任尔东西南北风，立根原在教材中

许小玲

基于锐角三角函数来解决实际问题，因其能考查数学抽象与建模能力、数学分析与推理能力、数学运算与反思能力而备受命题者的关注与青睐。此类问题源于现实生活，背景与形式可谓千变万化，但仔细研究发现：无论问题如何变化，其基本图形、解题思路、思想方法均源自教材，可以引用清代画家郑板桥的诗句并改编成“任尔东西南北风，立根原在教材中”。不妨先來看这样一道中考题：

例1 （2020·河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一。某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度。如图1所示，他们在地面一条水平步道MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿MP 方向前进16m到达点N 处，测得点A 的仰角为45°。测角仪的高度为1.6m。求观星台最高点A 距离地面的高度。（结果精确到0.1m。参考数据：sin22° ≈0.37，cos22° ≈0.93，tan22° ≈0.40，2≈1.41）

【略解】过点A 作AD⊥PM 于点D，延长BC交AD 于点E，如图2，易得BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m。设AE=x，在Rt△ACE 中，因为∠ACE=45°，所以CE=AE=x，在Rt△AEB 中，tan ∠ABE=

，所以BE=

，而BE-CE=BC，所以

，所以x≈10.7（m），故AD=10.7+1.6=12.3（m）。

该题是通过作垂线，将实际测量问题转化为解直角三角形问题。图形的特点是：两个直角三角形有一条公共的直角边，且这两个三角形在公共直角边的同侧。这样的图形、这样的思路虽然出现在河南中考试卷中，但是在我们的数学课本里也能找到源头。

例2 （苏科版数学教材九年级下册第115页问题3）为了测量停留在空中的气球高度，小明在某处利用测角仪测得气球的仰角（从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为27°，然后他沿正对气球方向前进了50m，再次测得气球的仰角为40°。如果测角仪高度忽略不计，那么气球的高度是多少？（精确到0.1m）

例3 （苏科版数学教材九年级下册第116页练习1）飞机沿水平直线飞行时，测得正前方停泊在海面上某船只的俯角（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为15°，面向船只方向继续飞行10km后测得该船只的俯角为52°。求飞机飞行的高度。（精确到1m）

仔细观察3个例题，我们不难发现有四个共同特点：

一是都需要数学建模。三个问题背景不同，但考查本质是一样的，都需要将实际问题转化为数学问题，即运用建立模型的思想来解决问题，构建适当的数学关系（如公式、函数、方程或基本图形）使现实的问题情境转化为易于解决的数学模型。用相关知识求解数学模型（解模），其流程图如图所示。

二是图形基本相同。它们都是由具有公共直角边的两个直角三角形组成。

三是构图方式相同。都需要通过作辅助线（垂线）构造直角三角形，再运用解直角三角形的知识。

四是解题方法相同。由于线段长度不能直接求出，故运用间接的方法，即设立辅助未知数，利用公共直角边为相等关系，建立方程解决问题。如例2中，设CD=x，利用三角函数表示出BD=

和AD=

，再根据AD-BD=AB 列出关于x 的方程。同样，在例3中，设CD=x，利用三角函数表示出BC=tan52° 和AC=tan15°，再根据AC-BC=AB 列出关于x 的方程。

所以，数学学习的关键是：从教材中来，回到教材中去。

（作者单位：江苏省泰兴市济川初级中学）