变压器的原、副线圈电压关系及微观解释

兰婧

摘   要：文章从能量角度出发，通过解析推导的方法，说明了原线圈输入电压和原线圈感应电动势的近似相等关系，从微观上推导得到了原、副线圈输入电压和输出电压的关系，并介绍了一种处理电路中载流子能量问题的等效方法。

关键词：变压器;原、副线圈;电压;微观解释;动能定理

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）10-0061-3

1    综述

在中学物理教学中，对变压器的讲解虽然简单，但其中涉及到很多难点，对这些难点，一些文章给出了解答和讨论，例如：变压器的原理、难点和误区的解读[1-2]，电压、电流的相位关系[3-4]，非正弦式输入电压的讨论[5];此外，还有文章讨论了一些高考题、练习题的解答范例和解题方法[6-9]。这些文章为中学生和教师提供了很好的启发。虽然目前对变压器原理的研究已经十分成熟，但类似上述适合中学生和教师阅读的文献还较少，尤其是对变压器原、副线圈电压关系的严格推导，还鲜有文章探讨。多数中学物理文献中都通过磁路中磁通量变化推导了原、副线圈感应电动势之比，然而，这不能直接得到输入电压和输出电压之比，原因在于原线圈的输入电压和感应电动势关系并未说明，副线圈同理。本文将对上述问题进行讨论。

2    原、副线圈的电压关系

考虑无内阻、无漏磁、铁芯内部无涡流损耗、线圈感抗无限大的理想变压器，将原、副线圈的匝数分别记为N1、N2，感应电动势大小分别记为ε1和ε2，ε0为发电机的电动势，如图1所示。变压器输入端、输出端电路独立，但由于磁场被限制在铁芯中，原、副线圈被关联起来。下面分析变压器原、副线圈电路及二者的关联。

首先分析输入端电路，如图2所示。自由电子在导线中定向移动形成电流，为讨论方便，下文将自由电子简称为电子。不失一般性，可设导线中的电子均匀排布成一列，每个电子带电量为q。在某时刻t，输入端导线中的电子排布如图2所示，各电子分别记为m1，m2，…，mn-1，mn。在沿电流方向建立自然坐标系后，各电子位置分别记为r1，r2，…，rn-1，rn。

设经过一段时间Δt后，m1从r1向前运动至r2处，m2从r2运动至r3处，……，mn-1从rn-1运动至rn处，mn从rn运动至r1处，即：由m1，m2，…，mn-1，mn构成的电子链整体向前推进Δr=r2-r1，将此过程记为过程1。

先来说明Δt时间内电路状态近似不变。对一般金属，自由电子浓度约为n=1028 /m3[10]，在电流密度大小约为10 A/mm2时，根据电流微观解释容易算出自由电子定向移动平均速度大小约为10-4 m/s[10]。若设任意两个相邻电子间距为2a，则可认为每个电子占据半径为a的球形空间，且按密堆形式分布，如图3所示。

容易知道，每个电子占据空间为

由于此种结构无法完全占据空间，则由电子浓度可计算出每个电子占据空间不大于

故任意相邻两电子的间距不大于

此即Δr，据此易得Δt约为10-6 s，为50 Hz交流电周期的万分之五，故可认为此段时间内电路状态不变，即电路中的电压、电动势、电场强度等为常量。

为了将过程1中的非静电力、静电力、涡旋电场力做功与ε0、ε1联系，需要将过程1等效为以下过程：某一个电子在过程1中相同的非静电力、静电力、涡旋电场力作用下，绕回路一周回到初始点。不失一般性，可设这个电子为m1。可如上等效的原因如下：过程1中，m1从r1到r2，与此同时m2从r2到r3，m3，m4，…，mn以此类推。由于各电子是全同的，故m2在外力作用下从r2到r3，与m1在相同外力作用下从r2到r3无异。对m3，m4，…，mn重复同样步骤，可得上述结论。为讨论方便，将“在与过程1中相同的非静电力、静电力、涡旋电场力作用下，m1绕回路一周回到初始点”记为过程2。根据上述讨论易知，过程1中非静电力、静电力、涡旋电场力对所有电子做的总功，等于非静电力、静电力、涡旋电场力在过程2中对一个电子做的总功。

