教材例题“变脸”记

王云峰

教材例题具有典型性、示范性和探索性的特点，有很多考题都源于教材例题，由命题专家巧妙构思、编拟而成。同学们平时学习应立足教材，对教材例题给予足够的重视。现举一例与同学们共赏。

原题呈现（苏科版数学教材九年级下册第138页练习2）一只不透明的袋子中装有2 个红球和1 个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次都摸到红球的概率。

【解析】把2个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两次都摸到红球”记为事件A，它的发生有4种可能，所以事件A 发生的概率P（A）=49，即两次摸到红球的概率是49。

变脸一“一只袋子”变为“两只袋子”，“两次都摸到红球”变为“摸出的两个球颜色相同”。

例1 （2020·黑龙江鸡西）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）。

A.13

B.49

C.35

D.23

【解析】给第一只袋子中的2个红球编号为红球1、红球2，给第二只袋子中的2个红球编号为红球3、红球4，用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“摸出的两个球颜色相同”记为事件A，它的发生有4种可能，所以事件A 发生的概率P（A）=49，即摸出的两个球颜色相同的概率是49。故选B。

【点评】“从一个袋子中摸两次球（第一次摸出的球放回袋子）”与“从两个袋子中分别摸出一个球”所有可能出现的结果居然相同，但其中的不同需同学们自己研究。

变脸二“两种颜色球的个数已知”变为“某种颜色球的个数未知”，“两次都摸到红球”变为“两次摸到不同颜色的球”。

例2 （2020·湖南衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13。

（1）求n 的值;

（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明。

【解析】（1）根据题意，得

。

解得n=1。

经检验，n=1是分式方程的根。

答：n 的值为1。

（2）给袋子中的2个黑球编号为黑球1、黑球2，用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有9种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“兩次摸球摸到一个白球和一个黑球”记为事件A，它的发生有4种可能，所以事件A 发生的概率P（A）=49，即两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率是49。

【点评】已知概率的值，可借助等可能条件下的概率公式，利用方程思想，列方程求出某种颜色球的个数。需要注意的是，如果列出的是分式方程，别忘了分式方程必须进行检验。

变脸三“三个球”变为“两个球”，球的颜色变为数字。

例3 （2020·北京）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字1、2，除数字外两个小球无其他差别。从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）。

A.14

B.13

C.12

D.23

【解析】用树状图列出所有可能出现的结果如下：

由树状图可知，共有4种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两次记录的数字之和为3”记为事件A，它的发生有2 种可能，所以事件A 发生的概率P（A）=24=12，即两次记录的数字之和为3的概率为12。故选C。

【点评】“三个球”变为“两个球”，两次摸球可能出现的结果数减少。一般地，如果第一次摸球所有可能出现的结果是3种及以下，往往采用画树状图法求解。当然也可利用列表法求解，只是没有画树状图法方便、快捷。变脸四“三个球”变为“四个球”，颜色由两种变为三种。

例4 （2020·陕西）小亮和小丽进行摸球试验。他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球、一个白球和一个黄球，共四个小球，这些小球除颜色外其他都相同。试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次。

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率;

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率。

【解析】（1）∵小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，

∴这10次中摸出红球的频率= 610=35。

（2）给袋子中的2个红球编号为红球1、红球2，用表格列出所有可能出现的结果：

由表格可知，共有16 种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。“两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球”记为事件A，它的发生有2种可能，所以事件A 发生的概率P（A）= 216=18，即两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率是18。

【点评】“三个球”变为“四个球”，两次摸球的所有可能出现的结果增多。一般地，如果第一次摸球所有可能出现的结果有4种及以上，往往用列表法列出所有可能出现的结果。当然也可采用画树状图法列出所有可能出现的结果，但由于结果较多，树状图法所需书写空间较大，且书写没有表格美观，因而较少采用。

变脸五“一个口袋”变为“三个口袋”，“两次摸球”变为“三次摸球”。

例5 （2020·内蒙古通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1、2;乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3、4、5;丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6、7。从三个口袋各随机取出1个小球。用画树状图或列表法求：

（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率;

（2）取出的3个小球上全是奇数的概率。

【解析】用树状图列出所有可能出现的结果：

由树状图可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的。

（1）“取出的3 个小球上恰好有一个偶数”记为事件A，它的发生有5 种可能，所以取出的3 个小球上恰好有一个偶数的概率为P（A）= 512。

（2）“取出的3个小球上全是奇数”记为事件B，它的发生有2种可能，所以取出的3个小球上全是奇数的概率为P（B）= 212=16。

【点评】从三个口袋中分别取出一个球，一次试验需“三步”才能完成，习惯上称这类问题为“三步概率”问题。需要注意的是，“三步概率”问题只能采用画树状图法列出所有可能出现的结果求解。

（作者单位：江苏省盐城市葛武初级中学）