859)在“用正弦和余弦级数表示完全任意的函数”一文中提到若两个变量之间存在对应关系，被唯一对应的变量就是函数[15]. 1939年，布尔巴基学派在《数学基础—集合论》一书中用“两个集合之间的单值对应关系”来定义函数，并论述了函数与序偶集的关系[16].

直到现代，函数概念也还在不断发展，在上述函数概念发展史中，值得注意的是四个代表性函数概念阶段，它们与现代中学数学的函数内容息息相关，按照历史序依次是“解析式”函数定义、“变量依赖”函数定义、“变量对应”函数定义、“集合对应关系”函数定义. 而且从函数概念史来看，其发展并不是推翻旧定义重构新定义的过程，而是为了研究范围更广的问题从而扩展其适用性的过程，最直接的证明就是后面的函数概念可以解释属于之前概念的函数.

但是对于函数概念的理解，一直是数学家和学生的难点. 比如函数概念发展到“对应说”时期，仍有许多数学家甚至是教科书采用“解析式说”和“变量依赖说”定义函数[17]. 国外有关研究也发现许多17—18岁学生的概念意象与欧拉的概念意象相一致，而不是与现代概念的定义相一致[18]. 通过了解函数概念发展的曲折历史，也许给出了其中的一些解释.

2.2 基于数学史的函数概念理解水平

对应于四个代表性的函数概念阶段，可以将学生理解划分为四个水平，如表1所示.

表1 基于数学史的函数概念理解水平

根据函数概念史每一阶段理解水平的特征和内涵，将函数概念的理解划分为4个水平，每一个水平对函数的解释都有其特点，并与已有的相关研究中的理解水平相对应.

3 研究方法

本研究对函数概念的HPM课例研究效果进行检测，基于已有文献，可以将HPM课例研究效果的研究设计分为三种类型. 第一种类型为通过对课堂中学生的参与和行为的反思获得学生学习发展的证据[19]. 第二种类型为通过对学生课例前后的测试展示学生学习的发展[20]. 第三种类型是通过学生学业成就的标准测试说明课例研究对学生学习的长期和大规模影响[21]. 本研究采用第二种类型的研究设计，在此类型的研究设计中，有研究采用实验组与控制组的方法进行准实验研究[22]，也有研究采用案例研究的方法关注学生在课例研究前后的变化[23]. 其中有的案例研究持续时间为一年，有的则持续时间为一到两节课.

本研究使用案例研究的方法，综合使用了问卷调查、课堂观察和访谈的方法. 通过问卷调查检测HPM视角下的函数概念教学前、后，学生对函数概念的理解水平有哪些变化. 通过课堂观察和对师生访谈了解此次教学中，造成学生对函数概念理解水平的变化的因素有哪些.

3.1 研究对象

问卷调查法的研究对象为上海市某高中高一年级经过HPM视角下函数概念课的135名(四个班)学生. 访谈法的研究对象为这四个班中随机抽取的8名学生. 该校处于上海市中等水平，四个班级均为平行班.

3.2 研究工具

依据已有的函数概念理解水平问卷和该课例的教学设计，经过小组讨论后，选取其中的部分问题进行改编[24-25]，经过预测试的调整，最终编制了可对比的前、后测问卷，具体内容见表2.

表2 前、后测问卷题目

续表

Q1考查学生对函数解析式的理解程度. Q2考查学生对初中函数在依赖关系下的理解程度. Q3考查学生对中学函数对应关系中“唯一性”的理解程度. Q4考查学生对函数对应关系中离散情况的理解程度. 通过给被访谈学生看自己前、后测问卷进行访谈，了解学生在本节课后对函数概念有哪些新的理解，同时本节课的哪些具体内容促进了学生的这些理解.

3.3 数据收集

学生的函数概念前后测问卷. 课前让学生完成前测问卷. 接着进行HPM视角下的函数概念教学并录音. 四个班的HPM函数概念课均由同一位教师完成，该课共分为五个环节，依次是创设情境，引入主题；基于历史，探究新知；回顾历史，深化了解；练习巩固，巩固新知；总结内容，交流感悟[26]. 课后让学生完成后测问卷

对学生的跟踪性访谈. 课后随机抽取8份前测问卷确定访谈学生并找到对应的后测问卷辅助进行访谈.

课堂实录. 授课教师进行课堂的文字转录，其目的之一是促进教师对于教学的反思.

对授课教师的访谈. 整个课例研究过程结束后，针对教学和学生，对教师进行访谈.

