一类临界的拟线性薛定谔方程组基态解的存在性

董 楠 王丽丽

(吉林省通化师范学院 134001)

本文主要在R3中研究耦合的拟线性薛定谔方程组

基态解的存在性，其中p,q≥2,4

拟线性薛定谔方程有着深厚的物理背景，具体可参考文献[1]-[3].近年来关于拟线性薛定谔方程组的研究有很多,本文参考文献[4]-[6].定义希尔伯特空间

假设以下条件成立，其中i=1,2：

(V1)Vi∈C(R3)且存在常数b>0，使得m{x∈R3:Vi(x)

(V2)0=Vi(0)≤Vi(x)≤maxVi.

(K)0

定理1.1 假设(V1)-(V2)，(K)成立.那么对∀σ>0，∃τσ>0，使得当ε≤τσ时，方程组(1)至少有一个正解uε∈(uε,vε).

一、等价变分问题

令λ=ε-2，则对于λ→+，方程组(1)等价于

因此，对于∀λ>0，范数||·||等价于如下范数

方程组(2)对应的能量泛函为

利用变量替换u:=f-1(u1)，v:=f-1(v1)，其中f为如下定义

且f(t)=-f(-t),t∈(-,0].

函数f的性质参看文献[7].变量变化后的能量泛函为

根据假设(V1)和(K)知Φλ为C1的且在E上有意义.

二、(P.S.)c序列

引理3.1 假设(V1)-(V2)和(K)成立.设(un)是泛函Φλ的(P.S.)c序列,则c≥0，且(un)在E中有界.

证明设(un)是一个(P.S.)c序列：

根据(K)及4

(3)

又由(K)和(V2)及函数f的性质可得

从而有

引理3.2假设(un)是引理3.1中定义的.则

因此，我们得到

三、山路几何结构

引理4.1存在ρ,α>0,使得当||u||λ=ρ时,有

引理4.2 对于上述ρ，存在一个常数β>0，使得inf||u||λ=ρΦλ(u)≥β.

显然，对于任意的ε>0，存在Cε>0，使得