用软件工具探究抛体运动的最值问题

摘  要：掌握常用软件工具，在教学中根据需要随时调用，是教师信息素养的重要方面，也是提高教学质量的重要途径。文章结合抛体运动碰撞障碍物时的最小值问题，用Algodoo软件模拟运动过程、获得数据，探究不同初速度下物体具有不同的碰撞速度存在着最小值的问题。还用GeoGebra探究其他情境的最值问题，软件的运用和绘图功能提高了探究工作的效率。利用软件从不同视角展示物理规律，对科学素养的培养有重要作用。

关键词：软件工具;Algodoo;GeoGebra;信息技术;平抛运动;最小值

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2021）2-0046-3

《普通高中物理课程标准（2017年版）》要求，物理教学要主动开发适合教学、提高教学质量的信息产品，拓宽物理学习的途径，促进物理教学方式的改革。一些软件是物理教学的重要工具。如Algodoo、GeoGebra、几何画板、仿真物理实验室。教师熟练掌握这些软件工具，需要的时候恰当地调用它们，对教师的教和学生的学都是大有裨益的。下面以探究抛体运动最值问题为例，展示Algodoo、GeoGebra 的独特功能。

1    问题的提出

假定有探险者被困在悬崖峭壁的一个山洞里，直升机前来救援，如图1所示。考虑到安全因素，直升机不能距离岩壁太近，只能从直升机向山洞投放受困者的生存必需品。如果从直升机上平抛物品，要求物品落入山洞时的动能最小，以保证物品的安全，采用什么初速度和高度投放物品才能满足上述要求呢？

2    模型的建构和推理

建立如图2所示的坐标系，直升机抛物的初始位置为坐标原点，悬崖为距离原点为L的竖线，方程为：x=L（1）

物体做平抛运动，水平方向做匀速直线运动：

x=v0t（2）

竖直方向做自由落体运动：

y=■gt2（3）

由以上三式可得：

y=■（4）

设物体的质量为m，它落到山洞口的动能为：

Ek=■mv■■+mgy（5）

（4）式代入（5）式得：

Ek=■mv■■+mg■=■m（v■■+■）（6）

由于v■■×■=g2L2为定值，当v■■=■时，Ek存在最小值。

由v■■=■得v■■=gL，代入（4）式得y=■=2.5 m

落入洞口的动能Ek=mgL

理论推导得出的结论是，直升机在高出洞口2.5 m处，以v0=■=7 m/s的速度平抛，落入洞口的动能为最小，假定物体质量m=10 kg，最小值为Ek=mgL=490 J。

3    Algodoo环境下的探究

这种实验实际验证有一定困难，Algodoo提供了逼真的模拟环境，我们可以利用该软件工具去探究。

在空间创建一个平台，用固定工具把它固定在背景上，平台摩擦系数设定为零。右侧5 m处创建竖直挡板，相当于悬崖，也用固定工具把它固定在背景上。如图3所示。

在平台上面创建小球，质量设定为10 kg，半径设为0.02 m（这样设定便于把物体看作质点，因为质量密度太大与现实有差距）。小球的摩擦系数设定为0，弹性系数设定为零，初速度设定为7 m/s，去掉空气阻力的影响，运行软件，物体的运动如图3所示。

打开小球的“显示图表”功能，默认是速度图，让小球恢复到初始位置，再运行软件，获得其运动的速度图像。从图像可以得到，小球碰壁的瞬时速度是 v=9.916 m/s，如图4所示。

运算得到物体碰壁的动能：

Ek=■mv■■=■×10×9.9162=491.6 J

物体碰壁时动能的理论值为490 J，而模拟值是491.6 J，偏大0.3%，这是什么原因造成的呢？我们截取图中的碰撞细节（图5），发现物体“进入岩壁”才反弹。该软件的算法是，在某一位置和状态（速度、角动量等）下，再取一个固定的时间小量，计算新的状态，如此重复，如果某次位置和岩壁位置重叠，说明碰撞产生，再把碰撞因子考虑进去，计算新的位置和状态，因此出现进入物体的偏差，这就是偏差的原因。

为了对比不同初速度运动的差异，我们把物体的初速度分别设定为6.0 m/s、6.5 m/s、7.0 m/s、

7.5 m/s、8.0 m/s，平抛轨迹如图6所示。

分别记录物体的速度图像，如图7所示，可以看到，碰壁后物体速度发生突变，图像出现拐点，速度图的最高点即为碰壁时的速度。

（从左到右对应的初速度分别为8.0 m/s、7.5 m/s、7.0 m/s、6.5 m/s、6.0 m/s）

截取图7的局部，把碰壁速度（拐点）连接起来，得到一条曲线（图8的点线），最小值的位置和理论计算结果是一致的，如图8所示。通过这些情境、图像和数据，能让学生真切地感受到理论推导的价值。

4    问题的拓展

如果把上述问题中的“竖立峭壁”变成其他形状，比如倾斜的直线、圆、抛物线等，我们利用GeoGebra的运算和绘图功能进行探究。

在GeoGebra 的绘图窗口里，建立“滑动条”a表示物体的初速度，v0=a，范围设定为0到15，用来改变不同的初速度对应的抛物线轨迹。

抛物线方程为y=■，在命令栏输入该函数，获得抛物线。如图9左图所示。

过纵轴y=5和横轴x=7两点作一倾斜线段表示斜坡，交抛物线于F点，提取F点的纵坐标h，则物体在F点的动能为Ek=mgh+■ma2。

设m=0.003 kg，相当于一只乒乓球的质量，g=10 m/s2。建立点M[x（F），Ek]，选择M点的“开启追踪”功能。拖动滑块a， M点随之移动并留下轨迹，如图9右图所示，轨迹是一条曲线，该曲线直观地表示出不同初速度物体对应的末动能变化，曲线有最小值点。这里我们借助GeoGebra 探究问题，减少了探究的难度，提高了探究的效率。

我们还可以改变“岩壁”的形状为抛物线、半圆、四分之一圆，用上述方法进行探究。

5    软件工具的功能和优势

在“探究抛体落到不同形状的障碍物上的动能最值问题”案例中，如果仅仅有理论推导，学生缺少感性体验，对问题的认识也仅仅停留在较浅的层次。

Algodoo 中搭建的物件具有常见的物理属性，如弹性、摩擦等，运行的结果与真实仿真度极高，可以作为科学研究的工具。在本案例中，可以探究不同初速度条件下物体的下落和碰撞情境，还能输出需要的各种数据，便于我们选择研究，而整个设计过程是很快捷的，不需要编程。

GeoGebra 具有的计算和绘图功能，能使问题的拓展研究不再拘泥于理論推导，而是直观的图像处理，设计过程也十分便捷。

以上仅仅用到了Algodoo和GeoGebra软件的少量功能，这些软件的功能十分强大，需要我们进一步去开发和应用。软件工具的使用对学生未来的发展和将来从事科学研究是有帮助的。

参考文献：

[1]乔永海，张晓爽.软件工具与高中物理教学深度融合的探索[J].中小学数字化教学，2020（05）：83-85.

[2]乔永海.用GeoGebra绘制定质量理想气体的三维图像[J].物理教学探讨，2020，38（08）：48-50.

（栏目编辑    王柏庐）