3.4 数据分析

本研究主要采用质性文本分析方法. 第一步，整理与编号. 将每份学生问卷进行五位数编号，第一位数为题号(1代表Q1)，第二位数为前、后测(1代表T1)，后三位数为学生问卷上编号，比如11021代表Q1中T1的问卷编号为021号的学生答案. 第二步，分类与统计. 依据历史上函数概念理解水平，将学生答案划到其相应的水平. 判断理由为空白或无关理由，为0水平. 学生在函数概念各理解水平上的具体表现见表3. 统计每道题前、后测不同水平百分比，得到学生在HPM视角下的教学前、后，函数的理解水平有哪些变化. 学生问卷所显示水平的分类由两位研究者进行，第一位研究者对所有问卷进行分类，第二位研究者随机抽取10%进行检验. 第三步，分析与归因. 根据统计图分析学生不同理解水平的变化，再通过课堂观察和师生访谈，分析学生产生这些变化的原因，从而了解HPM视角下的函数概念教学中的哪些因素造成了学生的函数概念理解水平的变化.

表3 学生的典型答案

比较表1和表3，发现基于数学史的函数概念理解水平和学生在函数概念各理解水平上的答案是相对应的. 根据表3可以看到，不同水平的学生答案表现是存在差异的，且同一水平的具体表现也不一致的. 比如L2水平的具体表现为“根据图像判断”、“回答依赖关系”和“识别变量变化”.

4 研究结果

4.1 函数理解水平的变化

通过比较前、后测调查问卷的结果，发现学生在函数概念各理解水平上发生明显的变化，具体变化见表4，其中Q表示题号,L表示理解水平，T表示测试.

表4 学生的理解水平变化

根据表4，从总体上可以看到前后测所显示学生理解水平的变化. 0水平(空白或者无效理由)明显减少，说明课后更多的学生对函数的辨析有了自己明确的理由. 1水平学生数也明显减少. 但是对于Q1处于1水平的比例不论是前、后测在4道题中都是最高的，这跟题目考查目的有关，该函数可用每一水平进行解释，而解析式水平是学生较为常见的. 2水平也明显减少，值得注意的是课前大多数学生的有效答案处于该水平，也许是因为学生在课前对“y随x的变化而变化”的函数理解较为印象深刻. 3水平的学生明显增多，且在后测有效答案中占比最高. 4水平经历了从无到有的变化，但是后测中占比是依然较少，可能是学生对于“集合对应水平”理解不到位，所以他们更倾向于用自己刚学过且容易理解的水平进行判断.

从表4还可以看到，学生在回答不同问题时可能会调用不同的理解水平来进行判断. 比如Q4中处于2水平的学生在前、后测的比例都是四道题中最高，而Q1中2水平的比例则不高. 进一步查阅学生对Q4的判断理由，发现有很多学生认为该题中只有点没有连接起来成为图像，所以不是函数，体现了学生对于函数是连续的函数意象.

4.2 HPM视角下的教学对函数理解水平变化的影响因素

结合调查问卷的所显示出来的函数认识水平的变化，进一步通过访谈和课堂实录，发现HPM视角下的教学对函数理解水平变化的影响因素主要体现在三个方面.

4.2.1 四个阶段的函数定义为学生提供函数概念表述方式

根据统计图，发现四道题答案所显示的0水平比例在前测中都占有相当大的比重，而后测中都有所减少，说明大部分学生在课后能够表达出自己对于函数的理解. 这种表达的方式是由于这节课的教学内容和模式所产生的.

通过从课堂实录中，可以看到：

师：通过刚刚的例子，原来“解析式说”对函数的认识并不全面，它的概念还需改进.

……

师：由于“解析式说”不太完善，欧拉在1755年又重新定义了函数，与刚刚提到的初中函数定义类似，该定义称为“变量依赖说”.

通过对学生的访谈，可以看到：

研究者：今天学了历史上四个函数的概念，有解析式说、变量依赖说、对应说、集合说，在四个定义中，你们最喜欢哪个？

生1：我最喜欢依赖关系，因为它比较有规律.

生2：我喜欢集合说，因为它是我们现在对函数的定义，算是目前为止最标准的一个.

通过对课堂实录和学生的访谈发现，学生通过课上所提供数学史中的函数概念，可以找到与自己理解水平对应的函数概念，并用其进行判断和表达，可见数学史上的各种函数定义为学生提供了自己所理解的函数概念的表述方式.

