斜拉桥悬臂施工阶段自振频率简化计算方法

王洪云 尚念恒 彭霞

1.山东省交通工程监理咨询有限公司 济南250002

2.泰安市公路规划设计院 271002

3.山东交通学院 济南250023

引言

振动频率、振型及阻尼比是反映结构动力特性的三个主要指标，也是表征结构总体状态的重要参数。斜拉桥的结构体系问题、抗风性能、抗震性能均与结构的动力特性密切相关。

自振频率和振型是结构固有的动力特性，对于自振频率相差很大的两个结构体系，即使外观上极为相似，但动力特性可能会出现较大差异；反之，对于自振频率相似的两个结构，外观即使差异很大，但在动荷载作用下的动力性能可能保持相近。因此，对桥梁结构体系的自振频率和振型等进行研究对把握结构的动力特性具有重要意义［1］。影响结构自振频率和振型的主要因素包括结构的质量分布和刚度，而结构的自振频率可通过模态试验来测试。

斜拉桥是结合梁桥与悬索桥优点的组合结构体系，由主梁、索塔和斜拉索三部分组成。其中，斜拉索承受拉力，主梁以承受弯矩为主，索塔以承受斜拉索传来的轴向压力为主。斜拉桥自从20世纪70年代传入我国后，得到了迅速的发展。斜拉桥在悬臂施工阶段，属于超低频振动体系，结构稳定性较差，受环境、施工荷载及索力偏差等因素影响较大，并且随着主梁悬臂长度的增大，结构的自振特性不断发生变化，对结构在施工中的自振频率进行定量分析可作为桥梁施工控制的一种辅助手段，以了解结构的施工状态和保证结构的施工安全。

本文拟通过理论分析建立斜拉桥在施工阶段的简化自振频率计算公式，通过与实测模态数据的对比分析，研究斜拉桥在施工阶段的动力特性，为桥梁施工阶段的监控和抗震性能的设计提供参考，同时为斜拉桥概念设计阶段动力特性的框算提供一种手段。

1 斜拉桥动力特性的研究现状

国内外学者对斜拉桥的动力特性和简化计算方法已经进行了一定的研究。1985年，项海帆［2］指出在成桥阶段的第一振型中贡献占绝对优势为纵向水平振动，于是将桥面的全部质量集中到塔顶，并将桥塔的自身质量换算成等效质量同样集中到塔顶，形成替代体系，建立了单质点模型，模型简化图示如图1a所示。单质点计算模型和计算结果与实际状态有较大出入，单质点模型的纵飘频率近似计算方法仅在桥塔抗推刚度与主梁摆动刚度比较接近的情况下，才具有较高的精度，使单质点模型的基频计算公式不具备普遍性。2005年，袁万城［3］在单质点模型基础上建立了双质点简化模型，进一步提高了漂浮体系斜拉桥动力分析的精度，模型简化图示如图1b所示。但此处的双质点计算模型和计算结果与实际状态仍有出入，误差依然存在，仅在桥塔抗推刚度大与主梁摆动刚度较小的情况下，才具有较高的精度。

图1 力学简化模型Fig.1 Simplified calculation model

2010年，龙驭球，包世华［4］指出集中质量法、广义坐标法和有限元法是目前常用的建立结构振动分析模型的方法。建立斜拉桥振动方程的方法主要是根据达朗伯原理，采用柔度法或者刚度法建立平衡方程。

目前针对斜拉桥的振动特性的研究对象为成桥阶段的斜拉桥，并用于成桥阶段的验收、桥梁运营阶段的健康监测以及桥梁抗震特性的研究，而针对施工阶段的动力特性研究未见相关文献，本文在双质点模型基础上从成桥阶段扩展到施工阶段，并在双质点模型的基础之上推导出进一步简化计算公式，可对斜拉桥施工阶段动力特性的快速计算提供参考。

2 施工阶段双质点体系振动模型

在施工阶段，斜拉桥一般采用悬臂对称施工的施工方法，桥塔只承受对称的恒荷载以及施工荷载，不承受汽车和人群荷载。

2.1 边界条件简化

在悬臂施工阶段，桥塔与承台之间的连接视为刚性连接，桥塔与主梁之间的连接（包括临时连接）也视为刚性连接处理。斜拉桥的悬臂施工结构向桥塔两侧逐渐推进，直至成桥阶段，如图2所示。无论塔梁固结还是漂浮体系斜拉桥，在施工阶段采用临时固结或者永久固结后，桥塔和主梁的联系可作为刚结处理。

