高中数学导数的试题分析和教学对策

摘 要：导数在高中数学中占据重要地位，是研究函数变化率等问题的常用工具，探究学生学习导数中的障碍，对促进导数教学具有积极意义。调查发现高中生导数学习中存在导数几何意义理解不完整、取得极值条件不清楚、运算性质记忆不牢、导数应用能力不足等问题。分析主要原因包括数学阅读理解能力差、公式记忆运算求解能力差、缺乏基本解题思路方法等。建议培养学生阅读能力，加强对导数概念阐述，培养学生运算能力，提高学生学习导数的兴趣，提升导数教学效率。

关键词：高中数学;导数;试题分析;教学策略

函数为描述变化现象，随着变量函数关系的深化，微积分成为现代数学的基础。科学家经过长期研究在17世纪由牛顿创立微积分。中学数学课程改革多次探讨开设微积分话题，目前导数应用安排在高中课标教材选修内容，包括导数概念、运算、应用，导数是微积分的核心内容，是研究函数最值等问题常用的有效工具。导数的考查经常在高考中以压轴题形式出现。导数知识是数学知识体系的重要部分，教学涉及知识点包括数学思想方法，导数这部分知识是研究函数的理论基础，对学生学好高中数学具有重要作用。高中数学导数具有抽象性特点，采用传统教学手段学生难以理解，课堂教学中要重点指导学生学习概念知识，借助多媒体技术等简化抽象化内容，使学生深入掌握导数基本知识内涵。

一、高中数学导数试题教学概述

数学函数关系研究显示世界运动变化现象，微积分是从常量数学向变量数学的转变。各国把微积分教学纳入中学教材，导数是高中数学微积分的重要内容，新课改后教材中加入微积分内容，导数引入高中数学有助于拓展学生思维[1]。新课标指出微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量函数提供重要方法。新课改后高考试题加大导数考查力度，部分学生学习导数产生理解运用障碍，导数教学成为高中数学难点。

（一）导数在高中数学中占据重要地位

初等数学与高数中导数定义不同，在高中数学人教版选修教材中，导数为初等数学导数。高中数学课标指出微积分发展应用开创向近代数学过渡新时期，微积分蕴含丰富的数学思想方法，新课标将一元函数变为选修课，要求结合具体情境理解导数概念，理解导数是借助极限运算，能应用导数研究简单函数性质变化规律，了解微积分创立过程。重点提升数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理素养。新课标对导数教学提出新的要求，导数是高中数学必学内容，数学知识建构中具有承上启下作用[2]。导数蕴含分类讨论等思想，导数教学有助于促进学生思维发展。导数与生活有着密切的联系，导数中研究问题方法对高中生可持续发展具有重要意义。导数与理化生学科联系密切，导数引入为函数提供新的综合方式，为学生综合应用能力提供良好素材。

（二）导数教学是高中数学难点

新课改后导数成为高考必考内容，新课标指出通过高中课程学习使学生获得未来发展必需的数学知识技能思想，提高分析問题、解决问题的能力，发展学生的数学运算能力等学科核心素养[3]。新课标对导数教学提出明确要求，通过导数教学研究有助于培养学生核心素养。新课改后导数日益受到重视，在高考中占比不断加大。考试类型包括选择题、填空题、解答题，导数概念等简单试题以选择、填空题形式出现，解答题通常作为压轴题。许多教师不重视课堂教学过程，采取题海战术教学方式，这样只能加大学生学习负担，因此需要研究高中数学导数试题教学的有效策略。

（三）导数是广泛应用的工具

现实当中的事物都是不断变化的，人们为了更好地描述这些变化和现象，在数学当中运用了函数，但是随着函数关系的深化，出现了微积分，而微积分是人类的伟大成就之一，也是现代数学的重要基础，并且与其他学科有着密切联系。我国的高中数学教学经历多次改革，其中就包含了微积分的知识，并且教材经过修订以后，最终确定了导数解决数学问题的实际作用，这对于高中数学教育具有重要的意义和作用。在进行高中阶段教育时，应当注重教学策略的使用，才能充分发挥导数的作用。

