外部数值保角变换的模拟电荷法的收敛性

孙筱炜，吕毅斌*，王樱子，武德安

(1.昆明理工大学 理学院, 云南 昆明 650500；2.昆明理工大学 计算中心, 云南 昆明 650500；3.电子科技大学 数学科学学院, 四川 成都 611731)

复变函数中，保角变换是基本问题之一，它被广泛应用在流体力学、图像处理和光学等领域[1-3]。保角变换的主要求解方法有解析法和数值计算法，其中，解析法在实际应用时，由于工程问题的复杂性，并不能处理所有问题，因此适用范围有限，所以数值计算求解保角变换函数的方法研究更广。本文所研究的方法是日本研究学者Amano提出的基于模拟电荷法的数值保角变换法(即Amano法)[4-8]，该方法将模拟电荷法引入数值保角变换，避免了数值积分计算，具有计算时间短、程序复杂度低等优点。保角变换包括单连通域和多连通域数值保角变换，单连通域的数值保角变换分为内部数值保角变换和外部数值保角变换。本文在前人基础上，研究基于模拟电荷法的外部数值保角变换函数的理论收敛性。

1 基于模拟电荷法的外部数值保角变换

图1 基于模拟电荷法的外部数值保角变换

的解，γ是外部变换半径，h(z)是g(z)在D内的共轭调和函数，且h(∞)=0。

(1)

其中zi为约束点。由g(∞)=0,h(∞)=0，可得

(2)

联立(1)、(2)，得到以Qj(j=1,2,…,N)和logγ为未知量的线性方程组：

(3)

其中aij=log|zi-ζj|,i,j=1,2,…,N。且保角变换函数f(z)近似为

2 定义及引理

令

(4)

这个近似解在平凡仿射变换下具有不变性[12]。使用函数ψ定义模拟电荷点ζj和约束点zi[13-14]

(5)

其中r>a，ω=exp{2πi/N}，且函数ψ具有保角拓展性，可拓展到{w∈C│|w|≥αa}(0<α<1)，这种保角拓展性等价于封闭Jordan曲线C的解析性。

本文考虑在Hilbert空间中，使用范数进行误差估计。将Dirichlet问题转化为在S1=R上的问题，且所有定义在S1上的函数均是周期为1的周期函数[15]。

定义1Hs(C)表示边界C上的函数b的集合，ba(τ)=b(ψ(ae2πiτ))为定义在S1上的函数。Hs(C)⊂Hs(S1)，其中Hs(S1)为Sobolev空间，且‖b‖Hs(C)=‖ba‖Hs(S1)(b∈Hs(C))。

定义3 定义(ε1,s1)≥(ε2,s2)⟺ε1>ε2或者(ε1=ε2且s1≥s2)；定义(ε1,s1)>(ε2,s2)⟺(ε1,s1)≥(ε2,s2)且(ε1,s1)≠(ε2,s2)。

定义4 ∀N∈N，定义ΛN={n∈Z|-N/2≤n≤N/2}，ΔN={n/N∈S1|n∈ΛN}。

引理1 若(ε1,s1)>(ε2,s2)，则χε1,s1⊂χε2,s2存在且是紧致的。

综合以上定义和引理，式(1)可转化为

(6)

式(2)可转化为

G(ψ(aωi))=b(ψ(aωi)), (i∈ΛN)。

(7)

在本文中，模拟电荷点ζj和约束点zj满足式(5)，r>a且rα/a<1。

定理1 令(ε,s),(δ,t)∈(0,+∞)×R，若有

(1)(1,1/2)<(δ,t)<(1/α,-1/2)；

(3)(α,3/2)<(ε,s);

图2 δ和ε所在区域示意图

注1 令

H1={(δ,ε)|1≤δ≤r/a,ε=1/δ}，
L1={(δ,ε)|r/a≤δ≤(r/a)2,ε=(r/a)2δ}，
H2={(δ,ε)|r/a≤δ≤(r/a)2,ε=(r/a)2·1/δ}，
L2={(δ,ε)|1≤δ≤r/a,ε=δ}，
M1(r/a,(r/a)-1),M2=((r/a)2,1),
M3=(r/a,r/a),M4=(1,1),

记σ为H1、L1、H2、L2围成的封闭区域，如图2所示。定理1中的δ、ε等价于(δ,ε)∈σ。

注2 定理1中P的值为

考虑一般Jordan区域，将积分算子A分解成A=U+V，其中

引理3 若(ε,s)>((r/a)-1α,1/2)，(δ,t)<(1/α,-1/2)，则V∶χε,s→χδ,t是紧算子。

证明引理的证明详见文献[10]的引理4.3。

推论1 若((r/a)-1α,1/2)<(ε,s)<((r/a)-1·1/α,-3/2)，则V∶χε,s→χrε/a,s+1为紧算子。

引理4 令q∶S1→R在ΔN的有界领域内是一个Hölder连续函数，若Aq=0，则有q=0。

式中k2是常数。

引理5 假设((r/a)-1α,1/2)<(ε,s)<((r/a)-1·1/α,-3/2)，则

(1)算子A∶χε,s→χrε/a,s+1是有界的；

(2)算子A是同构的。

证明(1)证明详见文献[15]中的引理6(a)。

(2)将算子A看作算子V对同构U的紧扰动，那么kerA=ker(U+V)⊆ranV，因此，dim ker(A)<+∞。同理，dim coker(A)<+∞。证明A是闭算子。首先，假设有限秩算子K满足‖V-K‖<1/2，且k∈kerK，则‖Ak‖≥‖k‖/2。因此，算子A在kerK中有下限，A是一个闭集。因为dim coker(A)<+∞，所以ranA=A(kerK)+A(cokerK)是有限的,可得算子A=U+V是指标为0的Fredholm算子。

