考虑螺栓松脱特性的航空发动机转子动力学研究*

张庆山 裴世源 洪 军

（西安交通大学现代设计与转子轴承系统教育部重点实验室）

0 引言

航空发动机作为飞机的心脏，是飞机工作性能的决定因素之一，而航空发动机转子作为航空发动机的核心部件，其可靠性直接影响飞机的安全性。航空发动机转子使用螺栓连接各级盘，尽管在装配工艺中给连接螺栓设计了足够的预紧力，以防止系统出现螺栓松脱现象，但是由于航空发动机工作在高速、高温、高负荷的环境中，螺栓连接结构受到交变载荷的作用，难以避免地会产生预紧力松弛、螺栓松脱等故障[1-3]。目前国内外针对螺栓松脱问题的研究多集中在螺栓连接的可靠性上，对于螺栓松脱后转子服役性能的变化研究非常少。因此，深入研究螺栓松脱对航空发动机转子系统动力学特性的影响，对保障航空发动机的安全运行有着重要的意义。

自20 世纪八九十年代以来，国内外逐渐出现对旋转机械系统中螺栓松脱现象的研究。Zhao等人[4-5]采用“螺栓拆卸方法（BRM）”，推导了螺栓松动转子的运动方程，研究了螺栓松动引起的系统局部刚度的变化规律，但是螺栓拆卸法可被视为螺栓松动的极限情况（螺栓完全松开），并没有考虑较低的松动程度。Keiner 等人[6-7]采用间隙插入法（GIM）对具有螺栓松脱特性的转子与实际横向裂纹转子的振动响应进行了比较，发现两者具有很好的一致性，证明了螺栓松脱特征与横向裂纹的呼吸机理在一定程度上是相似的，但是并没有相关的理论依据，只是通过实验验证了两者之间具有相似性。Zadoksa 等人[8-10]建立了一个受横向激励的螺栓自松动力学模型，利用赫兹接触应力理论得到了系统的接触刚度，并给出了在动态激励力下螺栓连接处所受的横向力，为预测螺栓出现松脱提供了理论依据，但是其模型中并未考虑螺栓松脱对系统动力学特性的影响。刘卓乾等人[11-13]建立了含有螺栓结构的航空发动机转子系统，采用ANSYS 商用软件对转子动力学特性进行了仿真计算，借助遗传算法识别并分析了转子系统的弯曲刚度以及稳态响应，但是并没有分析系统的耦合刚度以及瞬态振动响应。

本文采用“螺栓松脱-裂纹等效法”将航空发动机转子的螺栓松脱特征等效为横向裂纹的呼吸机理，采用应力强度为零法[14-15]分析了由于航空发动机转子一级盘和二级盘连接螺栓松脱导致两盘之间结合面开闭的变化规律。利用Dimarogonas 等[16-17]提出的应变能释放率法推导了螺栓松脱单元的刚度矩阵，研究了松脱不同数量的螺栓时，航空发动机转子松脱单元处刚度的时变特性。此外，本文还采用谐波平衡法求解了系统的运动方程，通过时域、频域和三维频谱图对比分析了有无螺栓松脱两种工况下系统的振动响应。

1 航空发动机转子系统建模

1.1 等效方法

航空发动机转子各级盘是由螺栓连接的，当两盘连接处出现螺栓松脱时（假设其完全松开），其不会对结合面产生约束，因此考虑将连接处的螺栓松脱等效为在该处产生横向裂纹来研究，即通过横向裂纹的呼吸机理对航空发动机转子的螺栓松脱工况进行数值模拟。此前，Keiner等人[6-7]对螺栓松脱转子和实际横向裂纹转子的振动响应进行了比较，结果表明螺栓松脱特征与横向裂纹的呼吸机理在一定程度上是相似的。因此证明这种等效方法是可行的，为了上下文使用方便，本文将这种方法称为“螺栓松脱-横向裂纹等效法”。

