密度依赖的不可压缩液晶模型的爆破准则

张明雪，王昌花

(1.山东理工大学 数学与统计学院,山东 淄博255049；2.张店区第九中学,山东 淄博255040)

1 模型和主要结果

(1)

式中：ρ∈是流体的密度函数;u∈N是速度场;d∈SN-1(N中的单位球面)是代表宏观分子取向的单位矢量场;标量函数∏∈是压力;正常数μ,α,β分别代表粘度，动能与势能之间的竞争，微观弹性弛豫时间或分子取向场的Deborah数，因为α,β的确切值在分析中不起作用，所以可以取α=β=1；符号⊗表示Kronecker张量积，因此u⊗u=(uiuj)1≤i,j≤N;d⊙d表示第i、j个元素为∂xid·∂xjd(1≤i,j≤N)的矩阵。实际上，d⊙d=(d)Td,其中(d)T表示N×N阶矩阵d的转置。

对于所有l>0，注意到系统(1)在以下变换中保持scaling不变:

(2)

(3)

Xu等[5]在密度场具有小性条件下证明了系统 (1) 的局部适定性和小初值意义下的整体适定性。

命题1 设10，系统(3)存在唯一解(a,u,d)满足：

此外，如果存在一个正常数η1使得

则可以取T=+。另外，如果1

徐夫义等[6]对多维可压缩液晶流体进行了类似研究。需要指出的是，该模型大初值意义下的整体适定性仍是一个公开问题。本文探索的是方程中影响局部解延拓到整体解的因素，即该模型的爆破准则问题。

满足

(4)

则(a,u,d)在t=T*之后可以延拓。

2 预备知识

2.1 Littlewood-Paley 分解

容易得到

成立，则称作f的Littlewood-Paley 分解。

2.2 齐次Besov空间

定义1[7]令s∈，1≤p,r≤+，定义齐次Besov空间为

其中

在Besov空间中，有以下常用的乘积估计。

命题2 对于所有的1≤r,p,p1,p2≤+,存在一个正常数使得

2.3 伯恩斯坦不等式

命题3 令1≤p1≤p2≤+，假设f∈Lp1(N)，则对于任意γ∈(∪{0})N，存在不依赖于f,q的常数C1,C2，使得

命题4 令1≤p,p1≤,1≤r≤和σ∈，则存在一个只依赖于σ的常数C>0，使得对任意的q∈，有

其中交换子[·,·]定义为[f,g]=fg-gf，并且(cj)j∈表示一个序列满足

3 定理1证明

根据临界Besov空间中MHD系统的正则性准则的证明过程[8]，证明定理1，为此，本文只需要证明存在常数C>0，使得下面的式子成立

(5)

(6)

(7)

对于式(7)左边的第二项，由Bernstein 不等式可以得到

(8)

所以，式(7)变为

(9)

由交换子估计：

(10)

有

所以，

由Gronwall不等式，可得

(11)

此外，还可得到

(12)

由式(11)、(12)有

(13)

∂tu+u·u-μΔu=F，

(14)

式中F≜μaΔu-(1+a)div(d⊙d)-(1+a)∏。

(15)

(16)

类似于式(8)，有

即

由交换子估计式(10)，有

所以，

(17)

下面估计F。由乘积估计，有

(18)

对于F第二项(1+a)div(d⊙d)，由乘积估计，插值不等式及式(13)有

(19)

估计F第三项(1+a)∏。首先将散度算子div作用于式(3)中的第二个方程，得到

-Δ∏=div(a∏)-divG，

其中G=μaΔ∏-u·u-(1+a)div(d⊙d)。由乘积估计及Bernstein不等式，有

(20)

结合式(18)、(19)和(20)可得

(21)

由Gronwall 不等式有

定理1得到证明。