下证A为单射。假设q∈χε,s满足Aq=0，则q=-U-1Vq。根据引理3，∀t<-1/2和q=-U-1Vq∈χ(r/a)-1·1/α,t-1，有Vq∈χ1/α,t。由于q是解析的，由引理4可知q=0。

引理6 令(ε,s),(δ,t)∈(0,+∞)×R，假设：

(1)((r/a)-1,-1/2)<(δ,t)<((r/a)-1·1/α,-3/2)；

(3)((r/a)-1α,1/2)<(ε,s)；

则∀q∈χδ,t和足够大的N∈N，在ΔN上存在唯一的函数qN∈JN，使得AqN=Aq。且存在一个常数C0′>0，使得

‖q-qN‖ε,s≤C0′‖q‖δ,t(ε/δ)N/2Np。

引理6的证明详见文献[15]的引理8。

(1)((r/a)-1,-1/2)<((r/a)-1δ,t-1)<((r/a)-1·1/α,-3/2)；

(3)((r/a)-1α,1/2)<((r/a)-1ε,s-1);

3 收敛定理及证明

定理2 若：(1)约束方程式(6)与式(7)具有唯一解，即式(3)的系数矩阵是正则的；

(2)假设正常数k和t满足1<1/k<(r/a)2，(1/k,t)<(1/α,-1/2)；

则∀ba∈χ1/k,t及足够大的N∈N,存在一个常数C0″>0，使得

‖b-G‖Hs(C)≤C0″‖ba‖1/k,taN/2Ns-t,

(8)

其中s是一个常数，t>max{1/2,t}。

(1)∀t∈R,由1<1/k<(r/a)2可得(δ,t)=(1/k,t)，由(1/k,t)<(1/α,-1/2)可得(1,1/2)<(δ,t)<(1/α,-1/2)。

(2)由1<1/k<(r/a)2，可得(r/a)2δ=(r/a)-2·1/k<1且1/δ=k<1；令ε=1,则ε>max{(r/a)-2δ,1/δ}。由1<1/k<(r/a)2，可得δ=1/k>1且(r/a)2·1/δ=(r/a)2k>1；令ε=1,则ε

(3)由ε=1>α,可得∀s∈R，有(α,3/2)<(ε,s)。

综上，定理2的证明过程与定理1相同，定理2中式(8)成立。

同理，可推出g(z)的共轭调和函数h(z)满足定理2，即

‖d-H‖Hs(C)≤C0‖da‖1/k,taN/2Ns-t,

(9)

由以上结论可知，外部数值保角变换模拟电荷法的近似解G(z)和H(z)指数收敛。

定理3 对于足够大的N∈N,存在一个常数C0‴>0，0

‖f(z)-F(z)‖Hs(C)≤C0‴pN。

(10)

证明根据文献[16]的定理4，由式(8)、(9)可知，当z∈C时，

i(H(z)-h(z))|×exp{GN(z)-g(z)+(HN(z)-h(z))}，

(11)

4 数值实验

在MATLAB R2014a环境下，对基于模拟电荷法的外部数值保角变换的收敛性进行验证，误差由max{f(z)-1}确定。

例1 椭圆的边界为x2+y2/b2=1，当b=2时，椭圆边界为x2+y2/4=1。

将边界及边界外部的区域进行保角变换，按本文的函数ψ设置电荷点和约束点位置，N=64时，电荷点和约束点分布如图3所示。针对不同的模拟电荷点数量，做出误差曲线如图4所示。

图3 椭圆模拟电荷点和约束点分布图 图4 椭圆误差曲线

例2 Cassini形的边界为{(x+1)2+y2}{(x-1)2+y2}=a4，当a=21/14时，Cassini形边界为{(x+1)2+y2}{(x-1)2+y2}=22/7。

对该图形及其外部区域保角变换，使用函数ψ设置电荷点和约束点位置，当N=64时，模拟电荷点和约束点分布如图5所示，图6是随模拟电荷点数量增加的误差图。

5 总结

本文基于模拟电荷点和约束点的位置根据函数确定的情况下，从理论上证明了外部数值保角变换的模拟电荷法的收敛定理，并通过数值实验的方法检验了收敛定理的准确性。本文的研究可以为今后研究内部数值保角变换、双连通数值保角变换、多连通数值保角变换的收敛性提供基础。