图2 斜拉桥施工阶段示意Fig.2 Schematic construction stage of cable stayed bridge

2.2 桥塔振动模型简化

本模型将质量连续分布的桥塔自身质量和作用位置进行等效换算，保持桥塔的总质量不变，质心作用位置放在桥塔的重心处，主塔若为等截面直塔，则质心作用位置在承台以上1/2塔高位置处；主塔若为变截面塔，则质心位置在塔高1/2以下位置。

2.3 主梁振动模型简化

在本模型中，将每个施工阶段的质量增量和位置计算后，进行加权平均，计算等效的主梁质量位置。若0号段没有张拉斜拉索，则0号段的质心位置在实际的主梁位置处，如图3a所示。从1号段开始，随着斜拉桥拉索的张拉，主梁的重量由斜拉索对称传递到桥塔，以轴心受压的方式作用于桥塔截面，桥塔在斜拉索的锚固点以下，桥塔截面均匀受压，故轴向压力的作用点位置在斜拉索锚固点以下1/2位置，如图3b所示。

图3 施工阶段双质子模型Fig.3 Double-mass model of construction stage

3 施工阶段动力特性简化计算公式

按柔度法建立两个自由度无阻尼振动体系的自由振动微分方程［5］，并且求出结构的圆频率ω，设：

则第一圆频率为：

第二圆频率为：

根据文献［4，5］得到式（4）和式（5）：

式中：δij为单位力作用在j点在i点引起的位移，称为柔度系数；m1为质点1的质量；m2为质点2的质量。

则进一步推导，得到第一阶和第二阶自振频率分别为：

由式（6）和式（7）不难发现，斜拉桥在施工阶段的结构自振频率f1小于f2，实际上，分母的4（δ11δ22-δ12δ21）m1m2数值对f1影响很小，故可以简化为：

经过多次试算发现，在图乘法计算δij时，计算结果对主梁和桥塔的等效高度并不敏感，故采用变化的主梁质量和桥塔的质量比对式（8）进行修正，令修正系数为：

则公式简化为：

4 工程应用

某黄河公路大桥主桥全长840m，桥跨布置为40m+175m+410m+175m+40m，桥面宽38.0m，见图4。主桥桥型为双塔双索面钢混组合梁斜拉桥，高138.0m的桥塔采用门式框架结构，采用单箱单室空心箱型截面。索塔两侧双索面扇形布置16对斜拉索。钢主梁由边箱梁、横梁和小纵梁组成，桥面板为混凝土。边钢箱梁宽2.8m，高3.0m～3.056m，根据受力区域不同，顶板厚度为25mm，底板厚度为35mm～45mm，腹板厚30mm。塔的混凝土为C50，弹性模量为3.45×104MPa，塔的抗弯惯性矩为336m4，抗弯刚度为115.92×106kN·m2，塔高为133.5m，有效高度为36.71m，塔的重量为21200t。桥梁设计汽车荷载为公路-Ⅰ级。

图4 桥梁工程图（单位：m）Fig.4 Drawing of bridge engineering（unit：m）

4.1 有限元建模

在建立有限元分析模型时，应尽量保证结构的刚度、质量和边界条件与实际情况相符，以提高斜拉桥动力分析时模型的准确性。

采用鱼骨形模型建立斜拉桥有限元模型，利用空间有限元模拟索塔、主梁和横梁，用空间桁架单元模拟斜拉索，斜拉索与主梁、桥塔及横梁之间采用刚臂连接，墩柱底部采用固结体系，辅助墩和过渡墩处的主梁的约束类型为横向约束和竖向约束。

模型约束条件如下：①塔柱在承台顶部嵌固；②主梁支承在塔柱横梁上；③主墩承台下为多排摩擦桩；④辅助墩和过渡墩设置弹性连接单元模拟支座功能；⑤拉索与主梁连接处、塔柱与塔柱横梁的交叉点处等使用刚臂单元。

