开发解题智慧——探讨解题方法的改进

■福建省长汀县策武中学 陈廷长

一、运用数形结合思维开发初中生的解题智慧

初中生数学解题智慧的开发，可以从其大脑思维能力着手，而在数学解题中，存在丰富有用的数学解题思维，比如常见的数形结合解题思维，这是一种有效的数学解题思维方式，也非常考验初中生的大脑分析和理解能力。在讲解一个初中数学函数题目时，可以引导学生应用数形结合思维，将题目中涉及的图形、数量关系构建起来，以利用数与形的转化迅速解答数学题目。

请看下面这道初中数学函数问题：直线y=x+3的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l经过原点且与线段AB交于C，把△ABO的面积分成2：1两部分，请求出直线l的解析式。

解题分析：从题目来看，似乎给出的数据信息并不多，但也存在很多的数学知识信息点，如直线方程、图像、三角形面积等。那么如何运用这些数据信息来构建数学解题思维则是后续问题解答需要思考的问题。其中，为了有效开发学生的数学解题智慧，可以从数形结合角度，结合图像中的数据信息条件，利用以形代数的思维方法，求解出相关的坐标进而得出解析式。

解题过程：看图中信息，可以获知其中的已知条件，即直线AB的斜率是k=1，由此得到OA=OB，从而推导出S△AOC=1/2 OA×yc；S△BOC=1/2 OA×（-xc)，又∵S△AOC：S△AOC=2或者1/2，∴直线的方程可以是y=-2x或者y=-1/2x.

二、运用转化解题思路开发学生的数学解题智慧

除了上述提到的数形结合思维之外，很多初中数学题型还能运用转化思维来解答，而转化思维也是考验学生大脑思维能力的一种有效思维方式，且有助于开发学生的解题智慧，使其可以懂得选择比较适合解题的方法，从而形成良好的综合解题意识。那么在实际解答数学几何问题时，教师需要引导学生将复杂的几何问题尽可能转化为一个或几个简单问题来解决，或者是归结为一个比较熟悉的问题来解决，这样通过简单或者熟悉的问题答案返回去求得复杂问题的答案，从而促使学生激活自身潜在的转化思维智慧。

请看下面这道初中数学几何问题：已知右图中，P是正方形ABCD内的点，∠PAD＝∠PDA＝15°，请求证：△PBC是正三角形。

解题思路：初看这道数学几何问题，似乎给出的数据信息不多，但是学生想要求证出△PBC是正三角形，也是需要找到解题突破口，才能有效解答数学问题。其中，教师可以引导学生将几何问题转化为数量关系分析问题，以提升解题的效率。

解题过程：根据题目条件，将题目中的几何图像进行拆分，即在正方形内作△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边三角形，那么依据SAS证出△DGC≌△PGC，从而推出DC=PC，进而得到PB=DC=PC，由此得到△PBC是正三角形。

解题反思：在这道初中数学几何问题中，教师可以从转化思维角度，引导学生灵活将题目中的几何问题转化为数量分析，以将复杂的数学几何问题简单化，这样更能够节约解题时间。

三、运用分类讨论思维开发学生的数学解题智慧

在一道初中数学题目中往往需要多步骤分析和探索，才能全面、有效地解答出数学问题的答案。其中，在初中数学解题中，学生应该遵循如下分类讨论步骤：第一，明确数学题目讨论的内容；第二，正确选择和确定数学解题的分类标准，从而对数学问题进行合理的分类；第三，根据分类进行数学问题的逐类讨论，由此提出解决数学问题的方案；第四，归纳讨论的结果，并得出结论。另外，在应用分类讨论思想时，学生也需要注意按照同一标准进行，否则将无法进行有效的数学问题分类讨论。可是，无论学生遇到的是怎样的数学问题，都应该结合具体的数学题目，先思考是否能够运用分类讨论思想，再对数学问题进行作答。

请看下面这道初中数学问题：解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1

解题分析：对于初中数学不等式的解答，往往涉及分类讨论思想，而教师可以运用分类讨论逐步培育学生良好的讨论习惯，由此逐步激发学生的数学解题智慧。首先，学生需要明确讨论的对象，也就是不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1。其次，选择相关的分类标准，这就需要学生将不等式中的绝对值去掉，从而有效确定分类讨论的区间，即，x≤-3/2，-3/2＜x≤5，x＞5。最后，根据这些分类的目标及标准，对这些讨论的区间进行分析，从而求解出答案。

解题过程：

（1）当x≤-3/2时，原不等式化为－（x-5）-［-（2x+3）］＜1，解得x＜-7，结合x≤-3/2，故x＜-7是原不等式中的一个解。

（2）当－3/2＜x≤5时，原不等式化为－（x-5）-（2x+3）＜1，解得x＞1/3，又∵-3/2＜x≤5，∴1/3＜x≤5。

（3）当x＞5时，原不等式化为：x-5-（2x+3）＜1，解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解。

那么综合上述分析结果，最终得到不等式的解为：x＜-7或者x＞1/3

解题反思：当遇到需要分类讨论的数学问题时，学生应该运用分类讨论的思想，对其中的数学题目进行分析和讨论，这样有助于一步步激活自身的解题智慧与能力。

综上所述，对于初中生数学解题智慧的开发，教师可以从各种数学解题思维角度来培育学生的数学解题能力，由此逐步开发学生的数学解题智慧，进而提升学生的数学解题效率。