4.2.2 狄利克雷函数促进学生掌握变量对应关系

根据统计图，发现四道题答案所显示的1、2水平比例明显减少，3水平明显增加且比例在后测中较大. 这跟这节课的教学内容本身有着很大的关系. 但是教师通过重构式、顺应式和附加式将函数概念的历史融入数学课堂教学的方式对学生理解变量对应关系是有着很大帮助的.

通过从课堂实录中，可以看到：

师：历史上有位数学家叫狄利克雷，有一天他提出一个函数，这个函数的特点是当x为有理数时，y对应的值为1，当x是无理数时，y对应的值为0.

学生发现用“变量依赖说”并不能够很好解释这个例子.

师：狄利克雷所提出的这个函数……两个变量之间还有依赖关系吗？

生：没有依赖关系.

师：由此我们发现用“变量的依赖关系”来刻画函数，好像也不太合理……也就是我们需要把“依赖”这个词换一下就可以了.你觉得可以换什么词呢？

生：可以把“依赖”改成“对应”.因为具体的函数关系中，每一个x的值，都有一个y的值和它相对应.

通过对教师的访谈，可以看到：

研究者：您的教学设计修改了很多，从时间顺序上来看，最开始有初步的教学设计，课例研讨后有改进的教学设计，请问有什么修改的地方？

教师：……还有一个就是如何在课堂上让学生出现“对应”这个词，怎么启发学生从依赖到对应？所以借鉴了语言描述的狄利克雷函数……

狄利克雷当年为了说明自己函数定义中“任意对应”的性质，举出了特殊的狄利克雷函数[15]，通过访谈说明了该函数是突破函数依赖关系的较好反例，教师通过顺应式来简化狄利克雷函数再给学生呈现，有助于学生认识到之前对于函数是依赖关系的局限性. 可见合理利用数学史能够促进学生对变量对应关系的理解.

4.2.3 文氏图激发学生理解集合对应关系

根据统计图，发现四道题答案所显示的4水平基本上都是在后测中才出现. 集合对应关系对于中学生而言是需要很高的认知水平才能理解的. 如何帮助学生在学习变量对应关系的函数概念后继续理解集合对应关系的函数概念是教学内容的上一个难点.

通过从课堂实录中，可以看到：

师：集合语言使得表示更简单，所以大家能不能用文氏图表示狄利克雷函数. 如果用方框表示实数集，用一条线把实数集分为有理数和无理数，按照对应法则，对于每一个x的值，y都有唯一确定的值与其对应，若x取任意有理数和任意无理数，它对应的y分别是多少？

生：0和1.

师：既然x的取值范围看成集合，是否y取到的值也能看成集合？这个集合里面有多少个数？

生：0和1两个数.

师：接着我们用文氏图表示y值构成的集合. 当我们用文氏图表示x和y构成的集合的时候，函数可以看成什么之间的对应关系呢？还仅仅是两个变量之间的对应关系吗？

生：可以看成两个集合之间的对应关系.

通过对学生的访谈，可以看到：

研究者：你们可以谈一下初中概念和高中概念有什么不一样呢？

生：感觉比较复杂一点了.

研究者：为什么觉得更加复杂了呢？

生：需要注意的点很多.

研究者：哪些点是你觉得需要注意的呢？

生：概念里面的专有名词一定要很精确. 比如唯一对应，集合对应.

研究者：“文氏图能帮助你更好地理解集合对应这个概念吗？”

生：“我觉得可以，因为当x取一个值的时候，y也有唯一确定的一个值与它对应，它的图像(这里指教师画的狄利克雷函数的文氏图)能让我更好地理解集合对应关系.”

根据课堂实录可以看到教师在逐渐引导学生通过文氏图来理解函数变量对应关系. 根据学生访谈发现学生注意到狄利克雷函数的文氏图下的对应关系，虽然学生并没有明确提到集合对应关系，但是综合来看改编使用数学史对于学生理解集合对应关系的函数概念是有着激发作用的.

5 讨论

根据以上的研究结果，下面将从函数概念的理解和数学概念的理解两个方面进行讨论.

学生对于函数概念的理解往往是通过概念表征及其之间的联系进行测试的[27-28]，本研究是根据学生对于函数表征的解释来进行理解水平的划分.根据学生回答4道测试题的答案理由以及基于历史的函数概念理解水平来看，从解析式角度去判断函数是学生最为熟悉和容易理解的一种解释方式. 值得注意的是，从Q2和Q4的前测学生水平取向为“变量依赖水平”，可以看到“函数要有依赖关系”、“函数是有规律的”在学生心里是占有一席之地的. 而对于课后的认识水平，学生更多倾向于“变量对应水平”，这从某种程度上说明了经过这节课的教学，学生的理解水平得到了提高. 但正如已有研究所表明的，学生对函数概念的理解存在概念定义与概念意象分离的情况[29-30]，这解释了仍有部分学生在课后处于解析式水平和变量依赖水平的脱节现象.