（四）导数在高中数学的重要性分析

在高中阶段的导数，主要包括了导数的概念和运算，以及在函数中的应用，还有在实际生活中的应用。导数是微积分的核心，主要是研究函数的单调性和变化率，以及最值问题，这是最为常用和有效的工具，可以解决运动速度和加速，以及人口增长率等问题，是解决实际问题的有效工具，在高中数学中，导数具有重要的作用，在考试中也是占据比较重要的地位。学好导数不仅在高中阶段非常重要，对以后的工作和学习中也有重要帮助，所以在具体教学中，应当充分重视导数的作用。

二、高中数学导数试题教学难点

变量数学微积分是辩证法在数学中的运用，微积分涉及常量与变量有利于培养学生的辩证思维能力，提高学生的数学素养，深化对数学思想方法的认识，提高解决问题的能力。导数是高考中的热门考点，选择题常见题型有含参数的函数零点问题，主要考查利用导数分析函数相关性质问题，考查学生数学应用能力。新课标把重点放在导数概念生成，通过实例导入导数概念。当前高中数学导数教学中学生存在认识思维障碍，在导数概念性质及应用教学方面面临很多难点。

（一）导数概念掌握不牢

导数的概念是学习的基础，在高中数学导数概念教学中，学生存在导数几何意义理解不完整，极值点概念混淆，不清楚极值取得条件等问题。课本上定义导数f'（x0）几何意义是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率，学生难以理解导数定义，许多学生通过死记硬背方式记忆导数几何意义导致做题错误。如试题，直线l为曲线C：y=lnx/x过点（2，1）的切线，求直线l的方程。学生对切线几何意义理解不完整，解题中错误理解点（2，1）就是切点坐标。极值点是取得极值时点的横坐标，由于学生不理解概念而产生混淆。

（二）导数性质不熟悉

导数性质包括运算与函数符号性质，高中生学习导数性质中存在公式理解不深刻，导函数性质掌握不牢固。学生在导数四则运算中经常出错，计算中由于公式记忆不牢导致错误。比如：设函数f（x）=x²ex，求f（x）的极值点，有的学生将极值点-2，0算成2，0。不等式ax³-x²+4x+3≥0在x∈[0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围，很多学生使用导数法求g（x）=（x²-4x-3）/x³最大值出现错误，部分学生使用换元法转化为y=-3t³-4t²+t，三次函数求导出现函数公式记忆混淆导致错误。不少学生对初等函数导数公式记忆存在问题，计算能力较差导致解题出错。导函数f'（x）在某区间符号反映原函数f（x）单调性，部分学生不理解导函数性质导致解题出错。如题，设函数f（x）=（3x²+ax）/ex（x∈R），若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围。许多学生将条件理解为f'（x）<0在区间[3，+∞）上恒成立导致解题错误。

（三）导数应用困难

导数应用是导数教学中问题最多的部分，主要问题包括学生知识迁移能力差，导数应用思想方法不熟悉。导数应用内容包括利用导数求函数极值、最值，导数在生活中的应用等，由于应用题灵活性强导致学生做题出错。如题，已知f（x）=lnx+a（1-x），f（x）最大值大于2a-2，求实数a取值范围。此题需讨论f（x）单调性，这是学生的困难问题，并且学生解题中不知道如何取最值，部分学生不会解a+lna-1<0不等式。许多学生不会求单调区间，往往忽略定义域导致增减区间写错。很多学生未注意到定义域，例如：当a≤0时，求f（x）=lnx+a（1-x）单调区间，学生会将增区间错写成（-∞，+∞）。

三、高中数学导数试题教学难点问题分析

（一）认知障碍

认知障碍是由于记忆、理解、思维等心理因素影响导致产生学习障碍。数学学习是新旧知识结构相互作用形成新认知的过程，认知学习不顺畅会导致学生认知障碍。高中数学导数教学内容记忆部分较多，如初等函数导数公式等需要准确记忆，很多综合性题目由于函数复杂，学生求导发生错误。余弦函数导数记忆重点是负号，学生求导中遗漏出错。导数四则运算中，积与和导数运算法则混淆。理解障碍表现为导数概念知识生成困难，几何意义难以理解。由于概念抽象性强，很多学生学完导数后不理解概念内涵，面对综合性强的知识点应用能力难以实现。导数几何意义讲解中学生理解逼近过程，但用符号语言描述无法理解。主要由于与原有切线定义产生认知冲突。如求抛物线y=x²过点（1，-1）的切线方程，试题考查学生导数几何意义，很多学生直接求导后把点的横坐标带入得到切线斜率，从而导致错误。