在过程2中，一个电子经过发电机时，非静电力对它做正功，大小为其电量q与发电机电动势的乘积qε0;当它经过原线圈时，根据楞次定律，涡旋电场力对它做负功，大小为qε1。过程2中虽可能存在静电场做功，但由于静电场是保守场，故一周后静电场对电子做功为零，因此过程2中外力对一个自由电子做的总功为qε0-qε1。由于上文已说明过程2与过程1等效，故过程1中外力对整个电子链做的总功也为qε0-qε1。因此在过程1中，对所有电子，由动能定理可得：

电子链总动能变化量ΔEk为：

其中，N為导线中定向移动的自由电子总数。考虑半径为r、长为l、自由电子浓度为n的导线，当其中自由电子速度由v0变为v0+Δv时，动能变化量为：

根据上述讨论可知电流密度为10 A/mm2的电子定向移动平均速度大小约为10-4 m/s，对长为103 m，半径为10-3 m的导线，代入数据后可作出动能变化量大小随速度变化大小关系图，如图4所示。

上文已经论述了过程1持续时间极短，速度变化极小。由图4可见，即使电子速度增大103倍，即电流密度增大103倍时，动能变化量大小约为10-6 J，远小于上述Δt内的变压器输入能量和输出能量，故一般情况下电子的动能变化量可忽略，则（4）式变为：

即发电机电动势和原线圈感应电动势等大。

需要说明的是，上述讨论只是将过程1等效为过程2，目的在于通过过程2将过程1中的功与电动势ε0、ε1联系，从而用ε0、ε1表示过程1中的功，实际上过程2并未发生，因为电子无法在万分之五的周期内沿回路绕行一周。对任意ε0、ε1，重复上述过程都可得（8）式，不再赘述。若发电机无内阻，则原线圈输入电压U1在数值上也为ε0[11]，故有

下面讨论副线圈。如图5所示，副线圈中的涡旋电场力为电子提供动力，负载电阻中的晶格提供阻力。副线圈中电子受力分析、能量转化、生热等问题，本质上是涡旋电场中的电路问题，文章《对涡旋电场力做功及涡旋电场中电路的讨论》[11]中已有清晰解释，此文虽只讨论了单匝线圈，但对变压器的多匝副线圈并无本质区别。故在副线圈无内阻时，应有：

最后讨论原、副线圈中的电压关系。众所周知，对无漏磁的变压器，穿过原、副线圈的磁通量完全相同，根据法拉第电磁感应定律可得：

即原线圈与副线圈输入、输出电压比等于原、副线圈匝数比。

3    总  结

本文从微观层面，运用动能定理严格推导得到下面2个结论：

（1）原线圈输入能量用以克服原线圈涡旋电场力做功及转化为电子动能，但一般情况电子动能及变化可忽略，原线圈输入电压与感应电动势等大。

（2）对变压器原、副线圈电压比的一般推导方法进行修正，介绍了一种更加严格的变压器原、副线圈电压比的推导方法。

参考文献：

[1]任世功. 对有关变压器的几个质疑的探讨[J]. 中学物理， 2010，28（05）：7-9.

[2]霍金胜.走出变压器与直流电关系的误区[J]. 物理通报， 2013（07）：101-102.

[3]范学军，金彪. 浅谈变压器电压与电流的关系[J]. 中学物理，2011，29（07）：58-59.

[4]陈汉炎.再谈变压器电压与电流的相位关系[J].中学物理，2013，31（09）：67-69.

[5]刘常明. 以变压器为例浅谈对物理教材内容进行适当拓展[J]. 安徽教育科研（内刊）， 2018（06）：26-27.

[6]李志雄.用“阻抗变换”分析2016年高考物理变压器问题[J].中学物理，2016，34（21）：77-78.

[7]许自强.细节质疑还需知识的储备来支撑——由新课标下“变压器”的几个细节探究所引发的思考[J].湖南中学物理，2012，27（08）：4-5+11.

[8]徐尉， 谢园园. 再谈“哪一种解法正確”[J].中学物理，2012，30（19）：48-49.

[9]侯书圣.理想变压器空载问题及中学物理模型的建立[J].物理教师，1996，17（09）：33.

[10]赵凯华，陈熙谋. 新概念物理教程电磁学（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[11]蒋然.对涡旋电场力做功及涡旋电场中电路的讨论[J]. 物理教学探讨，2020，38（11）：61-63.

（栏目编辑    罗琬华）

2185501705367