心中有型，釜底抽薪

吉婷

相似三角形是中考的必考内容，常见于中考压轴题中。通过观察和分析，我们可以发现复杂的图形其实都是由一些常见的基本图形组合变换而成，而图形中又蕴涵着丰富的数量关系和位置关系。理解并掌握这些基本图形，对我们解决相似问题有很大帮助。

常见的相似三角形模型涉及两大类，一类是平行线型，另一类是相交线型。请大家通过下面的思维导图和两个例题一起来感受模型的力量。

例1 如图1，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一点，问是否存在P点，使得∠1+∠2=45°。若存在，请求出P点坐标;若不存在，请说明理由。

【分析】通过抛物线方程可以求出A（l，0）、B（3，0）、C（O，3），则△BOC是等腰直角三角形，∠OCB=∠OBC=45°。

题中已知∠1+∠2=45°，可以发现，点P可以在B的上方且满足∠PCB=∠ACB，也可以和A重合。P可以看成是直线CP与抛物线的交点。将直线延长后，我们可以发现依边傍角的母子型，便可求出点E的坐标，再将直线表达式与抛物线表达式联立方程即可求得。

解：若点P在点B的上方，延长CP与x轴交于E点，∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2，

∴∠1=∠E。

又∵∠COA为公共角，

∴△OCA一△OEC，

∴OC2=OA·OE，即9=1×OE，

∴0E=9，∴E（9，0），

∴直线表达式为y=-1/3x+3。

将直线表达式与抛物线表达式联立方程可求得点P的坐标为（11/3，16/9）。

若P点与A点重合，则P（l，0）也符合题意。

综上所述，P的坐标为（11/3，16/9），（1，0）。

【点评】当点P可以在B的上方时，我们观察图形，发现∠1在Rt△OCA中，这个三角形中的角和边都已知，因此我们抓住该三角形的边和角。由∠1+∠2=45°，延长CP能找到和∠1相等的角，这样我们就能发现依边傍角的母子型。构造母子型解决问题时，我们一定要先定三角形，再定定角，最后构等角。

例2 如图3，在四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD= ∠DBC=22.5°，AE⊥BC于点E，∠ADE=67.5°，∠BA D=112.5°，AB=6，求CE的长。

【分析】由AE⊥BC，∠ABD=∠DBC=22.5°，求得∠BA E=45°，这样∠BGE=∠AGD=67.5°。题中又知∠ADE=67.5°，出现一线两等角，所以作∠AFB=67.5°，不仅能构造Rt△BFA，还能构造异侧一线三等角模型△FDA-△GED，易得∠DA F= ∠GDE=22.5°，所以∠DEC=45°。再由∠DBC=∠GDE=22.5°得DE=BE。在等腰Rt△BEA中，BE=32，则在等腰Rt△DEC中，求得CE=3。

解：作∠AFB=67.5°。

∵AE⊥BC，∠ABD=∠DBC=22.5°，

∴∠BA E=45°。

在等腰Rt△BEA中，AB=6，

∴BE=32，∠BGE=67.5°，

∴∠DGE=112.5°。

∵∠FB=67.5°.

∴FD=112.5°，∠BA F=90°，

∴∠DGE=∠AFD。

∵∠ADF+ ∠GDE= ∠GED+ ∠GDE=67.5°，

∴∠ADF=∠GED，

∴△FDA-△GED，

∴∠DA F=∠GDE=112.5°-90°=22.5°.

∴∠DEC=45°，∠GDE=∠DBC=22.5°，

∴DE=BE=32，

∴在等腰Rt△DEC中，CE=3。

【點评】本题通过已知角度，可以挖掘出相等的角。难点在于利用哪些等角解决问题，那么这里的∠BGE、∠ADE是我们要找的相等的角，BD是我们要找的定边，这就出现一线两等角，所以我们再构造一个与之相等的角就可以解决问题了。在构造一线三等角的时候，我们要找到等角，抓住定边，利用同侧、异侧模型进行构造。

模型可以让问题本质化、简洁化、一般化。有了以上的模型，我们就能让复杂的相似问题的解决有了共同的程序和方法。在平时的数学学习中，我们要善于将数学问题建立模型，让数学思考更有方向，让数学思维更为高效。

（作者单位：江苏省常州市金坛区华罗庚实验学校）