提升解题教学质量 促进学生全面发展

余逗

[摘  要] 高三复习主要以解题为主，解题教学自然成了高三复习课的重要环节，其承载着高质量完成教学目标的重任. 因此，在解题教学中不能盲目地搞“一刀切”“一言堂”，在问题的选择和设计上应符合学生的最近发展区，注重师生交流，集思广益，在不断探究中掌握解决问题的通性通法，从而不断完善和建构自我认知，实现共同进步.

[关键词] 解题教学;解决问题;共同进步

高三复习课应是高效的、高质量的，因此在题目的选择和设计上应构思合理、分析全面，选择有针对性的题目，让学生在解决的过程中理清思路和方法，从而提升解题能力. 同时，复习课既要统筹全局，又要兼顾个人. 下面笔者谈一谈对解题教学的几点浅见.

[⇩] 创设“问题串”，强化数学思维

创设问题应有利于启发学生思考，引导学生在解决问题时不断尝试、不断创新，从而发现问题产生和解决的一般规律，认清问题的实质. 那么如何创设问题才是有效的，才是真正有利于探究的，真正可以发展学生思维的呢？笔者认为，创设问题应有效结合学生的学情，充分了解其掌握的知识和技能，创设符合学生最近发展区的问题，以保障问题能让学生“够得着”，从而引发学生探究的热情. 同时，提出新知最好基于原有认知，虽然新知与原有认知有所不同，然而它们之间也必然存在着一定的联系. 在新知、原有认知共同作用下，将新知同化至原有认知结构中，丰富原有知识结构;或顺应至原有认知结构中，实现新知结构的建构. 最终通过认知的巩固和完善，提升学生解决问题的能力，实现自身发展的目的.

下面是复习裂项相消法时，教师精心设计的问题：

例1 （1）求和：++…+（n∈N*）;

（2）求数列

（n∈N*）的前n项和;

（3）求数列

（n∈N*）的前n项和;

（4）求数列

（n∈N*）的前n项和.

在裂项相消法的应用中，教师设计了分层问题：题（1）、题（2）为基本类型，利用学生熟悉的内容先进行旧知的复习;题（3）的难度有所提升，可以引导学生通过观察，理解、记忆该结论;题（4）也是引导学生以观察为主，其难度更大，对观察能力和分析能力的要求更高，学困生和中等生理解起来会很困难，只有少数学生可以理解和掌握. 以上问题由易到难，让学生解决符合最近发展区的问题后自然进入下一个发展区，这样思路清晰，有利于学生在解题中发现其内在联系，从而提升学习信心. 同时，有效地进行扩展，会使每个层次的学生的数学能力都有所提升.

题（1）、题（2）求解时，可通过学生回忆和总结，利用典型的裂项相消法求和. 若

a为等差数列，则=·

-

.

题（3）求解时，首先观察其通项，容易发现n，n+1，n+2中任意两项之积的倒数为典型的裂项相消形式，所以可以将原题进行变形：先变，从而得到·

-

，去括号得-;通过观察发现，其为两个典型的裂项相消形式，从而再拆分，得到

-

-

-

. 该过程先裂项相消再分组求和，根据题（1）、题（2）的解题经验便能轻松解答.

解答题（4）需要学生对题（3）的求解过程充分理解，从而使学生知道，解答题（4）需从熟悉的模型入手，化难为简，从而轻松解题. 首先通过观察通项发现，为熟悉的模型，为不熟悉的模型. 因此，可先将熟悉的模型进行变形，不熟悉的暂且不变，从而得到

-

;因括号里的式子为假分式，所以可将其进行分离，得

1+-1-

=

-

;去括号得-，变形后根据裂项相消法求和.

因为有题（1）、题（2）这样熟悉的模型作为铺垫，所以解答题（3）、题（4）也就更加容易了. 可见，分层问题的设置在教学中起着积极的作用，学生通过成功的经历，提升了学习的信心.

教学反思：教学中如果没有对原有认知的巩固而直接提出题（3）、题（4），即使基础好的学生也会望而生畏，基础差的学生更是遥不可及;而以题（1）、题（2）熟悉模型为基础，问题变得有层次，容易攀登. 这样通过新旧知识的结合，化难为简，实现了旧知的迁移，大大地提高了学生的数学学习能力.

又例如，在复习解析几何的定点问题时，教师设计了如下问题：

例2 （1）直线y+2=m（x-1）（m∈R）过定点________.

