巧解三视图中的正方体个数问题

董翠花

由大小相同的小正方体堆积成的几何体，我们不难画出它的三视图;反过来，给定小正方体堆积成的几何体的视图，如何确定小正方体的个数，是同学们普遍感到困难的地方，那么如何解决此类问题呢？

这种类型的问题通常分两类：一是已知三个视图，确定小正方体的个数;二是已知两个视图，确定小正方体个数的最值问题。而已知两个视图又分两种情况：含有俯视图和不含俯视图。下面，我们对解决这类问题的方法进行总结。

一、已知三个视图，确定正方体的个数

例1由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图如图1所示，则搭成该几何体的小正方体有（）。

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视圖可以看出每一层小正方体的个数，从而算出总个数。

解：由俯视图可以看出这个几何体是2行2列，如图2;

由主视图可以看出从左往右第二列最高是1层，所以俯视图中有两个位置的层数可以确定，如图3;

从左视图可以看出从后往前第一行最高是1层，第二行最高是2层，再结合主视图第一列最高是2层，所以俯视图中另外两个位置的层数就确定了，如图4。

最后将各个数字相加，即1+1+1+2=5（个）。故选C。

二、已知两个视图，确定小正方体的个数

的最值

1.含有俯视图。

例2一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图5所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是个。

【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合

左视图可知俯视图最上面一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案。解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少的分布情况如图6所示，所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5个。

例3如图7是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是个。

解：由俯视图与主视图知，该几何体所需

小正方体个数最多的分布情况如图8所示，所以组成该几何体所需小正方体的个数最多为6个。

2.不含俯视图。

例4由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图9所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）。

A.6

B.5

C.4

D.3

【分析】根据主视图和左视图确定俯视图是2行2列，画出“2行2列”俯视图的全图，再根据例1的方法确定各个位置的高度，标出对应位置的层数。因为要求最少个数，再把“违章”拆除，进而确定小正方体的最少个数。

解：据主视图和左视图确定俯视图是2行2列，先画出“2行2列”俯视图的全图，如图10;

再根据例1的方法确定各个位置的高度，标出对应位置的层数，如图11;

因为要确定最少个数，所以再把“违章”拆除，如图12，最终确定小正方体的最少个数是1+2=3（个）。故选D。

由视图确定小正方体的个数，主要抓住俯视图。借助“俯视打地基”，结合主视图和左视图，弄清俯视图中各个位置的层数，标上相应的数字，这样此类问题就容易解决了。

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）