假设两盘连接处共有6个螺栓，且松脱的螺栓都是相邻的（不相邻的螺栓松动的情况很少出现）如图1 所示，图中空白部分为螺栓松脱时两盘结合面的张开区域，阴影部分为闭合区域。当有1/2 螺栓松脱时，最大张开区域为结合面横截面积的一半。当有1/3 螺栓松脱时，两盘之间最大张开区域为图1 白色部分（深度为图1中a）。综上所述，螺栓松动个数与等效横向裂纹深度的表达式为：

其中, N 为螺栓总数；n 为螺栓松脱个数；R 为转子半径；a 为等效裂纹深度；u 为无量纲裂纹深度。

图1 螺栓松脱与横向裂纹等效示意图Fig.1 Equivalent schematic diagram of bolt loosening and transverse crack

1.2 建立有限元模型

航空发动机转子系统是由多级压气机轮盘、一级涡轮盘、前后轴颈及支承部分组成，且各部分采用螺栓连接，如图2所示。本文采用Timoshenko梁单元对航空发动机转子建模，如图3 所示。转子模型共有85 个节点，84个梁单元，每个节点6个自由度，圆盘在节点23，30，37，45，52，70，轴承在节点4，83，轴承刚度各向同性，为5×107N/m，不平衡质量为500g·mm。假设一级盘和二级盘连接处存在螺栓松脱，螺栓松脱处等效为横向裂纹，其余各级盘螺栓连接处等效为刚性连接，存在螺栓松脱的单元是编号为30的梁单元。

1.3 推导螺栓松脱单元刚度矩阵

图2 航空发动机转子三维实体模型Fig.2 3D solid model of aero engine rotor

图3 航空发动机转子有限元模型Fig.3 Finite element model of aero-engine rotor

航空发动机转子螺栓松脱单元的受力以及由一级盘、二级盘连接螺栓松动等效的横向裂纹如图4 所示，假设等效横向裂纹位于梁单元的中间位置，松脱单元受到轴向力P1，P7，剪力P2，P3，P8，P9，扭矩P4，P10，以及弯矩P5，P6，P11，P12的作用。

当梁单元内无螺栓松脱时，其应变能为：

图4 螺栓松脱单元受力简图Fig.4 Force diagram of bolt loosening unit

其中，E 为材料的弹性模量，Ge为切变模量，I 为单元的惯性矩，A 为结合面的截面面积，αs为剪切系数，T=P4，FN=P ，Fτ1=P2，Fτ2=P3，M1=P3x+P5，M2=P2x-P6。此时，梁单元的柔度系数为：

其中，T 为转换矩阵。

1.4 系统动力学方程

根据有限元理论知识，航空发动机转子-螺栓松脱系统的运动微分方程为：

1.5 方程求解

当螺栓松脱数量一定时，刚度矩阵随旋转角度的变化而变化，为了最大限度的描述转子的振动响应，本文选择旋转角度为180°时系统的刚度矩阵。因为当旋转角度为180°时，由于重力作用，此时积分区域面积S最大，系统刚度最小，振动响应最大。确定刚度矩阵K后，采用谐波平衡法求解运动微分方程，假设系统的响应为：

其中，i=1,2,3，…n 是谐波次数；Ω 是转子的转速，本文选择四次谐波，将式（8）代入运动方程式（7），即可得到系统在特定转速下的振动响应。

2 动力学特性研究

2.1 结合面的开闭变化规律

根据式（6）可得，当且仅当Gc中一级盘和二级盘之间结合面张开区域的面积S 确定时，刚度矩阵[K]c才有唯一值，所以为了确定系统的刚度矩阵，有必要研究结合面的开闭变化规律。

假设在结合面张开区域与闭合区域之间的存在一条分界线CD，它将结合面分成了张开和闭合两部分，其垂直于等效裂纹深度线AB，如图5 所示。将等效裂纹深度线AB平均分成50份，从A到B编号为1～50，B到A编号为50～100，分别在100 个节点处作垂直于AB 的直线。

图5 分界线随旋转角度的变化示意图Fig.5 Schematic diagram of the change of the dividing line with the rotation angle

根据断裂力学的概念，当垂线处的应力强度因子值K0为正时，则表明该垂线左侧区域张开；反之表明垂线左侧区域闭合。如果某一垂线处的应力强度因子值K0为零，则该垂线就为分界线。为此，在不同旋转角度下从编号1 开始依次计算各垂线的应力强度因子值K0，具体计算公式为：