（二）思维障碍

高中数学导数教学中学生思维障碍体现在数学建模能力差，数学思维不严谨。导数与函数有密切的联系，导数主要与函数性质、恒成立问题知识紧密结合，要求学生善于运用综合性问题常用思想方法，在稳定知识体系下顺利实施知识迁移。数学知识点掌握不牢固导致理解障碍。如试题，函数f（x）=x³-ax-1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围。学生解题中利用导数求单调性条件逆运用错误导致结果错误。数学建模能力是判断学生数学能力的重要指标，导数教学中建模能力体现在应用题方面，构造法是根据已知条件构造数学模型解题。导数应用研究函数性质，很多综合题目需要学生构造与题设有关的新函数，由某些性质推出题目结果。很多学生对综合性强的构造函数解题无从下手。如选择题，f（2）=0，定义（0，+∞）上可导函数f（x）满足f（x）·x

四、 高中数学导数试题教学对策

（一）突破记忆理解障碍

理解是记忆的基础，高中数学导数概念知识内容较多，记忆公式直接给出，导致学生往往记忆错误、混淆，可以采取多种方式帮助学生加强记忆。四则运算中乘法可以采用联想记忆法，加强公式联想记忆，如ax导数公式联想到ex导数公式。理解障碍需要通过讲解符号语言、丰富导数概念生活背景，帮助学生克服学习困难。高中生对变化率理解不透彻，帮助学生理解导数定义需要在概念引入中联系生活背景，加深学生对逼近思想的理解。运用生活实例可以激发学生的学习兴趣，提高学生学习导数的积极性。课本中由气球膨胀率为例子引入，学生对其他形式变化率不理解，联系物理学瞬时速度使学生体会导数应用广泛性。基础较差的学生理解导数概念困难，教师可以从生活中各方面讲解变化率，如人口增长率等问题，通过分析实例使学生体会极限思想，帮助学生建立稳固的概念。

（二）化解导数思维障碍

高中数学导数教学中要通过改善教学模式，夯实数学基础，加强微积分概念教学与多媒体技术整合等方式帮助学生化解思维障碍。学生学习数学要进行心理建构，传统课堂教学模式使得学生被动接受灌输学习，导致学生缺乏主动探究能力，在抽象定义概念教学中学生很少参与知识推导过程，复习、预习形式固定单一，教学模式以教师为中心，导致学生创新意识得不到提高。面对创新题时暴露出问题解决能力较差，需要改变原有教学模式，让学生在课堂中探索学习。导数教学中可以引导学生自主学习，推导教材中的部分导数公式等，要求教师教学中重视学生主动性。教师可以布置学生小组分工协作学习任务，选取合适的知识点让学生主讲，提供生活素材鼓励学生采用各种方式得出结论。通过创新教学方法深化学生对导数的理解，使学生感受到学习数学的意义。

（三）克服学习情感障碍

情感障碍是学生学习导数中的重要障碍，导数教学中需要通过激发学生学习兴趣，帮助学生树立自信心，锻炼学生良好学习品质，有效克服学生情感障碍。近几年数学史进入高中数学课堂成为趋势，弥补数学课堂教學呆板的缺陷，数学教学中介绍微积分发展史可以帮助学生了解知识发展过程，使学生感受到数学知识概念产生的历史背景。学生在了解微积分中增加对知识的体验，提高学生学习热情。数学教育目的是让学生理解、掌握数学思想方法，提高学生的学习兴趣。课堂教学中选择例题要照顾各层次学生学习水平，使学生产生成功体验，成功的体验可以激发学生的学习自信心。学生对某学科教师不满会影响学习情绪，教师要与学生建立亲密的师生关系，帮助学生正确归因，恢复学习数学的自信心，激发学生克服困难的勇气，逐步消除数学学习心理障碍。

参考文献

[1]李明.高考导数试题分析及教学策略研究[D].苏州大学，2016.

[2]傅泽平.高中数学导数高考试题分析与教学策略研究[J].中学课程辅导（教学研究），2020（10）.

[3]范亚萍.导数高考试题分析与教学策略研究[J].数学学习与研究（教研版），2020，（9）：30.

作者简介：张王文（1981—），女，汉族，安徽怀远人，蚌埠第三中学，中教一级，硕士。研究方向：高中数学教学。

本文系2021年“蚌埠市高三教育教学质量提升研究专项课题”《试卷分析的有效方法——简化知识点细目表》。

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