（2）直线y=mx+3（m∈R）过定点___.

（3）直线mx+y-m=0（m∈R）过定点________.

（4）已知曲线E：y2=4x，设点C，D是曲线E上的两点，设OC的斜率为k，OD的斜率为k，且k+k=1，证明：直线CD过某定点，并求定点的坐标.

若直接给出题（4），则学生会毫无头绪，而这样预先设置“问题串”，让学生将思路整理清晰并掌握通用解法，即“设参数—写方程—定定点”. 解题中只有明确方向，才能各个击破，从而解决问题. 因此，教学中要善于设计分层的“问题串”，使学生在不断解决问题的过程中体会和感受问题的统一性，通过再认识形成新能力.

[⇩] 集思广益，优化策略

高三的复习课，学生已经有了足够的知识储备，其在解题上也有自己的想法和见解. 因此，教学中要鼓励學生从不同角度去思考和解决问题，从而在不同的方法中找到最优解法，提升解题效率. 同时，教师在教学中应对作业和试卷进行分析和总结，通过不同的方法进行判断和反思，寻找思维的漏洞，从而有针对性地发展和完善学生的思维.

例3 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若tanA=3，cosC=，求B.

在解答此题时学生有着不同的解法，下面根据解法分析其优劣，从而取长补短.

解法1：由tanA=3，0<A<π，得sinA=，cosA=;由cosC=，0<C<π，得sinC=. 所以sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=. 因为sinB<sinA，所以0<B<，即得B=.

解法2：由tanA=3，0<A<π，得sinA=，cosA=;由cosC=，0<C<π，得sinC=. 所以cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=. 因为0<B<π，所以B=.

解法3：由cosC=，0<C<π，得tanC=2，所以tanB=-tan（A+C）==1. 因为0<B<π，所以B=.

在解三角形时，根据已知的一个角的三角函数值求其他角的三角函数值，学生习惯于列方程组求解，然而这样的求解过程计算量大、计算烦琐，增加了出错概率，因此需采用其他方法求解. 若利用初中的解直角三角形的知识，则可能会有意外的收获：解法1和解法3就是利用了解直角三角形的知识，得以快速求解.

在此题的求解过程中，先根据已知条件求得三角函数值，再根据角的范围确定其大小. 教学中，通过对比sinB，cosB，tanB，让学生意识到cosB，tanB在指定范围内是单调的，有正负号之分，因此求角比sinB更方便;同时，tanB的运算量更少，因此也更容易计算. 通过对比让学生学会选择适当的三角函数，明确选择范围的作用，同时通过多种解法的理解，能有效地巩固和发展学生的数学思维.

[⇩] 师生交流，共同成长

在教学过程中要关注学生的反馈，根据语言交流或者表情交流来判断学生对知识的理解、掌握和运用的情况，充分体现学生为主体，发挥学生的主体作用，有利于促进学生的进步和发展. 同时，在教学中要尊重个体差异，不同层次的学生有着不同的认知，相同层次的也会有不同的思考方向，正是由于不同的观点才使得交流变得更有意义. 通过有效地交流、大胆地质疑，可提升学生的参与度，提高课堂的有效性，从而有利于知识的内化和提升，促进个体认知结构的完善和建构.

例如，解析几何是高考的重要考点之一，因为解决它需要计算技巧、图形特点等才能理清思路，所以也是高三复习的重难点之一. 若要突破这一重难点，依赖于教师讲、学生听是很难达到预期效果的;但可以通过师生交流，充分结合学生的想法，从而一起探究，突破难关. 同时，加入学生的思路，题目也会变得更加生动、灵活. 对于这类复习题，教师可以给足学生时间去尝试练习，练习后通过交流分析新想法、新思路，之后再进行总结和练习，这样可以激发学生的潜能，促进数学知识的延伸和拓展，通过交流理清问题的来龙去脉.

可见，师生交流无论对教师还是对学生都是有益的：于教师，可以有效地结合学生的新思路、新想法，不断完善和优化解题过程，提高个人技能;于学生，交流可以让学生大胆地提出自己的想法，通过一起探究验证其准确性和可操作性，有利于理清思维误区，促进思维健康发展.

总之，在高三的解題教学中应重视层次教学，鼓励学生提出新想法、新思路，改掉“一言堂”的教学模式，通过集思广益、交流合作，让学生在实践中感悟和优化解决问题的通性通法，不断地完善和拓展自我认知结构.

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