图5 展示了在一个旋转周期内一级盘和二级盘结合面随旋转角度的开闭变化规律，图中空白部分表示两盘之间结合面的张开区域，阴影部分表示两盘之间结合面的闭合区域，分界线为图5 中粗黑实线CD。转子在不同旋转角度下，一级盘和二级盘结合面张开与闭合区域的变化规律如下所示：

1）在初始位置，由于重力作用，此时两盘之间的间隙为零，结合面完全闭合。

2）当转子旋转角度为0～180°时，分界线的位置逐渐向右移动，此时两盘之间逐渐出现间隙，结合面张开区域为图5中空白部分，且张开区域随着旋转角度的增大而增大；

3）当转子旋转角度为180°时，两盘之间的间隙最大，结合面张开区域为图5 中空白部分，此时张开区域最大；

4）当转子旋转角度为180°～360°时，分界线的位置逐渐向左移动，两盘之间的间隙由最大逐渐变小，结合面张开区域为图5中空白部分，即张开区域随着旋转角度的增大而减小；

5）当转子旋转角度为360°时，与初始位置重合，此时两盘之间的间隙为零，结合面完全闭合。

2.2 螺栓松脱单元时变刚度特性分析

首先根据螺栓松脱的数量利用式（1）计算等效裂纹深度，然后根据式（6）计算螺栓松脱单元的刚度矩阵，得到螺栓松脱单元在松脱不同数量的螺栓时，主刚度和耦合刚度随分界线CD的变化曲线。

图6为松脱不同数量螺栓时，螺栓松脱单元主刚度与分界线位置的变化曲线，其中K11 表示轴向刚度，K22、K33 表 示 剪 切 刚 度，K44 表 示 扭 转 刚 度，K55、K66 表示弯曲刚度。由图可知，当螺栓松脱数量较小时，主刚度随分界线位置的变化非常小；反之，变化较大。当分界线位置在0～50 范围内变化时，主刚度值逐渐减小，表明结合面的张开区域逐渐增大；当分界线位置在50～100范围内变化时，主刚度值逐渐增大，表明结合面的张开区域逐渐减小。当分界线从0～100 变化且松脱的螺栓个数为较大时，弯曲刚度K55、K66 的变化范围为2×109Nm/rad～7×109Nm/rad，其变化幅度比较大，即表明航空发动机转子的横向振动受螺栓松脱个数的影响较大。

图6 松脱不同数量螺栓时，主刚度与分界线的变化曲线Fig.6 Change curve of main stiffness and dividing line when different number of loosened bolts

图7为松脱不同数量的螺栓时，螺栓松脱单元各耦合刚度项随分界线位置的变化曲线，由图中可知，当松脱的螺栓数量较小时，耦合刚度全都为接近于零，无耦合作用；当螺栓松脱数量较大时，耦合刚度才逐渐出现，此时螺栓松脱单元存在明显的轴向、横向、弯曲与扭转振动之间的相互耦合，且螺栓松脱数量越大，耦合作用越强。当分界线在0～50或50～100范围内变化时，K12，K16，K26，K34，K35，K45 单调增大或减小，即表明结合面的张开或闭合过程对其的影响是单一的，且松脱单元在一个周期内这些耦合刚度值都比较大，耦合作用比较强。而当分界线在0～50 或50～100 范围内变化时，K13，K14，K15，K23，K24，K25，K36，K46，K56 只在特定范围内产生较大的耦合刚度值，在其他范围内耦合刚度值基本为零，曲线变化趋势多变，即表明结合面的张开或闭合过程对其的影响比较复杂。

图7 松脱不同数量螺栓时，耦合刚度与分界线的变化曲线Fig.7 Variation curve of coupling stiffness and dividing line when different number of loosened bolts

2.3 振动响应分析

假设图3中节点55处存在不平衡质量500g·mm，相位角为0°，轴承刚度各项同性，系统的阻尼为500N·s/m，且一级盘和二级盘连接螺栓的松脱数量n=4。经过计算可得，转子系统的第一阶临界转速为3 061.9r/min，第二阶临界转速为9 270.2r/min。

