自我设问巧架“桥梁”

张杰

数学学习需要研究解题的思路，更需要掌握科学的研究方法。学会自我设问，将数学问题分解成若干个子问题，驱动自己的思路拓宽和思维发展，是一种行之有效的学习方法。从解题思路来说，要善于架设桥梁，如架设连接几个已知条件之间的桥梁、架设未知与已知之间的桥梁。这里以解直角三角形中两个问题的探究为例，和大家聊聊自我设问的探究方法、巧架桥梁的解题思路。

例1 （苏科版数学教材九年级下册第110页例3）如图1，在△ABC 中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°，求AB。

【自我设问】我们可以从以下几个方面给自己提出问题：

第一，从哪个地方入手？△ABC 不是直角三角形，但已知两角和一边的三角形是确定的，换言之，所有未知的边和角都可求，但现有的手段就是解直角三角形，故设法作垂线构造直角三角形，达到“化斜为直”的目的。如图1，过点C 作CD⊥AB 得到两个直角三角形△ACD 和△BCD。

第二，从边入手考虑有何发现？显然，连接△ADC 和△BDC 的桥梁是公共边CD。

第三，出现两个直角三角形后可直接解决什么问题？

在Rt△ADC 中，AC=8、∠A=30°已知，其他元素都可求，如∠ACD=60°，CD=4，AD=4 3。

第四，求AB 的突破口在哪里？在Rt△BDC 中，∠B=45°已知，还差一条边。这条边非CD 莫属，至此，CD 边“登场”。

【巧架桥梁】

许多求图形线段长度和角的度数的问题都能归结到解直角三角形。学习了“解直角三角形”以后，同学们都知道，在一个直角三角形中，除直角外的五个元素中，至少知道两个元素，其中至少一个元素是边，即已知一边一角或两边，就能求出其他元素，这个过程就叫作解直角三角形。有时，问题中的直角三角形可能不止一个，这就需要研究问题中几个直角三角形边与边、边与角的关系，并以这些关系作为“桥梁”连接几个三角形，从而使问题得以解决。

由此可见，解题的关键是抓住这两个直角三角形的公共边CD，它是连接两个直角三角形的桥梁。

例2 如图2，水库堤坝的横截面成梯形ABCD，DC∥AB，背水坡AD 的坡角为45°，坡长为3 2m，坝顶宽DC=2m，坝底宽AB=9m。求迎水坡BC 的坡度i。

【自我设问】

第一，由梯形ABCD 想到什么？

第二，由“AD 的坡角为45°，坡长为3 2m”能得到什么？

第三，求迎水坡BC 的坡度i 需要求哪些量？

请同学们自主回答设问的问题。

【巧架桥梁】

我们知道，坡度=铅垂高度∶水平宽度，要得到铅垂高度和水平宽度，自然联想到作CE⊥AB，将求坡度转化为求CE 和EB 长的问题。从条件“AD 的坡角为45°，坡长为3 2m”应该想到过点D作DF⊥AB，这样将梯形分割成矩形DCEF 和两个直角三角形（Rt△AFD 和Rt△BEC），这两个直角三角形有一组边相等，这样就架设了沟通Rt△AFD 和Rt△BEC 的桥梁。抓住梯形中相等的高这个桥梁，问题解决可谓不费吹灰之力。请同学们自主完成解答过程。

纵观这两个例题，最后都转化为解直角三角形。所以，我們以后无论遇到几个这样的直角三角形，只要紧扣这些直角三角形边之间的关系，学会自我设问，巧妙架设桥梁，解题思路便信手拈来。

（作者单位：江苏省泰兴市济川初级中学）