学生对于数学概念的理解方面，这里将借鉴Sfard数学概念的二重性及其在历史观上概念发展的三个阶段来讨论[31]. Sfard将数学概念分为了“操作性概念”和“结构性概念”，并对两者之间的关系进行了互补性和依赖性的说明.对于学生而言，“操作性定义”的“解析式水平”和“变量依赖水平”往往是更易于接受的，因为从历史观上看，概念形成的第一个阶段即前概念阶段是根据已知进行操作的、作为过程的阶段.而到“变量对应水平”是从“操作性概念”到“结构性概念”的转变，其特征是：以前是禁止的，现在是有用的，但其使用仍然存在争议，这个过程是对概念进行新的抽象性的构建，属于第二阶段即长时间的以操作为主要方法的阶段，需要在教学中引导学生反复操作与理解.“集合变量水平”更加偏向于“结构性概念”，可看作是第三阶段即结构阶段，这是更高级的新的成熟的数学对象产生的阶段，但该阶段很难达到，甚至学生在中学阶段的学习结束后都无法达到.

基于以上的讨论，学生对于函数概念的理解水平的变化得到了进一步的论证与解释.

6 结论与启示

根据以上结果，可以获得如下结论: 从总体上看，经过HPM视角下的函数概念教学，学生对于函数概念的理解水平有所提升. 除去不能显示出学生理解水平的答案，发现课前大多数学生对函数的概念理解是处于解析式水平和变量依赖水平，而课后大多数学生的理解水平提升到变量对应水平，少数学生达到了集合对应水平，但仍有部分学生处于解析式水平和变量依赖水平，无效答案也有所减少. HPM视角下的函数概念教学对学生理解的影响因素包括四个阶段的函数定义、狄利克雷函数及其文氏图表示. 对函数历史及其教育意义的研究说明了函数概念经历了不断完善和抽象的过程，函数的历史有助于教师在恰当的时机让学生接受合适的函数定义[32-33].

基于以上结论，可以得到以下启示:

6.1 参照历史坐标，理解学生水平

学生答案所表现出他们对函数概念的理解水平与函数概念的历史水平存在相似性，并且学生对函数概念的理解水平的发展与其历史水平的发展也具有相似性. 但学生的认知基础以及学习环境是不同的，教学中应因势利导，因材施教，将历史作为理解学生认知水平的参照系，而非照搬历史.

根据课后学生理解水平的结果，发现学生对函数概念的理解是存在困难的. 历史上函数概念的发展经历了200多年，掌握一定的数学史知识有助于教师预测学生的学习困难[34]，让学生在短时间内理解新的函数概念是不现实的，这需要教师给予学生足够的耐心和时间来帮助他们.

6.2 寻找历史动因，跨越认知障碍

历史上函数概念的每一次演进，背后都有其相应的历史动因，从函数的解析式阶段到变量依赖阶段，背后是欧拉等数学家对振动弦问题的思考和讨论，从变量依赖阶段到变量对应阶段，涉及狄利克雷对函数“任意性”的认识，从变量对应阶段到集合对应阶段的转化涉及布尔巴基学派对数学基础的思考.

在函数概念的教学中，需要透过函数概念的发展阶段，找到这些历史动因，将其由数学发展史中的“原初性问题”转化为课堂教学中的“本原性问题”[35]，将历史上推动函数概念发展的函数例子设置成环环相扣的问题串， HPM视角下的教学对函数理解水平变化的影响因素显示，这些问题串可以帮助学生跨越障碍，达成对函数概念的深入理解.

6.3 依据历史阶段，编制研究工具

随着数学史融入数学教学受到越来越多数学教育研究者的重视，需要更多的实证研究证据说明数学史在数学教育中的作用[36]. 为了进一步规范研究方法，需要基于一定的理论基础，开发合适的研究工具.

在HPM视角下数学概念教学的课堂效果评价方面，可以通过划分数学概念的历史发展阶段制定学生数学概念理解水平，从而编制适当的问卷以及访谈提纲，检测学生在理解水平的变化并探明其影响因素，最后建立依托实证研究的HPM视角下数学概念教学的课堂评价效果评价体系.