图8为无螺栓松脱时，转子在节点30处x方向的振动响应。其中图8(a)为时域内航空发动机转子转速为1 000r/min 时的瞬态振动响应，由于转子的节点较多，为了简化计算，对复杂公式进行了简化，且选择了较低的谐波次数，所以转子的瞬态振动响应是近似的正弦波形；图8(c)为对应的频域内的瞬态振动响应；图8(b)为转子在升速过程中的稳态振动响应。图9 为螺栓松脱数量n=4 时，转子在节点30 处x 方向的振动响应。其中图9(a)为时域内转子转速为1 000r/min时的瞬态振动响应；图9(c)为相对应的频域内的瞬态振动响应；图9(b)为转子在升速过程中的稳态振动响应。对比图8 和图9 可得，当一级盘和二级盘连接处存在螺栓松脱时，转子系统在一阶临界转速以及1/2，1/3，1/4临界转速附近出现峰值，在频域图中除了基频成分还出现了二倍频成分2X和三倍频成分3X，且系统的最大振动响应增大了一个数量级，这些特征为航空发动机螺栓松脱现象的故障诊断提供一定的理论基础。

图8 转子系统无螺栓松脱时，节点30处的振动响应Fig.8 Vibration response at node 30 when the rotor system has no loosened bolts

图9 当梁单元30存在螺栓松脱且螺栓松脱数量n=4时，节点30处的振动响应Fig.9 When the beam element 30 has bolt loosening and the number of bolt loosening n=4,the vibration response at node 30

图10 是无螺栓松脱的转子在升速过程中，节点30处x方向的三维频谱图。图11是螺栓松脱数量n=4时，转子在升速过程中，节点30处x方向的三维频谱图。对比图10和图11可得，当无螺栓松脱时，转子在400～1 200r/min转速范围内，系统的振动响应只有基频；当存在螺栓松脱时，转子在400～1 200r/min 转速范围内，系统的振动响应以基频成分为主，同时出现二倍频、三倍频、四倍频成分，其中二倍频成分显著，三倍频和四倍频成分较小。且在两种工况下，系统的振动响应都随着转速的增大而增大。

图10 无螺栓松脱转子的三维频谱图Fig.10 Three-dimensional spectrogram of the rotor without loosened bolts

图11 当螺栓松脱数量为4时，转子的三维频谱图Fig.11 When the number of loosened bolts is 4,the three-dimensional spectrum of the rotor

3 结论

本文以航空发动机模拟转子为研究对象，建立了转子-轴承-螺栓松脱有限元模型，利用螺栓松脱-横向裂纹等效法分析了一级盘和二级盘结合面的开闭变化规律以及螺栓松脱单元的时变刚度特性，采用谐波平衡法求解了系统的运动方程，通过时域、频域和三维频谱图对比分析了有无螺栓松脱两种工况下系统的振动响应。主要得出如下结论：

1）当一级盘和二级盘之间存在螺栓松脱时，在一个旋转周期内，两盘之间结合面的张开闭合区域随旋转角度的变化而变化，具体变化过程为：旋转角度为0～180°时，结合面张开区域随着旋转角度的增大而增大；旋转角度为180°～360°时，结合面张开区域随着旋转角度的增大而逐渐减小。

2）当螺栓松脱个数较少时，主刚度随分界线位置的变化幅度较小，耦合刚度项基本为零，对航空发动机转子的刚度矩阵影响较小，可以忽略其对航空发动机转子动力学特性的影响；当螺栓松脱个数较大时，主刚度随分界线位置的变化幅度较大，且产生轴向-剪切、轴向-扭转、弯曲-扭转、剪切-弯曲等耦合刚度，使得航空发动机转子的动力学特性变得更加复杂。

3）当航空发动机转子存在螺栓松脱时，系统在一阶临界转速以及1/2，1/3，1/4临界转速附近出现共振峰值，在三维频谱图中除了基频成分还出现了二倍频成分2X、三倍频成分3X 和四倍频成分4X，这些特征可以为航空发动机螺栓松脱现象的故障诊断提供一定的理论基础。