对混凝土斜拉桥进行动力特性分析时，主梁模型可采用多种单元进行模拟，包括梁单元、板壳单元和实体单元以及这些单元的组合形式［6］。过于复杂地模拟主梁单元会大大增加计算负担，且必要性不大。因此，鉴于算例桥梁的主梁由边钢箱、横梁、小纵梁通过拼接板及高强螺栓连接形成钢构架，其上设预制桥面板，现浇混凝土湿接缝，与钢梁上的剪力钉形成整体，组成钢-混组合梁体系。在文中根据等效原则，对主梁的刚度、质量和支承条件等进行合理简化，采用计算效率更高的双主梁脊骨模型进行模拟，对于预制桥面板，采用板单元进行模拟［7］。在斜拉桥的动力性能计算时，斜拉索采用桁架单元进行模拟［8，9］。

对于索塔以及桥墩和基础等构件，由于其刚度较大，采用弹性梁单元进行模拟，而桩土相互作用则采用土弹簧进行模拟。

基于上述模拟方式，按照简化计算和保证计算准确性的原则划分单元长度，采用Midas程序进行有限元建模，全桥2271个节点，4042个单元，其中梁单元2746个，桁架单元128个，板单元1168个，其有限元离散模型如图5所示。

图5 全桥有限元离散模型Fig.5 Discrete finite element model of the whole bridge

4.2 动力特性实测值

在建立了合理高效的有限元模型以后，对相应施工阶段的桥梁动力特性进行分析。和理论分析相对应，测点布置如下：主塔自塔顶至承台沿塔身高度（等分）分别设置6个纵桥向和横桥向速度测点。主梁沿纵向的八分点、四分点、二分点截面布置测点，在主梁的上游和下游侧各布置1个竖向测点、1个横桥向测点。动力特性试验采用桥梁振动数据采集和分析系统，利用DASP大容量数据采集处理分析平台软件、模态分析软件进行分析。实测的阻尼比在0.297%～8.623%之间，为小阻尼振动。

4.3 不同计算方法与实测值对比分析

有限元分析结果表明，塔柱纵桥向挠曲振型的频率最小，属第一阶振型。通过分析对比发现，随着悬臂施工过程的推进，结构第一阶振型模态并没有改变，但结构自振频率随着施工过程不断发生变化，不同方法的频率变化曲线见图6。施工阶段自振频率的理论值与实测值均小于1Hz，为低频率振动结构，自振频率理论值与实测值对比见表1。表中，有限元法的数值采用Midas进行计算，双质点体系的计算结果采用公式（10）进行计算，估算公式采用公式（14）进行计算。

图6 自振频率理论值与实测值比较Fig.6 Comparison chart of theoretical and actually measured value of natural frequency

从图6和表1中可以看出：

（1）从0号段至16号段的施工过程中，各个阶段施工后的结构自振频率理论值和实测值随着施工阶段的推进趋于一致，而且对称施工的桥梁结构其振型是正对称或者反对称，说明采用有限元分析时的计算模型的建立准确可靠；

（2）从0号段至16号段的施工过程中，各个阶段的施工后结构自振频率实测值均大于理论值，说明施工的桥梁结构没有出现缺损等质量问题，结构实际的刚度大于设计刚度，满足设计要求；

表1 自振频率理论值与实测值对比Tab.1 Comparison of theoretical value and measured value of natural frequency

（3）伴随着从0号段至16号段的施工进展，梁体的重量逐渐增加，塔柱纵桥向挠曲的自振频率逐渐递减，呈线性变化；

（4）除了0号段以外，其他15个施工阶段双质点法和估算法对于斜拉桥悬臂施工阶段的自振频率的计算误差较小，双质点法与有限元法相比，最大误差在14.1%，估算法与有限元法相比，最大误差在14.9%。

5 结语

1.通过工程实例分析可知，斜拉桥悬臂施工过程中结构自振频率理论值和实测基本吻合，说明算例桥梁在施工阶段的施工质量和成桥阶段的动力性能满足设计要求；

2.通过分析振型和自振频率，来评价施工阶段的施工质量能够满足设计要求，进一步验证了理论分析模型的准确性；

3.采用简化计算公式可以帮助桥梁建设者对斜拉桥施工阶段的动力特性进行迅速地判断，可为同类型的桥梁设计和施工监控提供参考。